Пассивные (избыточные) связи и местные степени свободы

Формулы Сомова - Малышева и Чебышева называют структурными формулами, так как связывают число степеней свободы механизма с числом его звеньев и числом и видом кинематических пар.

При выводе этих формул предполагалось, что все наложенные связи независимы, т.е. ни одна из них не может быть получена как следствие других. В некоторых механизмах это условие не выполняется, т.е. в общее число наложенных связей может войти некоторое число q избыточных (повторных, пассивных) связей, которые дублируют другие связи, не изменяя подвижности механизма, а только обращая его в статически неопределимую систему. В этом случае при использовании формул Сомова-Малышева и Чебышева эти повторные связи надо вычитать из числа наложенных связей:

W = 6n - (5p1 +4p2 + 3p3 + 2p4 + p5 -q)

или

W = 3n - (2p1 + p2 - q), откуда

q = W - 6n + 5p1 + 4p2 + 3p3 + 2p4 + p5

или

q = W -3n +2p1 + p2

В общем случае в последних уравнениях два неизвестных (W и q) и их нахождение представляет собой трудную задачу.

Однако в некоторых случаях W может быть найдено из геометрических соображений, что позволяет определить и q, воспользовавшись последними уравнениями.
Наличие избыточных связей требует повышенной точности изготовления элементов кинематических пар во избежание дополнительных нагрузок на звенья механизма, увеличения сил и моментов трения в кинематических парах. Например, при неточности изготовления осей шарниров кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.19,б) могут оказаться непараллельными и механизм оказывается пространственным. В этом случае формула Малышева дает следующий результат: W = 6n - 5p1 = 6 ? 3 - 5 ? 4 = - 2, то есть получается не механизм, а ферма, статически неопределимая. Число избыточных связей составит ( так как в реальности W = 1): q = 1 - ( - 2) = 3.
Избыточные связи в большинстве случаев следует устранять, изменяя подвижность кинематических пар.
Например, для рассматриваемого механизма, заменяя шарнир В двухподвижной кинематической парой (p2 = 1), а шарнир С - трехподвижной (p3 = 1), получим: q = 1 - 6 ? 3 + 5 ? 2 + 4 ? 1 + 3 ? 1 = 0, то есть избыточных связей нет и механизм статически определим.
Иногда избыточные связи умышленно вводят в состав механизма, например, для повышения его жесткости (рис.1.16). Причем, работоспособность таких механизмов обеспечивается при выполнении определенных геометрических соотношений. В качестве примера рассмотрим механизм шарнирного параллелограмма, у которого AB ??CD, BC ??AD; n = 3, p1 = 4, W = 1 и q = 0.
Для повышения жесткости механизма вводят дополнительное звено EF, причем при EF ??BC не вносится новых геометрических связей и W = 1 по-прежнему, хотя по формуле Чебышева имеем: W = 3 ? 4 - 2 ? 6 = 0, то есть механизм получается статически неопределимым. Однако если EF не параллельно BC, движение станет невозможным, т.е. W действительно равно 0.

Вернуться в оглавление: Теория механизмов и машин