<< Пред.           стр. 10 (из 11)           След. >>

Список литературы по разделу

  с > О, то численность соответствующего вида растет (положительная обратная связь), если C1 < О, то численность уменьшается (отрицательная обратная связь).
  Члены U11 X12 отражают наличие внутривидовой конкуренции при U11 < О. Если ап > О, то мы имеем дело с сильной положительной обратной связью, отражающей эффект "группирования",- благоприятное влияние на численность популяции процесса образования сообществ.
  Наиболее интересны в этой модели произведения факторов Jt1 X2, отражающие процесс взаимодействия двух популяций. Если коэффициенты а_ отрицательны, то виды конкурируют друг с другом. При а^ > О процесс взаимодействия биологи называют симбиозом (в социальной сфере более уместно говорить о сотрудничестве, кооперации). Если а12 > О и а21 < О, то первый вид является хищником, а второй - жертвой (если численность первого вида больше, то это взаимодействие паразита с хозяином).
  В литературе рассматривались как более простые системы (часть коэффициентов равна нулю), так и различные обобщения, учитывающие влияние дополнительных факторов. Необходимость обобщений обусловлена таким серьезным недостатком модели Лот-ки-Вольтерра, как неустойчивость решений системы уравнений. Получается, что любое случайное изменение численности одного из видов приводит к изменению траекторий развития, тогда как в природных условиях взаимодействие видов протекает достаточно устойчиво [12].
  В моделях Лотки-Вольтерра решения могут носить циклический характер, что соответствует процессам, наблюдаемым в природе. Рассмотрим систему двух видов: волки и зайцы. Рост численности волков ведет к сокращению поголовья зайцев. Вызванный этим дефицит пищи приводит к сокращению численности волков, что в свою очередь способствует развитию популяции зайцев.
  Модели взаимодействий в социальной сфере. Г.Р.Иваницкий, анализируя искусствоведческую литературу, считает, что в хаосе различных течений и направлений можно выделить закономерность - пульсирующий характер развития [7]. Так, для творческого процесса характерен этап зарождения нового направления, который может длиться десятки лет. Иваницкий выделяет два фактора, регулирующие длительность этапа зарождения нового направления в науке или искусстве: психологический и социальный. Любой ученый или деятель искусства испытывает воздействие своих коллег. Он либо сопротивляется каким-либо
  идеям, либо ощущает сопротивление своим идеям. Возможно пребывание одновременно в двух указанных состояниях.
  Творческая среда достаточно консервативна. Консерватизм в данном случае является защитным механизмом, призванным сдерживать необоснованные притязания реформаторов. Сила сопротивления пропорциональна величине притязаний реформатора.
  В случае успеха в развитии любого направления наступает стадия экспоненциального роста количества продукции. На этой стадии в данное направление науки или искусства вливается большое число специалистов. По мере насыщения наблюдается уменьшение интереса, замедление роста продуктивности, начинается отток специалистов. Затем какое-либо революционизирующее открытие вновь пробуждает интерес к хорошо забытому направлению, и оно опять начинает развиваться по экспоненте.
  Иваницкий считает, что область науки или искусства, состоящая из большого числа различных направлений, также характеризуется пульсирующим характером развития. В простейшем случае уравнения развития науки или искусства имеют следующий вид:
 IdN1/Ut = U1N1Nt-U2N1, [dN2/dt = k3N1N2-k^N2,
 где N12-число специалистов; dNl /dt, dN2/dt - скорости изменения числа специалистов соответственно в областях 1 и 2; ft.- коэффициенты, зависящие от начальных условий. Первое уравнение системы (12.25) означает, что скорость изменения количества продукции пропорциональна произведению W1 N2 и обратно пропорциональна численности работников в данной области.
  Численные эксперименты показали, что кривые, являющиеся решением системы (12.25), циклически колеблются около экспоненциального тренда. Так как поведение решения системы (12.25) соответствует эмпирическим данным, то, как считает Иваницкий, данная модель может претендовать в первом приближении на качественное описание реального творческого процесса.
  В данной главе в основном рассматривались примеры динамических моделей социальных процессов на макроуровне, однако в литературе имеется много примеров использования дифференциальных уравнений для моделирования индивидуального поведения и групповой деятельности [4,15]. Язык дифференциальных уравнений позволяет точно сформулировать утверждения,
  которые можно описать и на обыденном языке, но в значительно более расплывчатой форме.
  Решая дифференциальные уравнения, можно забыть о содержательном смысле переменных и использовать математический аппарат, разрабатываемый в течение нескольких столетий целым рядом выдающихся математиков. Используя их результаты, можно исследовать особенности поведения решений, получить качественные оценки.
  Следует отметить, что при интерпретации полученных решений необходимо снова вернуться к языку содержательных понятий для оценки адекватности и осмысленности полученных математических выводов.
 12.6. Системная динамика Форрестера
  Ориентированная на компьютерное моделирование методология системной динамики (разрабатываемая школой Дж. Форрестера) представляет собой в настоящее время достаточно мощный инструментарий для исследования динамических процессов. Базовым конструктом системной динамики является представление исследуемого процесса в виде диаграммы, состоящей из петель положительной и отрицательной обратной связи, практически совпадающей с рассматриваемыми в § 3.2 когнитивными картами. Можно сказать, что когнитивные карты служат про-томоделями для теории системной динамики, математическим аппаратом которой являются системы дифференциальных уравнений. Для компьютерного моделирования подобных систем разработан специальный язык программирования DYNAMO и целый ряд специализированных пакетов.
  Под руководством Форрестера в Массачусетском технологическом институте (Кембридж, США) создана национальная модель, имитирующая развитие американской экономики. На вход модели не подаются экзогенные временные ряды, ее поведение полностью определяется взаимодействием эндогенных факторов. В поведении модели можно наблюдать циклы с периодом 3-7 лет, циклы Кузнеца, волны Кондратьева, но особенно важно то, что удается выявить эффект нелинейного взаимодействия волн различного периода. Так, неожиданный для бизнесменов и правительства резкий спад 1982 г. и последовавшее затем на удивление быстрое восстановление экономики Форрестер объясняет тем, что деловые циклы резко увеличивают свою амплитуду, когда экономика находится в точке максимума волны Кондратьева или в начале стадии спада. В период подъема волны
  Кондратьева амплитуда деловых циклов значительно меньше, что подтверждается данными за 1945-1965 гг.
  Практика моделирования показывает, что широкое использование нелинейности часто обеспечивает устойчивость модели по отношению к вариациям значений параметров. Форрестер утверждает, что такая ситуация типична для социальных систем. Если реальная система устойчива, то такой же должна быть модель. Аргументом в пользу нечувствительности реальных систем к конкретным значениям параметров, по мнению Форрестера, является сходство экономических проблем, с которыми сталкиваются страны с различными культурными, идеологическими особенностями. Форрестер считает, что в нелинейном мире деятельность ученого, специализирующегося в области социальных наук, должна быть ближе к профессии инженера или медика, а не теоретика-физика или математика.
  По-видимому, наиболее известной моделью системной динамики является модель мирового развития (МИР-3), разработанная группой исследователей Массачусетского технологического института под руководством Д.Медоуза [5]. Модель МИР-3 относится к области глобального моделирования, в которой изучаются долгосрочные тенденции развития таких систем, как мир в целом, государство, крупный регион. В глобальных моделях, как правило, рассматривается взаимосвязь экономических, демографических, экологических, социальных и технологических факторов развития.
  Группа Медоуза анализировала возможные пути глобального развития с 1900 по 2100 г. Расчеты в рамках данной модели показали неизбежность кризиса, вызванного истощением невозобновляемых ограниченных ресурсов. Кризис ведет к резкому падению промышленного производства, сокращению инвестиций в сельское хозяйство. Развитие кризиса ведет к уменьшению производства продуктов питания и ухудшению медицинского обслуживания, что в конечном итоге вызывает рост смертности и сокращение численности населения планеты. Вычислительные эксперименты, связанные с изменением основных параметров, показали, что качественная картина решений является довольно устойчивой (менялось только время наступления кризиса и удельный вес кризисных факторов - нехватка продуктов питания, загрязнение среды).
  Разработчики модели МИР-3 считают, что единственной возможностью избежать катастрофы является стабилизация численности населения и объема промышленного капитала. Кроме того, необходимо снижение начиная с 1975 г. потребления ресурсов на душу населения в 8 раз и сокращение в 4 раза генерации
  загрязнения окружающей среды. При выполнении данных рекомендаций система выходит на уровень "глобального равновесия".
  Анализируя результаты 35-летнего периода применения методов системной динамики для решения широкого спектра теоретических и прикладных задач, Дж.Форрестер подчеркивает, что успех напрямую зависит от правильного понимания роли моделирования социальных процессов.
  Системная динамика является парадигмой, т.е. новым способом изучения социальной реальности. Целью системной динамики является усиление, расширение возможностей когнитивных (ментальных) моделей [19, с. 216]. Обычные интуитивные подходы к решению социальных проблем становятся неприемлемыми в условиях растущей сложности социальных систем и внешней среды. Не справляются со сложностью социального мира и математические подходы. Модели, используемые в системной динамике, являются компьютерными моделями, с помощью которых осуществляется имитация поведения сложных систем. Экспериментирование с моделью позволяет существенно углубить понимание поведения сложных систем и нередко спрогнозировать появление непредвиденных последствий, в том числе катастрофических. Однако реальную пользу моделирование приносит только в тех случаях, когда модель становится средством эффективной, компетентной коммуникации.
  Соглашаясь с точкой зрения Форрестера, отметим, что подобное понимание роли моделирования социальных процессов стало возможным только в последние годы, благодаря развитию когнитивного подхода.
 Задачи и упражнения
  1. Как с помощью Excel построить график функции, заданной формулой?
  2. Исследуйте поведение функций из § 5.2, варьируя значения коэффициентов.
  3. Сформулируйте модель Ричардсона на языке разностных уравнений. Проанализируйте поведение решений с помощью Excel.
 4. Попробуйте учесть в модели Ричардсона эффект запаздывания.
  5. Как смоделировать воздействие внешнего случайного фактора на поведение модели Ричардсона?
  6. Какие уравнения точнее описывают ход социальных процессов: разностные или дифференциальные?
  7. Как вы считаете, рассмотренные в данной главе модели описывают эволюцию социальных систем на макроуровне или на микроуровне?
  Литература
  1. Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели // Математическое моделирование социальных процессов. M.: МГУ, 1998. С.29-51.
  2. Бородкин Л.И. Моделирование взаимодействия в системе "народ- правительство": модификация модели Вайдлиха// Математическое моделирование исторических процессов. M., 1996. С. 122-142.
  3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. M., 1976.
  4. Гаврилец Ю.Н., Ефимов В.А. Изменения предпочтений индивидов в социальной среде// Экономика и математические методы. 1997. №2. С. 76-93.
  5. Геловани В.А., Пионтковский А.А., Юрченко В.В. О задаче управления в глобальной модели WORLD-3. M., 1975.
  6. Долголаптев В.Г. Работа в Excel 7.0 для Windows 95 на примерах. M.: Бином, 1995.
  7. Иваницкий Г.Р. На пути второй интеллектуальной революции// Техника кино и телевидения. 1988. № 5. С. 33-39.
 8. Налимов В.В., Мульченко З.М. Наукометрия. M., 1969.
  9. Паповян С.С. Математические методы в социальной психологии. M.: Наука, 1983.
  10. Плотивский Ю.М. Математическое моделирование динамики социальных процессов. M.: МГУ, 1992.
  11. Плотинский Ю.М. Иконологическое моделирование - новый инструмент социологов//Социологические исследования. 2000. № 5. С. 116-122.
  12. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. M.: МГУ, 1993.
  13. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. M., 1977.
 14. Сергазин Ж.Ф. Введение в социальное моделирование. Л., 1991.
  15. Тихомиров Н.П. и др. Моделирование социальных процессов. M., 1993.
  16. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. M., 1998.
  17. Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в экологии. M., 1999.
 18. Форрестер Дж. Мировая динамика M., 1978.
  19. Forrester J.W. System Dynamics and the Lessons of 35 years // A Systems - based approach to Policymaking / Ed.by De Green U.B. Boston: Kluwer, 1995. P. 199-239.
  20. Forrester J.W. Nonlinearity in high-order models of social systems// Eur. J. of Opnl. Res. 1987. Vol. 30. P. 104-109.
  21. Hanneman R.A. Computer-assisted theory building. Modeling dynamic social systems. N. Y.: Sage. 1988.
  22. Harvey D.L., Reed M. Social Science as the Study of Complex Systems // Chaos Theory in the Social Sciences / Ed.by L.D.Kiel and E.Elliot Ann Arbor. The Univ. of Michigan Press, 1996. P. 295-323.
  23. Huckfeldt R.R., Kohfeld C.W., Likens T.W. Dynamic modeling. An Introduction. Newbery Park: Sage, 1982.
  24. Olinick M. An Introduction to mathematical models in social and life scince. N.Y., 1978.
  25. Rapoport A. Mathematical models in the social and behavioral science. N.Y.: Wiley, 1983.
 26. Richardson L. E. Arms and Insecurity. Pittsburgh: Boxwood, 1960.
  27. Weidlich W. Stability and Cyclicity in Social Systems // Behavioral Sci. Vol. 33. 1988. P. 241-256.
  Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"
  Рассмотрим основные положения теории катастроф на примере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференциальное уравнение
 dx/dt = -х3 +Ьх+а. (13.1)
  При варьировании значений параметров а и & поведение системы (число стационарных точек, их расположение) будет также меняться. Для изучения качественного характера этих изменений рассмотрим потенциальную функцию
 F(x,a,b) = х4 /4 - bx2 /2 - ах.
  Заметим, что -dF/дх = -х* +bx+a. Ha рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.
 
  На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кривая (4Ь3 - 27а2). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две части. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один минимум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функции F можно определить, приравняв нулю первую производную:
 х3-Ьх-а = 0. (13.2)
 
  Целесообразно также провести исследование функции г, построив серию графиков при фиксированных значениях у из интервала (-5;5).
  Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазового портрета на плоскости являются положения равновесия и предельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения равновесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый портрет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений параметров происходит бифуркация - меняется топологическая структура фазового портрета. Качественное исследование динамической системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества бифуркационных значений параметров.
  Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение равновесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех - неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.
  Если в процессе изменения системы параметр подходит к бифуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равновесия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.
  Ситуация возникновения предельного цикла может быть проиллюстрирована следующей системой уравнений:
 
 \dr/dt = Kr-r3; (135)
 [dy/dt = с,
 где с - константа, гиф - полярные координаты (х = rcos ср; j/ = rsintp). Если А, < О, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и становится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фокус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >/Х [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,
  что независимо от начального состояния система достаточно быстро перейдет в режим периодических колебаний (автоколебательный режим).
 
 Рис. 13.3. Рождение цикла
  Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными циклами. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается устойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго варианта при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равновесия - фокусу (рис. 13.4).
 
 Рис. 13.4. Гибель цикла
  В первом варианте после потери устойчивости положения равновесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система уходит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчивости) и переходит на другой режим движения [1].
  Множество точек, к которым притягиваются траектории автономных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов - особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-
  личины с течением времени выходят на постоянные значения, во втором - на периодический режим.
  При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возможно возникновение странных аттракторов.
 13.2. Портреты хаоса
  Для того чтобы интуитивно понять основные концепции теории хаоса, не обязательно штудировать тома математической литературы. Достаточно провести несколько экспериментов, доступных любому студенту, знакомому с основными возможностями электронных таблиц (см. § 12.1).
  Исследуем поведение решений следующего логистического разностного уравнения:
 
 Здесь предполагается, что емкость рынка равна 1, поэтому О < xt< < 1, т.е. xt - это доля рынка, завоеванная новинкой к моменту t; h - параметр управления [7].
  Исследуем поведение системы (13.6) с помощью Excel, но несколько модифицируем схему вычислений. Столбец А сформируем так же, как и в § 12.1, параметр А, запишем в ячейку Cl. Сформируем вспомогательный столбец В, равный столбцу А, но со сдвигом на одну ячейку вниз (табл. 13.1).
 Таблица 13.1. Фрагмент окна Excel
 
  А
  В
  С
  1
  0,85
  О
  1,8
  2
  "CS1*A1* (1-Al)
  = Al
 
  В данной таблице в ячейку Al введено начальное значение Jc1 = = 0,85, в ячейку Bl записан О, а в ячейке Cl будет храниться значение параметра X. В ячейке А2 записана рекуррентная формула логистического уравнения, а в ячейке В2 указывается, что значение числа следует взять из предыдущей строки столбца А. Выделим ячейки А2 и В2. Затем размножим формулы в этих ячейках вниз до строки 60.
  Построим график поведения решения уравнения (13.6) так же, как это делалось в § 12.1. Построим еще один график, отра-
  жающий поведение системы в фазовой плоскости (у,х) - в данном случае (xt+l, xt). Для этого выделим 60 строк в столбцах А и В. Вызовем меню "мастер диаграмм". Выберем тип диаграммы (Точечная), и в раскрывшейся галерее выберем вариант диаграммы со значениями, соединенными сглаживающими линиями. Полученный график поместим под ранее построенной диаграммой. Теперь изменения в поведении системы будут видны одновременно в двух вариантах графиков.
  Изменим поведение системы (13.6), варьируя значения управляющего параметра в интервале от О до 4. При этом система демонстрирует три различных типа поведения: 1) стремление к состоянию равновесия; 2) периодические колебания; 3) хаос.
  При значении А, от О до 3 система стремится к равновесному стабильному положению (пример на рис. 13.5). Посмотрите, как ведут себя графики при А. = 0,5; 1,8; 2,2; 2,6. При А, < 1 наступает положение равновесия: х*= О. При 1< А,< 3 система стремится к стационарному состоянию: х*=1 - (1/А.). Полезно при фиксированном А. поэкспериментировать с разными начальными состояниями (JC1).
 
 Рис. 13.5. Стремление к состоянию равновесия (А. = 2,2)
  Периодические колебания охватывают систему при А, > 3. Качественное изменение поведения системы говорит о том, что 1 = 3 является точкой бифуркации - положение равновесия сме-аяется предельным циклом. Зададим А, = 3,2 и увидим, что довольно быстро система переходит к колебаниям с периодом 2 (в столбце А остаются только два чередующихся значения) (пример на рис. 13.6). Постепенно увеличим значение А. = 3,3; 3,4; 3,5. При А, = 3,5 период колебаний равен 4 - произошло удвое-trae периода. При А. = 3,567 появляется цикл с периодом 8. При
  дальнейшем росте X появляются циклы с периодом 32, 64, 128, 256 и т.д. [7].
  В хаотический режим система попадает при \ E (3,8;...4) (рис. 13.7). Поведение системы становится апериодическим, не видно какой-либо закономерности. Поведение кажется случайным, подверженным непредсказуемым внешним воздействиям. На самом деле это загадочное поведение полностью определено детерминированным законом функционирования системы (13.6). Но прогнозировать поведение системы в состоянии хаоса на длительный период времени невозможно. Хаотическое поведение слишком чувствительно к изменению исходных данных. Изменение X1 на одну миллионную может существенно изменить ход решения.
 
 Рис. 13.6. Колебания с периодом 2 (X = 3,2)
 
 Рис. 13.7. Хаотический режим (X = 3,9)
  Качественное изменение режимов функционирования системы удобно наблюдать в фазовой плоскости. В варианте сходимости к
  положению равновесия решения стремятся к одной точке. Для колебаний с периодом 2 аттрактором является цикл, состоящий из двух точек. Значительно более запутанная картина возникает в случае хаотического режима. Рассмотрим несколько вариантов графика. Для этого следует отредактировать диаграмму, щелкнув по ней правой кнопкой мыши. Появится контекстное меню, в котором следует выбрать опцию "Тип диаграммы". Появится галерея вариантов графика. Выберем вариант даграммы без маркеров и увидим типичную картинку странного аттрактора (рис. 13.8).
 
 Рис. 13.8. Хаотический режим в фазовой плоскости (X = 3,9)
  Теперь уберем лишние линии, выбрав первый вариант графика, и перед нами окажется портрет таинственного странного аттрактора (рис. 13.9). Именно по этому множеству точек хаотично "скачет" исследуемая система. И ее можно понять - в данном случае странный аттрактор имеет вполне притягательную параболическую форму.
  Поэкспериментируйте с различными исходными данными и понаблюдайте за эволюцией странного аттрактора. Убедитесь, что в хаосе тоже существует своего рода порядок.
  Еще менее устойчивым становится поведение систем при учете эффекта запаздывания. Рассмотрим следующий вариант логистического уравнения:
 
  В этом случае состояние системы в момент t + 1 зависит не только от xt , но и от X1^. Вспоминая, как исследуются такие модели (см. задачу Фибоначчи в § 12.1), составим вычислитель-
 
 ную модель (аналогично предыдущему случаю). Оказывается, система (13.7) имеет положение равновесия только при О < А, < 2. При А. = 2 происходит бифуркация и появляется предельный цикл. При А> 2,27 поведение системы перестает быть стабильным [5,6].
 " " "
  Что же дает социологу исследование нелинейных моделей социальных систем? Проведение вычислительных экспериментов позволяет определить границы параметров, при которых система устойчиво демонстрирует стабильное поведение. Даже если система оказалась в состоянии хаоса, исследование формы странного аттрактора может дать полезную информацию.
  Результаты последних лет позволяют надеяться, что и хаотическими ситуациями можно научиться управлять. Используя чувствительность хаотических режимов, в некоторых случаях удается легко перейти на стабильные траектории развития [7].
 Задачи и упражнения
  1. Исследуйте поведение системы, описываемой следующим нелинейным разностным уравнением:
 
  В качестве начального значения X1 возьмите все более точные значения л/4. При X1 - 0,7 у системы появится предельный цикл с периодом 2, при Jr1 = 0,78 - цикл с периодом 10 и т.д. Задав X1 = л/4, по-
 259
  лучим хаотический режим [3]. Учтите, что в Excel число п задается функцией = ПИ ( ), а модуль числа х записывается как ABS(X).
 2. Попробуйте варьировать значения параметров модели из задачи 1.
  3. Проведите вычислительные эксперименты с разностными аналогами системы Лотки-Вольтерра, варьируя типы взаимодействий.
  4. Исследуйте разностное уравнение X1^1 = 3,6 xt - *(2при О < X1 < 3,6. Имеет ли система хаотический режим?
 5. Исследуйте разностное уравнение с запаздыванием:
 
  о появлении новых универсальных моделей реальности [1], созданы даже машины клеточных автоматов - приставки к ЭВМ, существенно ускоряющие процесс моделирования [5].
  В данной главе читатель познакомится с тем, как строить реалистические модели социальных процессов и, главное, как их можно без особых усилий реализовать с помощью обычных электронных таблиц (в данном случае Excel). После этого процесс исследования модели сводится к изучению последовательности картинок, получаемых нажатием одной кнопки.
  Клеточными автоматами принято называть сети из элементов, меняющих свое состояние в дискретные моменты времени [3]. Чаще всего рассматриваются двумерные клеточные автоматы, элементом которых является один квадрат (например, на листе бумаги в клетку). Каждый автомат или клетка может находиться в конечном числе состояний, в простейшем случае в двух - черное или белое, жизнь или смерть, 1 или О. Время в модели задается дискретным множеством тактов (t = 1, 2, 3,...). Система клеточных автоматов, как правило, функционирует в некотором замкнутом пространстве (например, в квадратной решетке 1Ox 10 или 10Ox 100). Состояние автомата в момент t + 1 определяется его состоянием и состоянием его ближайших соседей в предыдущий момент t.
  В моделях клеточных автоматов среда обычно предполагается однородной, т.е. правило изменения состояний для всех клеток одинаковы. Если это правило не зависит от случайных факторов, то автомат называется детерминированным, если зависит - то стохастическим.
  Рассматриваются также клеточные автоматы с памятью. В этом случае состояние элемента в момент t + 1 зависит от состояния системы в моменты t и t - 1 (таким образом учитывается эффект запаздывания).
 
  Одним из наиболее важных понятий теории клеточных автоматов является понятие окрестности, т.е. множества клеток, которые считаются "соседними" с данной клеткой. На рис. 14.1 при-
 261
  ведены два наиболее распространенных типа окрестности автомата, расположенного в заштрихованной клетке.
  Для того чтобы дальнейшее изложение не показалось читателю чересчур абстрактным, приведем пример моделирования процесса расовой сегрегации [9].
  Предположим, что исследуемый регион может быть представлен решеткой 16x13, где каждая клетка соответствует одному дому. Предположим также, что каждый дом может быть занят белой (о) или черной (х) семьей, либо остаться пустым. В данной модели у каждого клеточного автомата есть три возможных состояния, а общее число состояний модели составит примерно 10".
 
  В рассматриваемом примере предполагается, что каждая расовая группа предпочитает иметь определенный процент соседей с тем же цветом кожи. Если это условие не выполняется, то семья перебирается в ближайший дом, где процентный состав соседей является приемлемым. Считается, что разумный выбор можно сделать, если в данном поселении 25-30% домов не заселены. Начальная структура расселения приведена на рис. 14.2. В [9] рассматривались два правила поведения жителей, оценивающих процент приемлемых соседей (использовалась окрестность Мура):
  1) не менее половины соседних домов должны быть заселены представителями той же расы;
 2) не менее трети соседей принадлежат той же расе.
  На рис. 14.3,а приведен результат моделирования при использовании первого правила. Как видно из рисунка, в модели постепенно происходит процесс разделения региона на несколько ра-сово-однородных областей.
  Результат моделирования с менее жестким вторым правилом демонстрирует неструктурированный вариант расселения, близкий к начальному состоянию (рис. 14.3,6).
  Так что же произошло с исследуемой системой? Руководствуясь только локальными правилами поведения (1), задаваемыми на микроуровне каждой семьи без какого-либо централизованного руководства и сговора, процесс переселения стихийно само-
 
 организовался, и в результате спонтанно родилась достаточно четкая структура расселения (см. рис. 14.3, а).
  Приведенный чрезвычайно упрощенный пример показывает, что клеточное моделирование дает в руки исследователя мощный инструмент для изучения процессов социальной самоорганизации. Анализ поведения клеточных автоматов показал, что их эволюция во многом аналогична динамике сложных нелинейных систем, рассмотренных в гл. 12 и 13. Выделяют четыре основных класса автоматов [3]:
  1. Независимо от начального состояния за конечное число шагов происходит переход к однородному состоянию - все автоматы оказываются в состоянии покоя.
  2. В процессе эволюции автомат приходит к локализованным стационарным или периодическим решениям.
  3. Картины активности системы автоматов являются апериодическими - никогда не повторяются. Можно сказать, что автоматы демонстрируют хаотическое поведение.
  4. Динамика автоматов существенно зависит от начального состояния. Подбирая различные начальные состояния, можно получать самые разнообразные конфигурации и типы поведения.
  Примером автомата четвертого типа является игра "Жизнь", изобретенная математиком из Кембриджского университета Дж. Конвеем. Название связано с тем, что возникающие в процессе игры ситуации аналогичны реальным процессам зарождения, развития и гибели колоний живых организмов. Основная идея игры заключается в том, чтобы, начав с произвольно заданного исходного положения, проследить за эволюцией исходной позиции под действием "генетических законов" Конвея, которые управляют рождением, гибелью и выживанием "организмов".
 263
  Игра проводится на бесконечной плоской решетке квадратных клеток и состоит из шагов, соответствующих дискретному времени (t = 1, 2, ... ). Один ход в игре - это переход из состояния t в состояние t +1. Каждая клетка может быть "живой" или "мертвой". Изменение состояния клетки в момент t+l однозначно определяется состоянием ее соседей в предыдущий момент t. У каждой клетки восемь соседей, из которых четыре имеют с ней общие ребра, а четыре общие вершины.
  Назовем "потенциалом" клетки - число живых соседей, используя определение окрестности по Муру. Тогда генетические законы Конвея, определяющие поведение каждой клетки, сводятся к следующим правилам:
 • если потенциал равен 2, то состояние клетки не меняется;
  • если потенциал равен 3, то клетка в следующий период будет живой независимо от текущего состояния;
  • при остальных значениях потенциала (О, 1, 4, 5, 6, 7) клетка в следующий период будет мертва.
  Таким образом, если у клетки более трех живых соседей, то она погибает от перенаселенности. Клетка погибает от одиночества, если жива только одна соседняя клетка или все соседние клетки мертвы. Выживает и переходит в следующее поколение клетка, имеющая двух или трех живых соседей.
  Имея под рукой лист бумаги в клетку, читатель может убе-диться, что любая начальная популяция претерпевает необычные и неожиданные изменения. Некоторые первоначальные колонии организмов постепенно вымирают, однако большинство исходных конфигураций либо переходит в стационарные структуры, не зависящие от времени, либо наступает колебательный режим.
  Читатель может также легко убедиться, что конфигурации, изображенные на рис. 14.4, а, погибают на втором ходу, тогда как три конфигурации на рис. 14.4, б являются стационарными (эти конфигурации имеют названия: левая -"блок", центральная -"бадья", правая -"змея").
  На рис. 14.4, в изображена эволюция конфигурации, называемой "мигалкой" или "семафором"; ее цикл равен 2. Еще два примера циклических конфигураций с периодом 2 приведены на рис. 14.4, г. Больший период (соответственно 4 и 5) имеют конфигурации, изображенные на рис. 14.4, д и е. Построены конфигурации, имеющие значительно больший период колебаний.
  После первых публикаций в популярных изданиях M. Гарднера, посвященных игре "Жизнь", произошел взрыв энтузиазма среди пользователей ЭВМ. Затраты машинного времени на исследова-
 264
 
 ние различных вариантов игры составили миллионы долларов. Были выявлены многочисленные замечательные конфигурации, одна из которых, называемая "планер" (глайдер), приведена на рис. 14.4, ж. Через каждые четыре шага планер повторяет себя, смещаясь на одну клетку вниз и вправо, т.е. движется по диагонали. Найдены конфигурации, которые могут двигаться по прямой. В 1970 г. обнаружена конфигурация "катапульта", которая через каждые 30 шагов повторяет себя и "выстреливает" планер.
  В процессе исследований выяснилось, что с помощью игры "Жизнь" можно не только изучать процессы эволюции, но и моделировать основные компоненты современных ЭВМ, исследовать прообразы параллельно работающих ЭВМ, решать задачи распознавания образов.
  Данная ветвь синергетики относится к теории коллективного поведения автоматов [3], но все-таки наибольший интерес исследователей привлекают проблемы самоорганизации в биологических системах, формализованных на языке динамических систем.
  Игра "Жизнь" была популярна в 70-80-е годы, а в 90-е годы появилось новое популярное развлечение - игра "Ант" (термит), изобретенная американским математиком К.Лангтоном [6]. Клеточный автомат в этой игре может иметь два состояния - чер-
 265
  ное и белое. Игра происходит на поле из квадратных клеток, которые в начальном состоянии все имеют белый цвет.
  Ант стартует с центральной клетки в некотором выбранном направлении, например на Восток, переходит на соседний квадрат и смотрит: если этот квадрат черный, то Ант красит его в белый цвет, а сам поворачивает налево на 90°. Если квадрат окажется белым, то Ант делает его черным и поворачивает направо на 90° и т.д.
  Оказывается этот примитивный автомат демонстрирует очень сложное поведение. Пройдя приблизительно 500 шагов, он возвращается в центральную клетку, оставляя после себя ряд симметричных орнаментов. Но после примерно 10 000 шагов картина становится весьма хаотичной. Ант неожиданно начинает строить магистраль - повторяя цикл из 104 шагов, он формирует диагональ, идущую на юго-запад. Интересно, что поведение автомата остается таким же, если в начальном положении имеется много черных квадратов.
 14.2. Реализация моделей клеточных автоматов на ЭВМ
  Чтобы убедить читателя в том, что, используя возможности электронных таблиц Excel, любой начинающий пользователь может заниматься клеточным моделированием, рассмотрим одну из реализаций игры "Жизнь".
  Клетки в исходной таблице Excel слишком велики для нашей задачи. Поэтому придадим им вид небольших квадратов. В качестве примера возьмем игровое поле 5x5, хотя увеличение размера в несколько раз не требует никаких усилий. Отведем для игры клетки В2 : F6.
  Если клетка жива, то в ячейку запишем 1, если мертва, то О. Зададим произвольное начальное состояние. Далее нам понадобятся две вспомогательные таблицы. В ячейках Н2 : L6 будет храниться "потенциал" клеток. Для вычисления потенциала клетки В2 введем в ячейку Н2 следующую формулу:
 = СУММ(А1 : СЗ) - В2 (14.1)
  В данном случае подсчитывается число живых клеток в окрестности клетки В2 (окрестность по Муру). Закончив ввод этой формулы нажатием клавиши Enter, установим курсор на правый нижний угол клетки Н2 и размножим формулу (14.1) сначала до ячейки L2, а затем вниз, заполнив всю таблицу Н2 : L6. (Обратите внима-
 266
  ние на то, как следует учитывать состояние клеток, граничных с таблицей В2 : F6. В данном случае они остаются пустыми, но возможны и более сложные формы задания граничных условий.)
  Сложнее всего задать правило поведения клеточного автомата. Запишем в ячейку BlO правило поведения автомата В2, используя логические функции:
 = ЕСЛИ (ИЛИ (Н2 >3; Н2 <2); О; ЕСЛИ (Н2 = 3; 1;
 ЕСЛИ(Н2 = 2;В2;-1))) (14.2)
  Первое ЕСЛИ в (14.2) означает, что клетка будет мертва при потенциале Н2 = О, 1, 4, 5, 6, 7; второе ЕСЛИ - что при потенциале 3 клетка будет живой, третье ЕСЛИ - что при потенциале 2 состояние автомата в клетке В2 не меняется. Наконец, выражение (-1) означает, что при невыполнении всех предыдущих условий в ячейку BlO будет записано значение (-1). (Заметим, что в данном случае этот вариант невозможен.)
  Запись логической функции требует аккуратности. Однако следует учесть, что для освоения Excel необходимо умение работать с логическими функциями.
  Функция (14.2) записывается только в одну ячейку BlO, далее она размножается вправо до ячейки FlO, а затем вниз, заполняя всю таблицу B10:F14. Таким образом, если в таблице B2:F6 мы имеем состояние системы в момент t, то в таблице B10:F14 вычисляется состояние системы в следующий момент t + 1. Теперь необходимо скопировать таблицу B10:F14 в таблицу B2:F6. Делается это следующим образом.
 Шаг 1. Выделяем таблицу BlO: F14.
 Шаг 2. В меню "Правка" выбираем команду "Копировать".
 Шаг 3. Устанавливаем курсор в ячейку В2.
  Шаг 4. В меню "Правка" выбираем команду "Специальная вставка". В раскрывшейся дополнительной вкладке следует из первого столбца "Вставить" выбрать строку "Значения" и нажать кнопку OK. В итоге в таблице B2:F6 появится картинка нового состояния системы.
  Процедуру копирования можно существенно ускорить, если подготовить соответствующий макрос. Делается это очень просто. В Excel 2000 в меню "Сервис" выбираем "Макрос", а затем команду "Начать запись". В раскрывшейся вкладке можно дать имя макросу либо оставить предлагаемый вариант "Макрос 1". Назначаем макросу клавишу быстрого вызова, например Ctrl + е. Нажимаем OK. Появится таблица Excel, и на экране возникнет
 267
  кнопка "Остановить макрос". Выполним указанные выше операции (шаги 1-4) и нажмем кнопку "Остановить". Запись макроса будет закончена.
  Теперь переход к следующему временному такту будет происходить после каждого нажатия комбинации клавиш Ctrl + ей можно спокойно наблюдать за эволюцией системы.
  Столь подробное описание процесса построения модели дано лишь с той целью, чтобы читатель немного освоил электронные таблицы и понял, насколько легко могут быть построены значительно более сложные и реалистичные модели.
  Ясно, что легко усложнить формулу расчета потенциала, изменить окрестность, ввести в расчет случайные факторы. Учет географических особенностей региона может заставить вас отказаться от простой квадратной решетки. В ней могут появиться дырки, а граница вполне может быть извилистой. Совершенно необязательна унификация правил поведения автоматов. Например, вы можете для центральных клеток задать одни правила, а для периферийных - другие.
 14.3. Приложения клеточных моделей
  Модель электорального процесса. В цикле работ Т.Брауна рассматривается ряд контекстуальных моделей электорального процесса. Он считает, что избирательные предпочтения индивида определяются установками его ближайшего окружения [8]. В одной из моделей предполагается, что индивид принимает решение голосовать в момент t + 1 за республиканцев или демократов в соответствии с правилом простого большинства. Учитываются взгляды индивида и четырех его ближайших соседей в момент t (окрестность фон Неймана). Если из пяти человек трое или больше поддерживают демократов, то индивид также голосует за демократов. Если большинство составляют республиканцы, то индивид и в этом случае разделяет точку зрения большинства.
  В данном случае клеточный автомат имеет два состояния: 1 - голосование за республиканцев; О - голосование за демократов. Нетрудно заметить, что указанная модель может быть реализована на ЭВМ даже проще, чем рассмотренная выше игра "Жизнь".
  Браун и его коллеги проводили вычислительные эксперименты на решетке 128 х 128, при этом начальное распределение задавалось случайным образом. Модель исследовалась на большом временном горизонте - до 20 000 тактов. Оказалось, что партийная
 268
  борьба приводит к очень сложным конфигурациям, существенно зависящим от исходного распределения. По мнению Брауна, данная модель относится к четвертому классу клеточных автоматов, так же как и игра "Жизнь". Однако детального исследования модели пока не проводилось и нахождение замечательных конфигураций в политической "Жизни", таких как "блок", "змея", "катапульта", еще впереди.
  Рассмотрим обобщение модели Т.Брауна на случай, когда учитываются взгляды индивида и восьми его ближайших соседей (окрестность Мура). Если из девяти человек пятеро или больше поддерживают демократов, то индивид также голосует за демократов. Если большинство составляют республиканцы, то индивид и в этом случае разделяет точку зрения большинства.
  Покажем, что данная модель может быть реализована на ЭВМ с помощью электронных таблиц даже проще, чем игра "Жизнь". Придадим клеткам исходной таблицы Excel вид небольших квадратов (с помощью форматирования). Отведем для модели поле 10 х 10 (клетки В2: К11) и зададим в нем начальное состояние.
 Перейдем на лист 2 и введем в ячейку В2 формулу:
 =ЕСЛИ (СУММ (Лист 1!А1 :СЗ) > 4; 1; 0)
  Данная логическая функция вычисляет "потенциал" ячейки В2 - в нашем случае число сторонников республиканцев. Если это число больше 4, то ячейке В2 присваивается 1 (автомат голосует за республиканцев), в противном случае присваивается 0 (голосование за демократов).
  Размножим эту формулу на все ячейки В2:К11. Получим новое состояние системы, скопируем его и вставим с помощью команды "Специальная вставка" только "значения" в те же ячейки на листе 1. Запишем процедуру копирования в виде макроса. (Первым шагом при записи макроса должен быть переход с листа 1 на лист 2.) Назначим макросу клавиши быстрого вызова, например Ctrl+e. Теперь переход к следующему временному такту будет происходить после каждого нажатия этой комбинации клавиш [4].
  Отметим, что для длительного прогона модели не требуется много раз нажимать кнопки. Достаточно одного нажатия. В Excel 2000 для выхода в режим редактирования макроса следует в меню "Сервис" выбрать команду "Макрос", затем "Макросы..." и "Изменить". На экране вы увидите подпрограмму. Интересно, что вы составили эту программу сами. Точнее, это сделал автоматически Excel, пока вы формировали макрос. Вставим в этот макрос цикл следующим образом. После пер-
 269
  вой строки (Sub Макрос) вставьте строку For i = 1 То 100, а перед последней строкой (End Sub) вставьте строку Next i. Теперь одно нажатие клавиш Ctrl + е заставит модель проделать 100 шагов.
  Изложенный подход основан на методологии иконологичес-кого моделирования (см. § 12.1). Отметим, что в данном случае возможности моделирования существенно расширяются за счет использования макросов. Умение слегка скорректировать текст макроса, вставляя операторы цикла и условного перехода, дает возможность пользователю самостоятельно строить сложные компьютерные модели, не прибегая к помощи программистов.
  Модели диффузии инноваций. Индийские ученые предложили следующую модель клеточных автоматов [7]. Каждый индивид соответствует одной клетке, которая может находиться в двух состояниях: 1 - новинка принята; О - новинка пока еще не принята. Предполагается, что автомат, приняв новинку один раз, остается ей верен до конца.
  Автомат принимает решение о принятии новинки, ориентируясь на мнение ближайших соседей (используется окрестность Мура). Пусть в окрестности данной клетки имеется т сторонников новинки. Генерируется случайное число р - вероятность принятия новинки. Если рт > г, где г - фиксированное пороговое значение, то автомат принимает нововведение, в противном случае новинка пока отвергается.
  Авторы модели полагают, что вероятность принятия новинки со временем должна уменьшаться, так как степень новизны постепенно снижается.
  Моделирование проводилось на решетке 10Ox 100. Эволюция системы рассматривалась на временном горизонте в 100 тактов, если вероятность принятия новинки р = 0,1, и 130 тактов при р = 0,05. Для каждого случая осуществлялось 50 прогонов модели. Проводилось также исследование влияния на поведение модели начального распределения сторонников новшества.
  Для каждого временного такта t подсчитывалось число автоматов, принявших инновацию (п(). Приводимые авторами графики функции п( показывают хорошую степень совпадения с моделью Фишера - Прея (см. § 9.2).
  По мнению индийских ученых, клеточное моделирование позволяет строить значительно более реалистические модели рынка, чем традиционные подходы к исследованию диффузии инноваций. Главное достоинство этого подхода заключается в возможности эмпирической оценки фактора р - вероятности
 270
  принятия новинки. Для этого можно использовать данные социологических опросов и материалы фокус-групп. Другое преимущество предлагаемого подхода заключается в возможности получения оценок необходимого числа сторонников и их пространственного распределения в начальный момент кампании.
 " • "
  Исследования последних лет показывают, что многие физические и информационные процессы прекрасно описываются кле-точно-автоматными моделями. Оказалось, что если к клетке приделать часы, то можно получить новые многообещающие формы представления процессов, протекающих в живой и неживой природе [1]. Очевидно, что, снабдив клетку даже примитивным искусственным интеллектом, можно исследовать более глубокие слои социальной реальности. Весьма перспективным направлением исследований является клеточное моделирование процессов кооперации и конкуренции с использованием для принятия решений моделей теории игр.
  Читателю может показаться, что в данной главе рассматриваются разрозненные, ничем не связанные модели из различных областей науки, практики и сферы развлечений. Однако более внимательное отношение к рассматриваемым процессам показывает, что они все тесно взаимосвязаны. Игра становится Жизнью, Жизнь уже стала Маркетингом, Маркетинг становится Искусством (может быть единственным). И все эти процессы можно и нужно моделировать.
 Задачи и упражнения
  1. Рассмотрите различные определения понятия "окрестность клетки". Какие еще модификации "окрестности" целесообразно исследовать?
  2. Позволяет ли клеточное моделирование исследовать географические особенности региона?
  3. Можно ли применить клеточное моделирование для анализа коммуникативных процессов?
  4. Реализуйте на ЭВМ модель электорального поведения Брауна. Используйте в своей модели различные виды окрестностей. Как это повлияет на поведение модели?
  5. Бесконечно расширяет возможности клеточного моделирования использование цвета. Дж.Касти полагает, что с помощью клеточных автоматов можно анализировать творчество художников. В работе [9] он рассматривает картину известного голландского абстракциониста Пита Мондриана "Шахматная доска. Яркие цвета". Картина представляет
 271
  собой, по мнению Касти, прямоугольную решетку из 256 клеток, раскрашенных в восемь цветов. Касти формулирует следующие задачи:
  а) можно ли построить клеточный автомат, который бы из любой начальной конфигурации строил картину Мондриана?
  б) можно ли построить "фильтр", позволяющий различать индивидуальные стили художников?
  6. Для освоения нюансов маркетинга целесообразно поиграть в следующую игру. Сконструируйте клеточную модель конкуренции на рынке двух (или более) новых продуктов. Каждому продукту должна соответствовать своя цифра (лучше свой цвет). Начиная со случайной исходной позиции два игрока наблюдают за процессами диффузии. Каждый пятый такт игроки могут вмешиваться в естественный ход процесса, добавляя по одному стороннику новинок.
 Выработайте оптимальную маркетинговую стратегию.
 Литература
  1. Веркович С.Я. Клеточные автоматы как модель реальности. M.: МГУ, 1993.
  2. Варшавский В.И., Поспелов Д.А. Оркестр играет без дирижера. M.: Наука, 1984.
  3. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. M.: Наука, 1990.
  4. Плотинский Ю.М. Иконологическое моделирование - новый инструмент социологов//Социологические исследования. 2000. M 5. С. 116-122.
  5. Тоффоли Т., Марголус H. Машины клеточных автоматов. M.: Мир, 1991.
 6. Artificial Life / C.Langton et al. (eds.) N.Y.: Addison-Wesley, 1992.
  7. Bhargava et al. A Stochastic Cellular Automata. Model of Innovation Diffusion //Technological Forecasting and Social Change. 1993. Vol. 44. № 1. P. 87-97.
  8. Brown T.A. Nonlinear Politics // Chaos Theory in the Social Sciences / Eds. L.D.Kiel, E.Elliot. Ann Arbor.: The Univ. Of Michigan Press. 1996. P. 119-137.
 9. Casti J.L. Searching for Certainty. N.Y.: W.Morrow, 1990.
  Глава 15. Модели принятия решений 15.1. Теоретико-игровые модели конфликтных ситуаций
  Центральной проблемой когнитологии - выбором индивидом наиболее эффективных, оптимальных альтернатив занимается теория принятия решений, которая первоначально считалась ветвью исследования операций, а сейчас рассматривается как область системного анализа. Наиболее продвинутой частью теории являются задачи с единственным критерием эффективности. Значительно сложнее обстоит дело, если в задаче имеется несколько критериев эффективности. Но наиболее сложные проблемы возникают в том случае, если в принятии решений участвуют несколько сторон, каждая из которых имеет собственные критерии выбора предпочтительных решений, причем эти критерии могут полностью или частично противоречить друг другу. Именно такие модели конфликта критериев рассматривает теория игр.
  По числу приложений в социальных науках явно лидирует модель, называемая по традиции "Дилемма заключенного". Рассматривается проблемная ситуация, в которую вовлечены только два участника - А и В (два индивида, индивид и система или две социальные системы). Игра состоит в том, что каждый участник выбирает одну из двух альтернатив:
  С - сотрудничество, кооперация, солидарность, учет общих интересов, разрешение конфликта, альтруистическое поведение;
  D - отказ от сотрудничества, усиление конфронтации, обман, нарушение принятых норм, правил, обязательств, эгоистическое поведение.
  Результаты игры определяются с помощью следующей таблицы выигрышей (платежной матрицы).
  В данном примере, если оба игрока выберут стратегию кооперации С, то получаемый каждым выигрыш задается в клетке 1. В клетках содержатся по два числа. Первое число - это выигрыш первого игрока (А), второе число - выигрыш второго игрока (В). Проигрыш игрока задается отрицательным числом.
 
  В зависимости от соотношения чисел в таблице выигрышей каждый игрок пытается определить наиболее рациональную линию поведения. В рассматриваемом примере оба игрока знают, что выбор стратегии кооперации С дает любому из них три единицы выигрыша, допустим 3 руб. Если оба откажутся от кооперации С, обманут (альтернатива D), то получат только по 1 руб. В клетке 2 содержится исход игры в случае, когда игрок А выбирает сотрудничество, а игрок В - обман. Тогда игрок А не получает ничего, а игрок В выигрывает 5 руб. В клетке 3 описан противоположный исход. Если игрок А решается на обман, а игрок В выбирает сотрудничество, то выигрыш первого составляет 5 руб., а второй не получает ничего.
  В теории игр для данных исходов приняты стандартные обозначения R, T, S, P, где R - награда за взаимное сотрудничество, T - цена "предательства", S - плата неудачнику, a P - наказание за обоюдный обман. В нашем примере и = 3, T = 5, S = O, P=I.
  С точки зрения коллективных интересов лучшим является вариант взаимного сотрудничества (С,С), который приносит в сумме 6 руб., что значительно лучше, чем вариант взаимного обмана (D,D), позволяющий получить в сумме только 2 руб. Однако попытка взглянуть на ситуацию с точки зрения индивидуальной рациональности приводит к другому результату. Игрок А, просчитывая ситуацию в уме, видит, что выбор альтернативы С в худшем случае дает только ноль, если В обманет его ожидания и выберет альтернативу D. Предполагая, что игрок В выбирает альтернативы с равной вероятностью 0,5, игрок А может получить в среднем 1,5 руб. Продолжая рассуждение, игрок А оценивает последствия выбора им альтернативы D. С одной стороны, имеется соблазн поживиться за счет партнера и получить максимальный выигрыш - 5 руб. С другой стороны, в худшем случае игрок А получает 1 руб., в среднем же 3 руб., т.е. по обоим показателям альтернатива D выглядит предпочтительнее, чем С. Со своей стороны, игрок В рассуждает аналогичным образом, что в результате приводит к выбору неэффективного с коллективной точки зрения решения (D, D).
  Таким образом, в голове индивида А формируются как бы две когнитивные модели ситуации - одна модель отражает его собственные интересы, другая - коллективные, т.е. интересы системы в целом*. Конфликт между моделями создает когнитивный диссонанс [8], разрешение которого в данном случае за-
 * Для принятия решений индивид также строит различные модели поведения партнера.
 274
  висит только от соотношения параметров R, T, P, S. Стратегическая структура игры "Дилемма заключенного" сохраняется при условии, что T > R > P > S.
  Среди приложений теории игр важное место занимает модель "Петухи" (Chicken game). Ee стратегическая структура определяется соотношением T > R > S > P. Своим названием игра обязана забавам лихачей-водителей. Два водителя мчатся навстречу друг другу. Проигравшим считается тот, кто первым струсит и свернет в сторону.
  С помощью этой модели политологи исследуют развитие Карибского кризиса 1962 г., вызванного размещением советских ракет на Кубе. Предположим, что каждая из сторон (СССР и США) имеет только две альтернативы действий, а таблица выигрышей выглядит следующим образом:
 
  После размещения на Кубе советских ракет и введения США морской блокады у сторон есть две основные альтернативы - переговоры и поиск взаимоприемлемых компромиссов (вариант Y1) либо твердое отстаивание своих позиций с неизбежной эскалацией конфликта (вариант S1). Если США выберут альтернативу S1 (в данном случае планировалась бомбардировка ракетных площадок на Кубе), то в случае ухода СССР побеждает США - вариант (S1; Y2). Если же СССР продолжает следовать твердой линии, то неизбежен вариант (S1JS2), т.е. в данном случае - ядерная война, в которой обе стороны теряют не только лицо, но и все остальное. При принятия США мягкой, компромиссной стратегии Y1 и твердого отстаивания СССР своей позиции имеет место вариант (Y1; S2) - побеждает СССР.
  Попробуйте самостоятельно проанализировать наиболее разумные стратегии поведения сторон в этой ситуации. Следует заметить, что в таких играх нередко побеждают игроки, имеющие репутацию не рациональных, а бесшабашных, готовых на любой риск головорезов.
  Важные черты переговорного процесса моделирует игра "Семейный спор" [4]. Предположим, что муж с женой выбирают, как провести воскресный вечер - пойти на футбол или в театр. Муж предпочитает футбол, а жена театр, но проведение вечера врозь
 275
  не нравится обоим. Таблица выигрышей в таком случае может выглядеть следующим образом:
 
  Из таблицы видно, что варианты раздельного отдыха следует отбросить. Но совместные походы на футбол или в театр приносят одинаковую коллективную полезность. Какой же вариант следует предпочесть? Лучше всего пойти куда-нибудь вместе, чтобы был доволен один, а в следующий раз удовлетворить желание другого члена семьи.
  Таким образом, выход из этой конфликтной ситуации легко найти, если перейти от статического рассмотрения проблемы к динамике. Попробуем применить этот прием к анализу "Дилеммы заключенного".
 15.2. Модель эволюции кооперации
  Рассмотрим модель "Дилеммы заключенного" в динамике, предполагая, что социальное взаимодействие носит не разовый характер, а может неоднократно повторяться в будущем. В так называемой итеративной дилемме заключенного предполагается, что стороны, принимая решения, учитывают опыт прошлых взаимодействий и прогнозируют возможное поведение партнеров в будущем. При этом таблица выигрышей остается неизменной.

<< Пред.           стр. 10 (из 11)           След. >>

Список литературы по разделу