<< Пред.           стр. 4 (из 19)           След. >>

Список литературы по разделу

 Решение. В качестве случайной величины в дан­ной задаче выступает число выигрышных билетов среди отобранных. Обозначим ее через X.
 Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4.
 Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее, чем на 1, и множество ее возможных зна­чений является счетным.
  Очевидно, что отбор лотерейных билетов — бес­повторный. Следовательно, испытания — зависимые.
 Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина — чис­ло выигрышных билетов среди отобранных — под­чиняется гипергеометрическому закону распреде­ления.
 Изобразим ситуацию на схеме (рис. 4.7).
 Случайная величина, интересующая нас, Х = т — число выигрышных билетов в выборке объемом в п билетов. Число всех возможных случаев отбора п билетов из общего числа N билетов равно числу сочетаний из N по п (СnN ), а число случаев отбора т выигрышных билетов из общего числа М выигрышных билетов (и значит, (n-m) проигрышных из общего числа (N — М) проигрышных) равно произведению СmM · Сn-mN-M (отбор каждого из т вы­игрышных билетов может сочетаться с отбором любого из (n-m) проигрышных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n лотерейных билетов окажется ров­но m выигрышных. По формуле для расчета вероятности события в классической модели веро­ятность получения в выборке m выигрышных би­летов (т. е. вероятность того, что случайная вели­чина Х примет значение m) равна
 где СnN — общее число всех единственно возмож­ных, равновозможных и несовместных исходов;
 СnM · Сn-mN-M— число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события;
 m ? n, если n ? M и m ? M, если М < п.
 Если по этой формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения.
 1) Составим ряд распределения.
 Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и запишем полученные результаты в таблицу.
 По условию задачи N = 20; М = 4; n = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4.
 Занесем полученные результаты в табл. 4.10.
 Таблица 4.10
 Х
  0
  1
  2
  3
  4
 
 Р(Х)
  0,37564
  0,46233
  0,14861
  0,01321
  0,00021
 
 
 
 Произведем проверку. Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.
 Проверка:
 0,37564 + 0,46233 + 0,14861 + 0,01321 + 0,00021 = 1.
 График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины — полигон распределения вероятностей (рис. 4.8).
 Рис. 4.8
 2) Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины.
 Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по
 
 
 общим для любой дискретной случайной величины формулам.
 Но математическое ожидание случайной величи­ны, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по более простой формуле
 Рассчитаем математическое ожидание числа вы­игрышных билетов среди отобранных:
 Дисперсию случайной величины, подчиняющей­ся распределению, также можно рассчитать по бо­лее простой формуле
 Вычислим дисперсию числа выигрышных биле­тов среди отобранных:
 Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа выигрышных билетов среди отобранных:
 3) Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения
 Рассчитаем значения F(x):
 Эти данные можно представить в виде графика функции распределения (рис. 4.9) и табл. 4.11.
 
 Таблица 4.11
 Х
  х ? 0
  0 <х ? 1
  1 <х? 2
  2 <х ? 3
  3 <х ?4
  х > 4
 
 F(x)
  0
  0,37564
  0,83797
  0,98658
  0,99979
  1
 
 
 4) Определим вероятность того, что среди 4 ото­бранных билетов окажется:
 а) не меньше 3 выигрышных.
 «Не меньше 3» — «как минимум 3» — «3 или больше». Другими словами, «не меньше 3» — это «или 3, или 4».
 Исходя из этого, для определения вероятности то­го, что среди отобранных 4 билетов окажется не мень­ше 3 выигрышных билетов, можно применить тео­рему сложения вероятностей несовместных событий:
 Р(Х ? 3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) == 0,01321 + 0,00021 = 0,01342.
 Вероятность того, что среди отобранных окажет­ся не меньше 3 выигрышных билетов, составляет 0,01342. .
 б) не больше 1 выигрышного билета. «Не боль­ше 1» — это «1 или меньше», «или 0, или 1».
 Следовательно, для определения вероятности того, что среди отобранных окажется не больше одного выигрышного билета, также применяем теорему сло­жения вероятностей для несовместных событий
 Р(Х ? 1) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = 0,37564 + 0,46233 = 0,83797.
 
 Задачи к теме 4
 1. В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, кото­рые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые ха­рактеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше одного банка?
 2. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у. е. Составьте ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета — 3 у. е. Найдите числовые характеристи­ки этих распределений. Запишите в общем виде функции распределений вероятностей и постройте их графики.
 3. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Пред­положим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Со­ставьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что как минимум 2 нефтеразведки принесут успех?
  4. Под руководством бригадира производствен­ного участка работают 3 мужчин и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих слу­чайно. Составьте ряд распределения числа женщин в выборке. Найдите числовые характеристики это­го распределения. Запишите в общем виде функ­цию распределения вероятностей и постройте ее график. Какова вероятность того, что будет выбра­но не более одной женщины?
 5. Некоторый ресторан славится хорошей кух­ней. Управляющий ресторана хвастает, что в суб­ботний вечер в течение получаса подходит до 9 групп посетителей. Составьте ряд распределения возмож­ного числа групп посетителей ресторана в течение получаса; постройте его график. Найдите число­вые характеристики этого распределения. Запиши­те в общем виде функцию распределения вероят­ностей и постройте ее график. Чему равна вероят­ность того, что 3 или более групп посетителей при­будут в ресторан в течение 10-минутного проме­жутка времени?
 6. Хорошим считается руководитель, принима­ющий не менее 70% правильных решений. Тако­му управляющему банком предстоит принять ре­шения по 4 важным вопросам банковской полити­ки. Считая вероятность принятия правильного ре­шения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных решений управля­ющего; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее 3 правиль­ных решений?
 7. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 15 случайно выбранных авизо. Составьте ряд распределения числа фальшивых авизо, кото­рые могут быть выявлены в ходе проверки; пост­ройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее 2 фальшивок?
 8. В течение семестра преподаватели проводят консультации по вопросам, которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации по статистике, заметил, что в сред­нем 8 студентов посещают его за час консультаци­онного времени, хотя точное число студентов, посе­щающих консультацию в определенный день, в на­значенный час, — случайная величина. Составьте ряд распределения числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в тече­ние часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что 3 студента придут на консультацию в течение определенного по­лучаса?
 9. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5
 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошиб­ки, составьте ряд распределения правильных сче­тов. Найдите числовые характеристики этого рас­пределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой?
 10. Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для про­верки в случайном порядке было отобрано 15 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Составьте ряд распределения числа предъявленных претензий. Найдите числовые характеристики этого распреде­ления. Запишите в общем виде функцию распределе­ния вероятностей и постройте ее график. Чему рав­на вероятность того, что, по крайней мере, 10 чело­век потребуют возмещения страховых сумм?
 11. Экзаменационный тест содержит 15 вопро­сов, каждый из которых имеет 5 возможных отве­тов и только 1 из них верный. Предположим, что студент, который сдает экзамен, знает ответы не на все вопросы. Составьте ряд распределения числа пра­вильных ответов студента на вопросы теста и постройте его график. Найдите числовые характерис­тики этого распределения. Запишите функцию рас­пределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что студент правильно ответит, по крайней мере, на 10 вопросов?
 12. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор слу­чайно отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных ауди­тором. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите ве­роятность того, что аудитор обнаружит более чем 1 ошибку.
 13. В городе 10 машиностроительных предприя­тий, из которых 6 — рентабельных и 4 — убыточ­ных. Программой приватизации намечено прива­тизировать 5 предприятий. При условии проведе­ния приватизации в случайном порядке составьте ряд распределения рентабельных предприятий, по­павших в число приватизируемых; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что будет приватизировано не менее 4 рентабельных предприятий?
 14. В международном аэропорту время прибы­тия самолетов различных рейсов высвечивается на электронном табло. Появление информации о раз­личных рейсах происходит случайно и независи­мо друг от друга. В среднем в аэропорт прибывает 10 рейсов в час. Составьте ряд распределения чис­ла сообщений о прибытии самолетов в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна веро­ятность того, что в течение часа прибудут не менее 3 самолетов? Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один само­лет?
 15. Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны 10 телезрителей. Составьте ряд распределения числа лиц, видевших рекламу. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 телезри­теля этого канала видели рекламу нового детского питания?
 16. В часы пик для общественного транспорта города происходит в среднем 2 дорожных происшествия в час. Утренний пик длится 1,5 ч, а ве­черний — 2ч. Составьте ряды распределения чис­ла дорожных происшествий в утренние и вечер­ние часы пик и постройте их графики. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запишите функции распределений вероятностей и постройте их графики. Чему равна вероятность того, что в определенный день во время и утренне­го, и вечернего пика не произойдет ни одного до­рожного происшествия?
 17. В магазине имеется 15 автомобилей опреде­ленной марки. Среди них — 7 черного цвета, 6 — серого и 2 — белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цве­та. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно, и постройте его гра­фик. Найдите числовые характеристики этого рас­пределения. Напишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Какова вероят­ность того, что среди проданных фирме автомоби­лей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля чер­ного цвета?
 18. На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Со­ставьте ряд распределения числа отказов оборудо­вания в течение часа. Найдите числовые характе­ристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и пост­ройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум 2 единицы обо­рудования?
 19. Торговый агент в среднем контактирует с 8 по­тенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Составь­те ряд распределения ежедневного числа продаж для агента и постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запиши­те в общем виде функцию распределения вероятно­стей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя бы 2 продажи в тече­ние дня?
 
 20. Прибытие посетителей в банк подчиняется одному из теоретических законов распределения. Предполагая, что в среднем в банк каждые 3 мину­ты входит 1 посетитель, составьте ряд распределе­ния возможного числа посетителей банка в течение 15 мин. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что, по крайней мере, 3 посетителя войдут в банк в течение 1 минуты?
 
 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
 5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины
 Нам уже известно, что такое функция распреде­ления дискретной случайной величины. Эта форма задания закона распределения случайной величи­ны является универсальной и используется для непрерывных случайных величин.
 Случайная величина Х называется непрерыв­ной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.
 Рассмотрим свойства функ­ции распределения.
 1. Вероятность попадания случайной величины в промежуток от a до b равна приращению функ­ции распределения на концах этого промежутка
 P(a  так как вероятность любого отдельного значения случайной величины равна нулю, если функция распределения непрерывна при этом значении
 Р(Х = х1) = 0, когда F(x) непрерывна в точке х = х1.
 
 2. Функция распределения удовлетворяет условиям
 F(-?)= 0, F(+?) = 1. (5.2)
 Плотностью распределения (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины на­зывается функция
 f(x) = F'(x). (5.3)
 Плотность распределения любой случайной ве­личины неотрицательна f(x) ? 0.
 Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -? до +? равен 1:
 График функции у = f(x) называется кривой распределения или графиком плотности распределения. Кривая у = f(x) располагается над осью абсцисс.
 Вероятность попадания случайной величины в промежуток от a доb может быть вычислена по формуле
 
 Подынтегральное выражение f(x)dx называет­ся элементом вероятности. Оно выражает вероятность попадания случайной точки в промежуток между точками х и х + Dх, где Dх — бесконечно
 малая величина.
 Функция распределения F(x), выражаемая через плотность f(x), имеет вид
 Математическое ожидание непрерывной случай­ной величины Х вычисляется по формуле
 5.2. Нормальное распределение
 Если плотность распределения (дифференциаль­ная функция) случайной переменной определяется
 как
 то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и s2. Вероятностный смысл параметров
 а = М(Х), а s2 = D(X),
 где Х ~ N(а; s2).
 Если задать параметры нормального распределе­ния, взяв а=0 и s=1,то получим так называемое нормированное (стандартное) нормальное распреде­ление. Плотность нормированного нормального распределения описывается функцией
 Значения этой функции табулированы (приложение 1).
 Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежу­ток от a до b используется формула
 где - интеграл Лапласа.
 Формула (5.10) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.
 Функция Ф0(х) обладает свойствами:
 
 Функция Ф0(х) табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка (а - ?;
 а + D) имеем
 Формула (5.11) применима и к частоте т, по­скольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной вели­чине т с учетом ее числовых характеристик
 М(т) = пр и s2(m) = npq (5.12)
 формула (5.11) примет вид
 Формула (5.11) может быть применена и к отно­сительной частоте т/п с числовыми характеристиками
 С вероятностью, очень близкой к единице (рав­ной 2Ф0(3) = 0,9973), нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству
 а- Зs<Х< а + Зs. (5.16)
 В этом состоит правило 3 сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания прак­тически не превышает ±3s.
 Локальная теорема Муавра — Лапласа. При р?0 и p?1 и достаточно большом п биномиальное распределение близко к нормальному закону (при­чем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т. е. имеет место равенство:
 тогда
 для достаточно больших п.
 Здесь j(х) (приложение 1) — плотность веро­ятностей стандартной нормальной случайной вели­чины
 Пример 1. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случай­ная величина, подчиняющаяся нормальному за­кону распределения с математическим ожидани­ем а = 950 кг и средним квадратическим отклоне­нием ? = 150 кг.
 1) Определите вероятность того, что вес случай­но отобранной туши: а) окажется больше 1 250 кг;
 б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1 300 кг; г) отклонится от математи­ческого ожидания меньше, чем на 50 кг; д) откло­нится от математического ожидания больше, чем на 50 кг.
 2) Найдите границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения (проиллюстрируйте правило 3 сигм).
 3) С вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши. Какова при этом условии максимальная ве­личина отклонения веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания?
 Решение. 1а) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг, можно понимать как вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 250 кг до +?..
 Формула расчета вероятности попадания в задан­ный интервал нормально распределенной случай­ной величины Х имеет вид
 где Ф0(z) — функция Лапласа
 Функция Ф0(z) является нечетной функцией, т. е.
 Ф0(-z) = -Ф0(z).
 Найдем вероятность того, что вес случайно ото­бранной туши окажется больше 1 250 кг. По усло­вию a = 1 250, b = +?, а = 950, s = 150.
 Используем формулу расчета вероятности попа­дания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
 Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)
 Значения Ф0(+?) в таблице нет. Однако извест­но, что Ф0(z)> 0,5 при z> +?. Уже при z=5 Ф0 (z =5) = 0,49999997 » 0,5. Очевидно, что Ф0(+?)— величина, бесконечно близкая к 0,5 , Ф0(-?.) — величина, бесконечно близкая к -0,5.
 По таблице функции Лапласа Ф0(2) = 0,47725.
 Отсюда
 Р(Х > 1 250) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.
 Итак, вероятность того, что вес случайно отобран­ной туши окажется больше 1 250 кг, составляет
 0,02275.
 Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.1).
 Итак, нам задана нормально распределенная слу­чайная величина Х с математическим ожиданием а = 950 кг и средним квадратическим отклонением s= 150 кг, т. е. Х ~ N (950; 1502). Мы хотим найти вероятность того, что Х больше 1 250, т. е. определить Р(Х > 1 250). Преобразуем X в Z, и тогда иско­мая вероятность определится по таблице стандарт­ного нормального распределения (приложение 2)
 Точка z=0 соответствует математическому ожи­данию, т. е. а = 950 кг.
 1б) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг — это то же самое, что и вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от -? до 850 кг. По условию ? = -?, b = 850, а = 950, s= 150.
 Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в задан­ный интервал нормально распределенной случай­ной величины Х
 Согласно свойству функции Лапласа,
 Найдем по таблице функции Лапласа (приложе­ние 2) значения Ф0(z).
 
 Ф0(+?) » 0,5; Ф0(0,67) = 0,24857.
 
 Отсюда
 Р(Х < 850) = 0,5 - 0,24857 = 0,25143.
 Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг составляет 0,25143.
 Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.2).
 По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,67) соответствует х = 850, т.е. весу, равно­му 850 кг. Заштрихованная на рис. 5.2 площадь представляет вероятность того, что вес наудачу выб­ранной туши окажется меньше 850 кг, т. е. в ин­тервале от -? до 850 кг.
 1в) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 до 1 300 кг.
 По условию a = 800, b=1 300, а = 950, s = 150. Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в задан­ный интервал нормально распределенной случай­ной величины Х
 Согласно свойству функции Лапласа,
 -Ф0(-1) = Ф0(1).
 Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)
 Ф0(2,33) = 0,49010; Ф0(1) = 0,34134.
 Отсюда
 Р(800 < Х < 1 300) = 0,49010 + 0,34134 = 0,83144.
 Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг, составляет 0,83144.
 Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.3).
 По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -1) соответствует х = 800, т. е. весу, равному 800 кг, а точка (z = 2,33) — х = 1300, т. е. весу, равному 1 300 кг. Заштрихованная на рис. 5.3 пло­щадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1 300 кг.
 На рис. 5.3 видно, что искомую вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интер­вале от 800 до 1 300 кг, можно было найти другим способом. Для этого необходимо было найти вероят­ность того, что вес наудачу выбранной туши окажет­ся меньше 800 кг, а также больше 1 300 кг. Полу­ченные вероятности сложить и вычесть из 1.
 Итак, вероятность того, что вес наудачу выбран­ной туши окажется меньше 800 кг, — это вероятность того, что вес случайно отобранной туши ока­жется в интервале от —? до 850 кг.
 Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 300 кг — это вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 300 кг до +?.
 Отсюда искомая вероятность того, что вес науда­чу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг:
 Р(800 < Х < 1 300) = 1 - (Р(Х < 800) + Р(Х > 1 300)) = 1 - (0,15866 + 0,0099) = 1 - 0,16856 = 0,83144.
 1г) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, т. е.
 Р(|Х - 950| < 50) = ?
 Что значит |Х - 950| < 50 ?
 Это неравенство можно заменить двойным нера­венством
 -50 < Х - 950 < 50,
 или
 950 - 50 < X < 950 + 50, 900 < X < 1 000.
 Следовательно,
 Р(|Х - 950| < 50) = Р(900 < X < 1 000).
 А это вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины X. Отсюда
 Согласно свойству функции Лапласа,
 -Ф0(-0,33) = Ф0(0,33).
 Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)
 Ф0(0,33) = 0,1293.
 Следовательно,
 Р(|Х - 950| < 50) = Р(900 < Х < 1 000) = 2·0,1293 = 0,2586.
 Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, составляет 0,2586.
 Эту задачу легче решить, используя формулу расчета вероятности заданного отклонения нормаль­но распределенной случайной величины Х от свое­го математического ожидания
 где ? — величина отклонения случайной величины Х от математического ожидания.
 По условию D = 50; а = 950, s= 150. Используя эту формулу, сразу получим
 Р(|Х — 950| < 50) = 2Ф0(50/150) = 2Ф0(0,33) = 2 · 0,1293 = 0,2586.
 Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.4).
 По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,33) соответствует х = 900, т. е. весу, равно­му 900 кг, а точка (z = 0,33) соответствует х = 1000, т. е. весу, равному 1 000 кг. Заштрихованная на рис. 5.4 площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 900 до 1 000 кг, т. е. отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.
 1д) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, т. е.
 Р(|Х - 950| > 50) = ?
 Это вероятность события, противоположного по отношению к событию, — вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг,
 Следовательно,
 Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, составляет 0,7414.
 Можно использовать другой алгоритм решения. Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, — это вероятность того, что вес случайно отобранной туши будет или меньше (950 - 50 = 900) кг, или больше (950 + 50 = 1 000) кг.
 По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
 
 Отсюда
 2) Найдем границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.
 В этом задании студентам предлагается проил­люстрировать правило 3 сигм, которое можно сформулировать следующим образом:
 Если случайная величина распределена по нор­мальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает ±3s.
 Р(|Х - а| < 3s) = 2Ф0(3) = 0,9973.
 Вероятность того, что отклонение нормально рас­пределенной случайной величины Х от своего математического ожидания будет меньше 3s или, дру­гими словами, вероятность того, что нормально рас­пределенная случайная величина Х попадет в ин­тервал (а - 3s; а + 3s), равна 0,9973.
 Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожи­дания по абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала и равна 0,0027. Другими словами, лишь в 27 случа­ях из 10 000 случайная величина Х в результате испытания может оказаться вне интервала (а - 3s;а + 3s). Такие события считаются практически невозможными.
 Формулу, описывающую правило 3 сигм, неслож­но получить из формулы вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной ве­личины Х от своего математического ожидания:
 Если взять D = 3s, то получим D/s = 3.
 Отсюда
 Р(|Х - а|< 3s) = 2Ф0(3) = 0,9973.
 По условию задачи а = 950; s = 150.
 Правило 3 сигм можно представить так:
 Р(а - 3s < Х < а + 3s) = 2Ф0(3) = 0,9973.
 Интересующие нас границы — это границы интервала (а - 3s; а + 3s), т. е.
 Учитывая, что вес отобранной туши — нормаль­но распределенная случайная величина, можно быть практически уверенным, что вес случайно отобран­ной туши не выйдет за пределы от 500 до 1 400 кг.
 3) Определим границы, в которых с вероятностью 0,899 будет находиться вес случайно отобранной туши. Формулу вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания можно представить следующим образом:
 или
 где g — вероятность того, что отклонение нормаль­но распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания не превысит задан­ной величины ?.
 По условию задачи а = 950; s = 150. Используя последнюю формулу, получим:
 Из соотношения 2Ф0(D/150) = 0,899 найдем ? :
 По таблице функции Лапласа (приложение 2) най­дем, при каком z = D/150 функция Ф0(2) = 0,4495.
 z = 1,64, т.е. Ф0(1,64) = 0,4495.
 Отсюда
 D/150 = 1,64, D = 1,64 · 150 = 246.
 С вероятностью 0,899 можно ожидать, что откло­нение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит 246 кг.
 Найдем границы интересующего нас интервала:
 а-D<Х<а+D,
 950 - 246 < X < 950 + 246,
 704 < X < 1196.
 С вероятностью 0,899 можно ожидать, что вес случайно отобранной туши будет находиться в пределах от 704 до 1 196 кг.
 Ответ. 1. а) 0,02275, б) 0,25143, в) 0,83144, г) 0,2586, д) 0,7414; 2. (500, 1 400);
 3. 246 (704, 1196).
 
 
 Пример 2. Изменим условие предыдущей задачи.
 На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределе­ния с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением s= 150 кг. Известно, что 37,07% туш имеют вес более 1 000 кг. Определите ожидаемый вес случайно отобранной туши.
 Решение. По условию задачи s= 150; а = 1 000; ? = +?; Р(Х > 1 000) = 0,3707.
 Ожидаемый вес случайно отобранной туши — это среднеожидаемый вес (математическое ожидание), т. е. а = ?
 Используем формулу (5.10) расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
 По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = (100 - а)/150 функция Ф0(z) = 0,1293.
 z = 0,33, т.е. Ф0(0,33) = 0,1293.
 Отсюда
 1 000 - а = 0,33 · 150 = 50,
 а = 1 000 - 50 = 950.
 Ответ. Среднеожидаемый вес случайно отобран­ной туши составляет 950 кг.
 Пример 3. Вновь изменим условие задачи.
 На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величи­на, подчиняющаяся нормальному закону распреде­ления с математическим ожиданием а = 950 кг и неизвестным средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87% туш имеют вес менее 800 кг. Определите среднее квадратическое (стандартное) отклонение веса туш.
 Решение. По условию задачи: а = 950; a = -?; b= 800; Р(Х < 800) = 0,1587; s = ?
 Используем формулу (5.10) расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
 
 
  По таблице функции Лапласа (приложение 2) най­дем, при каком z = 150/ ? функция Ф0(z) = 0,3413.
 z = 1, т. е. Ф0(1) = 0.3413.
 Отсюда
 
 Ответ. Среднее квадратическое отклонение веса туш составляет 150 кг.
 Пример 4. Еще раз изменим условие задачи. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величи­на, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестными математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87% туш имеют вес менее 800 кг и 37,07% туш — более 1 000 кг. Определите средний ожидае­мый вес и среднее квадратическое (стандартное) отклонение веса туш.
 
 Решение. По условию задачи ? = -?; b = 800; Р(Х < 800) = 0,1587; Р(Х > 1000) = 0,3707; а = ?; s= ?
 Используем формулу (5.10) расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
 
 По таблице функции Лапласа (приложение 2) най­дем, при каком z = (а - 800)/s функция Ф0(z) = =0,3413.
 z=1,т. e. Ф0(1) = 0,3413.
 Отсюда
 С другой стороны,
 По таблице функции Лапласа (приложение 2) най­дем, при каком

<< Пред.           стр. 4 (из 19)           След. >>

Список литературы по разделу