ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛEМEНТАМИ ТEОРИИ ВEРОЯТНОСТEЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ 2

Пусть событие В - "Появление белого шара при 2-м извлечении", так как шар после 1-го извлечения возвратился в урну, то N=5,а М=2 и Р(В) = 2/5.
Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае являются независимыми.
Итак, события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
Вероятности независимых событий называются безусловными.
2-й случай. Схема невозвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения в урну не возвращается.
Вероятность появления белого шара при 1-м извлечении Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались 1 белый и 3 черных шара. Чему равна вероятность события В при условии, что событие А произошло? N = 4, М = 1.
Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)A или РA(В). Итак, Р(В/А) = 1/4 называют условной вероятностью, а события А, В - зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А) = 4/52;
Р(А/В) = 4/16.
Например, тот факт, что человек работает научным сотрудником, не является независимым от наличия у него высшего образования; событие, состоящее в том, что станок может выйти из строя, не является независимым от срока его эксплуатации; событие, состоящее в том, что цена акций компании пошла вверх, не является независимым от того с прибылью или с убытком сработала компания в прошлом периоде; и т. д.
Таким образом, события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Р(А В) = Р(А)Р(В),
или (2.8)
Р(А ? В) = Р(А)Р(В).
События А1, А2, ..., Аn (п > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.
Распространим теоремы умножения на случаи п независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий
Р(А1·А2·А3·...·Аn) = Р(А1)·Р(А2)·Р(А3)·...·Р(Аn). (2.9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

Вероятность события В при условии появления события А

Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили

Если события А1 , А2 ,..., Аn - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна

Вероятность появления хотя бы одного события из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным,

Пример 6. Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?
Решение. Обозначим события:
А - "Получение консультационной работы в корпорации А";
В - "Получение консультационной работы в корпорации В".
События А и В - зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.
По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (2.10).
Отсюда получим
Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.
Пример 7. В большой рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы - женщины, а 6,4% работников - женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?
Решение. Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: "Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?" и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату.
Обозначим события:
А - "Случайно выбранный работник имеет высокую зарплату";
В - "Случайно выбранный работник - женщина". События А и В - зависимые. По условию
Р(АВ) = 0,064; Р(В) = 0,40; Р(А) = 0,21.
Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т. е. - условная вероятность события А.
Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0,064/0,40 = 0,16.
Поскольку Р(А/В) = 0,16 меньше, чем Р(А) = 0,21, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.
Пример 8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит: а) на все 3 вопроса; б) хотя бы на 1 вопрос.
Решение. Обозначим события:
А - "Студент знает все 3 вопроса";
А1 - "Студент знает 1-й вопрос";
А2 - "Студент знает 2-й вопрос";
А3 - "Студент знает 3-й вопрос".
По условию
Р(А1) = 20/25; Р(А2/А1) = 19/24; Р(А3,/А2A1) = 18/23.
1) Искомое событие А состоит в совместном наступлении событий А1, А2, А3.
События А1, А2, A3 - зависимые.
Для решения задачи используем правило умножения вероятностей конечного числа п зависимых событий (2.10):
Р(А) = (20/25)(19/24)(18/23) = 57/115 = 0,496.
Вероятность того, что студент ответит на все 3 вопроса, равна 0,496.
2) Обозначим событие:
В - "Студент ответит хотя бы на один вопрос". Событие В состоит в том, что произойдет или событие А1, а события А2 и А3 - не произойдут, или произойдет событие А2, а события А1 и A3 - не произойдут, или произойдет событие А3 , а события А1 и А2 - не произойдут, или произойдут события А1 и А2 ,а событие A3 - не произойдет, или произойдут события А1 и А3, а событие А2 - не произойдет, или произойдут события А2 и А3 , а событие А1 - не произойдет, или произойдут все три ,события А1, А2, А3.
Для решения этой задачи можно было бы использовать правила сложения и умножения вероятностей. Однако здесь проще применить правило для вероятности наступления хотя бы одного из n зависимых событий (2.13).
Учитывая, что

получим
Р(В) = 1 - (5/25)(4/24)(3/23) = 229/230 = 0,9957.
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.
Пример 9. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события - независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?
Решение. Обозначим события:
А - "Потребитель увидит рекламу по телевидению";
В - "Потребитель увидит рекламу на стенде";
С - "Потребитель увидит хотя бы одну рекламу". Это значит, что потребитель увидит рекламу по
телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию
Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06.

События А и. В - совместные и независимые.
а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.
Отсюда
Р(АВ) = Р(А) · Р(В) = 0,04 · 0,06 = 0,0024.
Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,0024.
б) Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = = 0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.
Вместе с тем, при решении этой задачи может быть использовано правило о вероятности наступления хотя бы одного из п независимых событий.
Учитывая, что

Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы, поскольку эта вероятность может означать долю (процент) населения, охватываемого ею, и отсюда следует оценка рекламных усилий.
Задачи к теме 2
1. Анализ работы кредитного отдела банка выявил, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет. Также известно, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?
2. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный - в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.
3. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по каждому из 3 центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события - независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу: а) по всем 3 каналам; б) хотя бы по 1 из этих каналов?
4. Торговый агент предлагает клиентам иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 65 клиентов, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы 1 книгу? Прокомментируйте предположения, которые вы использовали при решении задачи.
5. В налоговом управлении работает 120 сотрудников, занимающих различные должности.
Все
сотрудники Руководители Рядовые сотрудники Итого Мужчины 29 67 96 Женщины 4 20 24 Итого 33 87 120
На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?
6. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 - среднее специальное образование, у 357 высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее специальное, или высшее образование, или и то и другое?
7. Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность того, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,80. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,40. Используя полученную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет расти, а норма процента падать в течение обсуждаемого периода.
8. Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?
9. Город имеет 3 независимых резервных источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника электроэнергии. Вероятность того, что любой из 3 резервных источников будет доступен при отключении постоянного источника, составляет 0,8. Какова вероятность того, что не произойдет аварийное отключение электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?
10. Покупатель может приобрести акции 2 компаний А и В. Надежность 1-й оценивается экспертами на уровне 90%, а 2-й - 80%. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?
11. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будут заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок - 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок?
12. На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара разбит. Если вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 1 из них будет разбит? Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора.
13. Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, с 90%-й вероятностью обратятся за покупкой определенного ассортимента товаров в ее магазины. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар в магазинах этой компании с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?
14. Аудиторская фирма размещает рекламу в журнале "Коммерсант". По оценкам фирмы 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?
15. В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых - 0,95, 0,90 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка; б) что обанкротится хотя бы 1 банк?
16. О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?
17. Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять 0,7, а компании М - 0,4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность их роста или компании N, или компании М, или обеих компаний вместе.
18. Крупная торговая компания занимается оптовой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 регионах, основанный на ее собственной системе кодов, рассылает им по почте каталог товаров. Менеджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из одного региона?
19. Секрет увеличения доли определенного товара на рынке состоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение потребителей товара ("brand loyalty" - приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара) - одна из наиболее ответственных областей рыночных исследований. Производители нового сорта духов знают, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание "brand loyalty" потребует, по крайней мере, 6 месяцев, равна 0,02. Производитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Предположим, потребитель только что приобрел новый сорт духов (изменил марку товара). Чему равна вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение 6 месяцев?
20. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ - 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет куплен или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА
Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.
Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, H3, ..., Hn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н1), Р(Н2), ..., Р(Нi), ..., Р(Нn). Так как события Нi образуют полную группу, то

а также известны и условные вероятности события А:

Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.
Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом полной информации о событии А.
Вероятность события А определяется как

Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1,Н2 ,Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.
Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле

или

Это - формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе - формула полной вероятности.
Пример 1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й - 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах качества составлена табл. 3.1.
Таблица 3.1
Поставщик
% качественной продукции
% брака
1-й поставщик
2-й поставщик
98
95
2
5

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от 2-го поставщика.
Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2.
Таблица 3.2
Гипотезы
Нi Вероятности априорные Р(Нi) условные Р(А/Нi) совместные Р(Нi ? А) апостериорные Р(Нi/А) 1 2 3 4 5
Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 - ЧИП от 1-го поставщика; Соб. Н2 - ЧИП от 2-го поставщика. Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.
В колонке 2 записываем вероятности этих событий:
Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35.
В колонке 3 определим условные вероятности события А - "ЧИП бракованный" для каждой из
гипотез.
Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий "ЧИП от 1-го поставщика и он бракованный" и "ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный". Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий А и Нi, то их вероятности называют совместными:
Р(Нi ? А) = Р(Нi)Р(А/Нi).
Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 1-го поставщика, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2 поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (3.1)

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2):

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Гипотезы
Нi
Вероятности априорные
Р(Нi)
Условные
Р(А/Нi)
Совместные
Р(Нi ? А)
апостериорные Р(Нi/А)
1
2
3
4
5
ЧИП от 1-го поставщика
0,65
0,02
0,0130
0,426
ЧИП от 2-го поставщика 0,35 0,05 0,0175 0,574 ?
?=1

P(A)=0,0305
?=l

Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.
Решение. Определим события:
А - "Акции компании поднимутся в цене в будущем году".
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1 - "Экономика страны будет на подъеме";
Н2 - "Экономика страны не будет успешно развиваться".
По условию известны вероятности гипотез:
Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:
Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А - несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 -
несовместны.
События Н1 и А, Н2 и А - зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.
Решение оформим в виде табл. 3.4.
Таблица 3.4
Гипотезы Нi Р(Нi) Р(А/Нi) Р(Нi)Р(А/Нi) Н1 - "подъем экономики" 0,80 0,75 0,60 Н2- "спад экономики" 0,20 0,30 0,06 ? 1,00 0,66
Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0,66. Ответ. 0,66.
Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста - 0,30;
умеренного экономического роста - 0,50 и низкого роста - 0,20. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?
Решение. Определим события:
А - "Доллар дорожает". Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1 - "Активный экономический рост";
Н2 - "Умеренный экономический рост";
Н3 - "Низкий экономический рост". По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. - несовместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А - зависимые.
Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).
Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем

Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.5.
Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Таблица 3.5

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево решений:

Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар.
а) Найти вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным.
б) Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар?
Решение. Определим события:
А - "Шар, извлеченный из 2-й урны, черный". Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1 - "Из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар" и Н2 - "Из 1-й урны во 2-ю переложили
белый шар".
Используя классическое определение вероятности, найдем вероятности гипотез
Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10
и условные вероятности события А.
После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4 белых шаров, тогда
Р(А/Н1) = 7/11.
Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне окажется 6 черных и 5 белых шаров, тогда
Р(А/Н2) = 6/11.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А - несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А - зависимые.
1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1)
Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 · 7/11 + 4/10 · 6/11 = 0,6.
Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6.
Таблица 3.6
Гипотезы Нi Р(Нi) Р(А/Нi) Р(Нi)Р(А/Нi) Н1- "из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар" 6/10 7/11 42/110 Н2- "из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар" 4/10 6/11 24/110 ? 1,00 0,6
Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным, составляет 0,6.
2. Во 2-й части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е. необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным:
Р(Н2/А).
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2)

Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.7.
Таблица 3.7

Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.
Ответ. а) 0,6; б) 0,3636.
Задачи к теме 3
1. Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке - фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказались 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины?
2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?
3. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?
4. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он определяет вероятность того, что новый товар более высокого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества - в 0,3, хуже по качеству - в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно более высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью, чем аналогичные.
5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся
прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные - с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?
6. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 мужчин, во 2-й - супружеская пара, в 3-й - 2 женщины. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.
7. Среди студентов института - 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м - 30%, на 3-м - 35%, на 4-м - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) - третьекурсник?
8. Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые, получая кредит, не выполняют своих платежных обязательств. Менеджер по кредитам предлагает в будущем отказывать в кредитной поддержке тем покупателям, которые на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90% таких покупателей задерживают платежи, по крайней мере, на 2 месяца.
Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей товаров в кредит не только задерживают очередной взнос, но и вообще не выполняют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность по кредиту, уплатил очередной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в действительности не выполнит своих платежных обязательств по кредиту. Проанализировав полученные вероятности, критически оцените новую кредитную политику, разработанную отделом менеджмента.
9. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% - местные, 30% - по СНГ и 10% - международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается 1. Чему равна вероятность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен?
10. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально?
11. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?
12. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
13. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация "хорошая"; с вероятностью 0,30, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0,10, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?
14. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки?
15. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
16. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?
17. Перед тем, как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто проверяют спрос на него по отзывам случайно выбранных потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

18. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й - 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом.
19. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
20. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
4.1. Определение дискретной случайной величины
Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно, считается случайной.
Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.
Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через x1, x2, ..., xn..., а через pi = Р(Х = хi) вероятность появления значения xi, то дискретная случайная величина полностью определяется табл. 4.1.
Таблица 4.1
xi
x1
x2
...
xn
pi
p1
p2
...
pn

Здесь значения x1, x2, ..., xn записываются, как правило, в порядке возрастания. Таблица называется законом (рядом) распределения дискретной случайной величины X. Поскольку в его верхней строчке записаны все значения случайной величины X, то нижняя обладает следующим свойством:

<< Пред. стр. 2 (из 19) След. >>

Список литературы по разделу