<< Пред. стр. 4 (из 7) След. >>
Список литературы по разделу
4. А если рассматривать относительные дифференциальные распределения в виде: ?
Распределения будут абсолютно одинаковы для всех рассмотренных случаев:
1 - 3, т.к. рост и пропорционален.
Дифференциальные распределения в виде в секторе и в полусфере и в сфере одинаковы!!!
5. Беря сколь угодно малый сектор - сводим его к плоскости.
Отсюда - дифференциальные распределения в плоскости и в объёме одинаковы.
Практическое подтверждение полученного результата.
С увеличением расстояния от центра сферы, (- модель Максвелла), уменьшается число частиц оказывающих давление на мнимую сферу.
Распределяя мнимые сферы с определённым шагом давления, можно говорить о барометрических потенциалах в трёхмерном пространстве.
Интересует, каким образом определяются электростатические потенциалы в трёхмерном пространстве в электростатике?
Оказывается, определение электростатических потенциалов в межэлектродном электростатическом пространстве определяется из их моделирования в гальваническом секторе в ванне или, что более важно, в электропроводящей плоскости. Полученные результаты без каких-либо поправок переносятся в исследуемый объём.. Зная, что это не так, с точки зрения молекулярной физики, говорят о приблизительном совпадении анализов в плоскости и в объёме. В действительности, в электростатике принимают распределения потенциалов в объёме и плоскости одинаковыми иначе были бы существенные поправки, но они отсутствуют.
Соответственно и в исследуемой проблеме, окончательно получаем - распределение молекул по скоростям в плоскости и в объеме - одинаковы. Отсюда следует то, что распределение Больцмана справедливое для плоскости остаётся справедливым и для объёма.
Кроме этого.
Распределение Больцмана определяется в модели Максвелла, однако,
распределение Максвелла невозможно определить в модели Больцмана.
Окончательное доказательство несостоятельности распределения Максвелла будет представлено несколько позже.
Остаётся отметить то, что обе модели Максвелла и Больцмана не являются векторными моделями.
Модель Больцмана основывается на изменении скалярной величины давления частиц в силовом поле. С этой точки зрения модель Больцмана не является векторной моделью.
В модели Максвелла имеем расходящиеся вектора, как во всём объёме, так и в шаровых и в кольцевых слоях. В связи с этим модель Максвелла не является векторной моделью распределения. В модели Максвелла анализируется число молекул принадлежащих определённым скоростям: . В модели рассматривается число частиц расположенных на концах их скоростных векторов. Рассматривается число частиц в шаровом слое, а не сумма векторов этого слоя. Таким способом частицы равномерно расставлены в объёме модели Максвелла. Здесь вектора играют второстепенную роль. В этом заключается гениальность модели Максвелла.
Итак, в проведённых анализах отсутствует векторная модель распределения частиц по скоростям их движения. Необходимо создать такую векторную модель и исследовать её. Возможно, появятся новые интересные результаты.
Пока приведём в порядок рассмотренные модели и ответим на вопрос что первично скорость или энергия. Кто кого породил.
2.4. ЧТО ПЕРВИЧНО, СКОРОСТЬ ИЛИ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦ?
Первична скорость или энергия частиц? Такая проблема не возникала раньше. Она не могла возникнуть с принятием тепловой энергии в виде механической подвижности частиц. Сейчас тепловая энергия, может оказаться материальной субстанцией, и будет являться "разменной монетой" в механическом и тепловом энергетическом обмене между частицами.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В математической модели распределения Максвелла рассматриваются меняющиеся скорости частиц. Нет никаких препятствий рассматривать вместо скоростей их энергии в той же модели. Препятствием является только то, что результаты анализа будут совершенно другие, т.к. энергия является квадратом скорости, хотя закономерности изменения исследуемых величин останутся прежними. Проблема, что первично становится глобальной для дальнейшего развития теории.
В ходе дальнейших исследований эту проблему необходимо держать на контроле.
Оставим пока проблему математических моделей. Рассмотрим существующие распределения.
Распределение Больцмана было получено в модели Максвелла, в отсутствии действия внешних сил на движение молекул. Интегральный вид этого распределения следует из полученного дифференциального уравнения (66) в виде:
(67)
Этот же вид распределения Больцмана, был получен в модели Больцмана. Представим распределение Больцмана через скорости и через энергии.
Выражение (67), через энергии имеет вид:
(68),
а дифференциальные виды, из (67):
(69),
и из (68): (70).
Полученные результаты (69,70) можно сравнить с экспериментальными результатами Штерна .
Распределение Больцмана в модели Больцмана и в модели Максвелла является мгновенным распределением. Распределение Штерна является распределением, накопленным со временем. В распределении, накопленном со временем, более важную роль играет количество молекул обладающих той или иной скоростью, а не скорость молекул. Не сложно показать, из умозрительного эксперимента, что для превращения формулы мгновенного распределения в формулу описывающую распределение, накопленное со временем, первую необходимо умножить на текущую переменную анализа (скорость или энергию).
Итак, теоретические формулы (69,70) для экспериментального распределения Штерна имеют следующий вид:
(71),
а также: (72).
Экстремумы, полученные из выражений (71) и (72) одинаковы и совпадает с экстремумом Штерна. Отсюда, распределения Больцмана не зависят, через какую переменную они выражены - скорость или энергию. Проведя подобные операции с распределением Максвелла, экстремум распределения Максвелла не будет совпадать с экспериментальным экстремумом Штерна, вне зависимости через скорости или энергии частиц будет проводиться анализ. Ранее распределение Максвелла соответствовало распределению Штерна, без введения поправки на накопление, что является ошибкой. Если оставить всё по-прежнему, распределение по скоростям Максвелла будет соответствовать Штерну. Теперь читатель должен решить сам - что первично.
Здесь проведён анализ дифференциальных распределений, и это необходимо иметь в виду на будущее. Позже будет показано, что анализу должны подвергаться интегральные, а не дифференциальные распределения.
Далее покажем очевидный факт то, что распределения в одно, двух и трёх мерных пространствах одинаковы.
2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА В
ОДНО, ДВУХ И ТРЁХ МЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА
На данный момент остались не выясненными до конца следующие ближайшие проблемы. Необходимо показать то, что распределения в одно, двух и трёх мерных пространствах одинаковы в модели Максвелла. Какое из распределений Максвелла или Больцмана должно быть исключено из анализа. Что первично, скорость или энергия частиц?
На равных правах претендентами на истину являются два теоретических распределения Максвелла и Больцмана. Очевидно то, что распределения в одно, двух и трёх мерных пространствах одинаковы. Осуществим вывод этих распределений в модели Максвелла так, как это должно быть, подходя несколько с других позиций анализа. Кроме того, осуществим анализ через энергии, т.к. через скорости результаты можно получить аналогично и такой анализ уже частично проводился.
Для начала, рассмотрим распределение потенциалов в электростатике. Эти распределения хорошо изучены экспериментально и понимаемы.
Распределение электрических потенциалов в электростатике.
Рассмотрим одномерное пространство с координатой "X". Пусть между двумя точками пространства имеется разность потенциалов в 10 единиц. Где расположен потенциал в 5 ед.? Естественно в средине. Аналогично найдём и все остальные потенциалы исходя из закона пропорциональности.
Рассмотрим двумерное пространство с координатами "X;Y". Пусть между двумя линиями в пространстве имеется разность потенциалов в 10 единиц. Где расположен потенциал в 5 ед.? Естественно в средине. Аналогично найдём и все остальные потенциалы исходя из закона пропорциональности.
Рассмотрим трёх мерное пространство с координатами "X;Y;Z". Пусть между двумя плоскостями в пространства имеется разность потенциалов в 10 единиц. Где расположен потенциал в 5 ед.? Естественно в средине. Аналогично найдём и все остальные потенциалы исходя из закона пропорциональности.
Вывод. В одно, двух и трёх мерных пространствах распределение потенциалов между электродами в электростатике одинаково. Все модели трансформируются друг в друга.
А как же выглядят распределения барометрических потенциалов в одно, двух и трёх мерных пространствах?
Вопрос не ставится о том, где расположены барометрические потенциалы. Ставится вопрос об одинаковости распределения барометрических потенциалов в одно, двух и трёх мерных пространствах!
Исходя из проведённого анализа, теперь мы не можем утверждать, что эти распределения будут различными.
Проведём теоретический вывод формул распределения частиц по энергиям их движения в одно, двух и трёх мерных математических моделях, так, как это должно быть, применительно к математической модели Максвелла.
Одномерная модель распределения частиц по энергиям их движения.
Интересует зависимость: .
Ставится задача определения количества молекул из числа молекул в диапазоне энергий от до . Изложенные требования представлены на рис. 8.
Исходя из представленного рисунка, имеем следующие требования
к искомой зависимости: (73).
Длина линейной полости определяется видом:
(74).
Определение количества молекул для одномерного пространства удовлетворяется функцией: (75),
где: - исходное число молекул в единице измерения одномерного пространства. Знак (-) введён из соображений: ; .
Рис. 8. К решению задачи распределения частиц по энергиям движения
в одномерном пространстве.
Справедливость введённой удовлетворяющей функции (75), определяется подстановкой. Учитывая выражения (73-75) определение искомой зависимости имеет вид: (76).
Определим коэффициенты и .
Заметим: (77).
Исходя из того, что: , выражение (77) перепишем в виде: или: (78).
В барометрическом определении Больцмана: (79),
тогда: (80).
Подставляя полученные результаты (79 и 80) в уравнение (76), окончательно имеем: (81).
Результат (81) совпадает с результатом (70), одинаков для одномерного и двумерного пространств.
Двумерная модель распределения частиц по энергиям их движения.
Рассмотрим математическую модель распределения Максвелла.
Интересует зависимость: .
Ставится задача определения количества молекул из числа молекул в диапазоне энергий от до .
Изложенные требования представлены на рис. 9.
Рис.9. К решению задачи распределения частиц по энергиям в двумерном пространстве. Где: - площадь кольцевого слоя.
Исходя из представленного рисунка, имеем следующие требования
к искомой зависимости: (82).
Площадь кольцевой полости определяется видом:
(83).
Определение количества молекул для двумерного пространства удовлетворяется функцией: (84),
где: - исходное число молекул в единице измерения двумерного пространства. Знак (-) введён из соображений: ; .
Справедливость введённой удовлетворяющей функции (84), определяется подстановкой.
Учитывая выражения (82-84) определение искомой зависимости имеет вид: (85).
Определим коэффициенты и .
Заметим: (86).
Исходя из того, что: , выражение (86) перепишем в виде: или: (87).
В барометрическом определении Больцмана: (88),
тогда: (89).
Подставляя полученные результаты (88 и 89) в уравнение (85), окончательно имеем: (90).
Результат (90) совпадает с результатом Больцмана (70,80), одинаков для одномерного и двумерного пространств.
Трёх мерная модель распределения частиц по энергиям их движения.
Рассмотрим математическую модель распределения Максвелла.
Интересует зависимость: .
Ставится задача определения количества молекул из числа молекул в диапазоне энергий от до . Изложенные требования представлены на рис. 10. Исходя из представленного рисунка, имеем следующие требования к искомой зависимости: (91).
Объём шаровой полости определяется видом:
(92).
Определение количества молекул для трёх мерного пространства удовлетворяется функцией:
(93),
где: - исходное число молекул в единице измерения трёх мерного пространства. Знак (-) введён из соображений: ; .
Рис. 10. К решению задачи распределения частиц по энергиям в трёх мерном пространстве. Где: - объём шарового слоя.
Справедливость введённой удовлетворяющей функции (93), определяется подстановкой.
Учитывая выражения (91-93), определение искомой зависимости имеет вид: (94).
Определим коэффициенты и .
Заметим: (95).
Учитывая выражения (91-93), определение искомой зависимости имеет
вид: (94).
Определим коэффициенты и .
Заметим: (95).
Исходя из того, что: , выражение (95) перепишем в виде: или: (96).
В барометрическом определении Больцмана: (97),
тогда: (98).
Подставляя полученные результаты (97 и 98) в уравнение (94), окончательно имеем: (99).
Результат (98) совпадает с результатами Больцмана (70,81,90) и одинаков для одномерного и двумерного и трёх мерного пространств.
Результаты анализа одно, двух и трёх мерных пространств дают одинаковое распределение частиц по энергиям их движения и являются распределениями Больцмана в математической модели Максвелла.
Действительно, если выбрать сферу диаметром , в этой сфере, к любой её точке, можно вписать большую площадь круга того же диаметра .
Одна точка пространства не может иметь различные свойства !!!
Сейчас мы не можем утверждать, что полученное распределение несёт в себе детерминированное начало, т.к. это, не очевидно исходя из логики Максвелла.
Остаётся рассмотреть математическую модель распределения частиц по энергиям их движения Больцмана. Какие должны быть рассуждения с точки зрения энергии частиц, а не их скоростей. Конечно, всё это просто, но сейчас как бы к месту заодно с предыдущими рассмотрениями.
2.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТИЦ ПО ЭНЕРГИЯМ БОЛЬЦМАНА
Рассмотрим окончательный вариант определения интегрального распределения Больцмана в его модели. Интересует распределение частиц теперь по энергиям их движения в одномерном пространстве вдоль оси .
Движению молекул вдоль координаты препятствует сила . Пусть на расстоянии давление равно , а с увеличением координаты на давление уменьшается на величину . Рассмотренные условия представлены на рис. 11.
Рис. 11. Математическая модель Больцмана.
Число частиц принадлежит единице одномерного пространства. Зная, что распределения в одно, двух и трёхмерных пространствах одинаковы, можно принять принадлежность числа единице объёма.
Больцман при создании модели, принимая принадлежность единице объёма, утверждал одинаковость распределений в одно, двух и трёх мерных пространствах, не осознавая этого.
Исходя из постановки задачи, имеем дифференциальное уравнение
вида: (100).
Теперь воспользуемся равенством (9) для единичного объёма, т.к. начальный объём будем принимать за единицу с числом молекул . Промежуточные значения в этом объёме: (101), или: (102),
что-то же самое.
При замене в (100) числа молекул по определению (102), получим барометрическую формулу Больцмана, а при замене давления определением (101), получим интегральный вид распределения числа частиц по энергиям их движения Больцмана.
Найдём распределение, барометрическую формулу напишем по аналогии.
Заменяя давление в формуле (100) на определение (102), имеем:
,
отсюда: (103).
После интегрирования, имеем:
(104),
отсюда: (105),
где: - постоянная интегрирования.
в начале координат, тогда окончательно имеем распределение частиц по энергиям их движения в виде:
(106).
По аналогии, барометрическая формула имеет вид:
(107)
В поле тяжести Земли , а координата . В этом случае распределения (106) и (107), принимают вид:
,
и: - известные формулы Больцмана.
2.7. ВЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТУРКАН - СУРИНОВИЧ *)
Ранее было отмечено отсутствие в анализе векторной модели распределения. Введём в анализ такую модель. Будем предполагать, что все частицы движутся с постоянной скоростью. Скорости всех частиц равны. (См. введение ко второй части книги).
Рассмотрим трехмерное пространство, ограниченное сферой с радиусом равным максимальной, в дальнейшем - максимальной или хаотической, скоростью движения частиц.
Одной из главных задач, является задача определения средней скорости движения частиц к плоскости, испытывающей их давление.
При равных скоростях хаотического движения частиц и условии равнонаправленного движения их в пространстве, проблема средних скоростей движения в избранном направлении решается из модели представляемой в виде полусферы с радиус-вектором, соответствующим скорости хаотического движения, ориентированным нормалью на избранное произвольное направление, см. рис. 12.
В центре сферы, аналогично модели Максвелла, понимается расположение, как множества частиц, каждая со своим направлением, так и одной частицы с её равновероятными направлениями движения в пространстве.
Центральную частицу всегда будем менять на налетевшую частицу, что даст возможность рассматривать не сферу, а полусферу - всегда направленную своими скоростями к плоскости, испытывающей давление. Помним, что распределения в сфере, полусфере, в секторе в плоскости и одномерном пространстве одинаковы.
Скорости частиц в избранном направлении меняются от нуля до скорости хаотического движения и являются проекциями на нормаль всевозможно ориентированных в пространстве скоростей хаотического движения частиц.
____________
*) Названа в честь рода моей матери дворянке по найденным документам 1124 года Тамары Ивановны Туркан-Суринович. Модели более четверти века.
Этот набор скоростей существует в любой точке пространства. Не зависит от выбранного направления нормали. Проекции хаотических скоростей на нормаль - это единственно меняющиеся скорости модели. В дальнейшем можем называть их меняющимися скоростями.
Проблема определения средней скорости движения частиц сводится к определению средней скорости меняющихся скоростей.
Определим среднюю величину меняющихся скоростей.
Заполняя площадь большого круга полусферы векторами меняющихся скоростей, на соответствующих местах, средняя скорость определяется делением полуобъёма сферы на площадь большого круга. Однако, это неправильное определение средней скорости.
Рис. 12. Векторная модель распределения скоростей движения частиц
(химически однородного газа) на избранное направление.
На рисунке изображены: - скорость хаотического движения частиц, - скорость проекций на избранное направление, - угол между единичным вектором и скоростью хаотического движения частицы, - угловой шаг.
Рассматривая косинусоидальные проекции скоростей хаотического движения, исходящих из центра полусферы, (рис. 12) заметим, что их плотность увеличивается от центра к периферии в условии принятия одинакового углового шага - условия равновероятной ориентации скоростей хаотического движения в пространстве. Равновероятность распределения частиц в пространстве, не означает равномерное распределение меняющихся скоростей на площади большого круга в рассматриваемой модели. В связи с этим, необходимо расположить основания векторов меняющихся скоростей с равномерной плотностью на площади большого круга и найти новый объём фигуры, образованной концами этих векторов. На рис. 13 рассматривается реализация этого построения в плоском изображении.
Рис. 13. Вспомогательная модель определения средней скорости
движения частиц в плоскости.
Определим среднюю скорость движения, как функцию одинаковых, равновероятно ориентированных в пространстве скоростей хаотического движения частиц. Анализ проводится в соответствии с моделью рис 13.
Из рисунка видно, что длинна рассматриваемых векторов скоростей хаотического движения частиц, осталась неизменной для искривлённого пространства вспомогательной модели.
Определим координаты точки М.
Пусть число равных отрезков оси Х равно n, тогда величина одного отрезка равна - v/n. Если величина - m - порядковый номер отрезка, тогда координата Х точки М имеет выражение: (108)
Величина проекции скорости - , равна: .
Угол равен: .
Величину разбиваем на n -углов, m - порядковый номер угла, тогда: (109)
Исходя из (108) в выражении (109) заменим величину:
тогда: (110)
x = 0 y = v
x = v y = 0
Сейчас можно найти объем тела вращения вокруг оси 0Y ограниченного этой функцией в модели рис. 12, по формуле:
(111).
Затем, разделив объём V на площадь большого круга S , получим среднюю искомую скорость: (112)
Несостоятельность предполагаемого результата (112) связана с неравномерной плотностью расположения меняющихся скоростей в азимутальном направлении рассматриваемой объёмной модели рис. 12.
При выборе одинакового углового шага, в том числе и азимуте, плотность меняющихся векторов в азимуте резко уменьшается на площади большого круга ближе к периферии.
Следовательно, необходимо, по аналогии с рис. 13, снова расставить вектора меняющихся скоростей равномерно на площади большого круга. Теперь, учитывая одинаковую их плотность, не только в радиальном направлении, но и в азимутальном направлении. Затем найти новый объем и разделить его на площадь большого круга.
Это не простая задача, но её нет необходимости решать. Из предыдущего анализа известно равенство анализов в объёме и плоскости.
Будем стремить угловой шаг сектора к нулю. При конечном числе векторов скоростей рассматриваемых молекул, сектор превращается в плоскость. В итоге распределение частиц в плоскости (рис. 13) совпадает с распределением частиц в объеме по скоростям их хаотического движения (рис. 12)
Перейдем к анализу величины средней скорости в секторе - плоскости представленной на рис. 13. Уравнение кривой, ограничивающей меняющиеся скорости, определено видом (110), Поэтому, площадь сектора, определяющая суммарную величину векторов, определяется интегралом в виде: (113)
Разделив на скорость, определяющую количество векторов, найдём среднюю величину меняющихся скоростей:
(114)
где: - скорость хаотического движения частиц. Тогда:
(115)
или: (116)
где: - параметр связи скоростей.
Определим интегральное распределение меняющихся скоростей частиц исходя из рис. 13. На основании (110) определим зависимость :;
(117)
Исходя из определений рис. 13 и результата (117), интегральное
распределение меняющихся скоростей частиц запишется в виде:
(118),
где в (117 и 118): ; ; ; - скорость хаотического движения частиц. Дифференцируя (118) и интересуясь модулем, получаем дифференциальное распределение в виде:
(119).
2.8. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ
Результаты анализа.
Определена зависимость средней скорости, в любом избираемом направлении, от величины средне максимальной скорости движения частиц: ; где: - параметр связи скоростей (120).
Получен новый вид распределения частиц в интегральном:
(121),
и дифференциальном: (122)
видах.
Теперь можно вернуться к старой проблеме.
Оказывается в новой модели вместо анализа распределения частиц по скоростям движения можно рассматривать их распределение по энергиям движения и функциональные зависимости будут абсолютно одинаковым. Интегральный вид распределения по энергиям имеет аналогичный вид распределению по скоростям.
Если интегральное распределение по скоростям имеем вид:
, тогда интегральное распределение по энергиям будет иметь такой же вид: (123),
где: - энергия хаотического движения молекул, - текущая скорость анализа.
Совпадают также и дифференциальные виды уравнений, по скоростям:
и по энергиям: (124).
Задавая одинаковые энергии в формулах (121) и (123), а также (122) и (124) получаем различные несовпадающие между собой результаты распределений, что не должно иметь место!
Совпадение результатов распределений по скоростям и энергиям достигается при написании их в виде:
(125)
- интегрального и:
(126)
- дифференциального.
Скорректированные результаты (125) и (126) отличающиеся от (121) и (122) указывают на несовершенство представленной логики, что мало вероятно, или незнание сущности исследуемого предмета при построении векторной модели.
В связи с этим для дальнейшего анализа выбираем формулы векторной модели исходя из новой логики - распределения частиц по энергиям:
<< Пред. стр. 4 (из 7) След. >>
Список литературы по разделу