САЛЬНИКОВ А П ТEОРИЯ ЭЛEКТРИЧEСКОЙ СВЯЗИ КОНСПEКТ ЛEКЦИЙ ЧАСТЬ 1 СПБГУТ СПБ 2002 93 С 3

1) Идеальный ФНЧ - физически нереализуемая цепь, т.к. его импульсная характеристика отлична от 0 при t<0. Характеристики реальных ФНЧ могут быть приближены к идеальным лишь с определенной погрешностью, тем меньшей, чем больше задержка.
2) Реальные сигналы являются Т-финитными, а следовательно имеют неограниченный по частоте спектр. Если всё же спектр сигнала ограничить частотой , то на интервале существования сигнала Т число независимых отсчётов N, определяющих сигнал с заданной погрешностью, становится конечным
,
где - база сигнала.
При осуществлении дискретизации сигнала, когда частота дискретизации выбрана, необходимо использовать антиэлайсинговый ФНЧ с частотой верхнего среза для ограничения спектра сигнала и предотвращения тем самым искажений, вызванных перекрытием спектров (рис.2.4 (д)) (антиэлайсинговый - от слова "элайсинг", означающего наложение спектров).

Контрольные вопросы
1. В чём заключается операция дискретизации непрерывных сигналов? Как её записать математически?
2. Как изменяется спектр сигнала в результате его дискретизации?
3. Приведите примеры практического использования дискретизации сигналов в системах связи.
4. Сформулируйте теорему отсчётов. В чём состоит её фундаментальное значение?
5. Из каких соображений выбирается частота дискретизации непрерывных сигналов?
6. Каким образом и каким ФУ обеспечивается восстановление непрерывного сигнала по его отсчётам?
7. Укажите причины погрешностей восстановления непрерывных сигналов по их отсчётам.
8. Напишите выражение сигнала в виде ряда Котельникова.
9. Какой базис используется при разложении сигналов в ряд Котельникова?
10. Как определяются коэффициенты разложения сигналов в ряд Котельникова?
11. Объясните необходимость использования антиэлайсингового фильтра при дискретизации сигналов.
12. Приведите примеры проявления искажений, связанных с наложением спектров сигнала после его дискретизации (при ).

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований дискретизации и восстановления сигналов

Для закрепления полученных в разделе 2.4 знаний полезно выполнить лабораторную работу № 3 "Дискретизация и восстановление сигналов" (из перечня тем виртуальной учебной лаборатории) в полном объёме, а также провести дополнительные экспериментальные исследования, используя иные виды сигналов в рамках предоставляемых этой работы ресурсов (рис. 2.8). Обратите особое внимание на характер изменения спектра сигнала при его дискретизации, на его зависимость от частоты дискретизации, а также на связь точности восстановления сигналов по их отсчётам с качеством и параметрами фильтров-восстановителей. Выясните, как влияет наличие (отсутствие) схемы выборки-хранения (СВХ) в составе дискретизатора на форму и спектр дискретизированного сигнала.
Рис. 2.8. Исслежование дискретизации и восстановления сигналов 2.5. Квазигармоническое представление сигналов

Во многих случаях сигнал удобно записывать в квазигармонической форме в виде
,
где - называют огибающей,
- полной фазой,
- частотой (выбираемой произвольно),
- начальной фазой сигнала.
Для определения и введём в рассмотрение комплексный сигнал , получаемый из действительного сигнала следующим образом:
,
- называют сопряжённым сигналом (связанным некоторым образом с ). Тогда
, .
Поскольку сопряженный сигнал можно связать с исходным разными способами, то задача вычисления огибающей и полной фазы оказывается неоднозначной.
По ряду причин, часть из которых станет понятной из дальнейшего, в качестве сопряжённого удобно выбрать преобразованный по Гильберту исходный сигнал
.
Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.
Преобразование Гильберта в спектральной области сводится к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала на угол в области положительных () и на в области отрицательных () частот.
С точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта - это фазовращатель (рис. 2.9) с передаточной функцией

или ,
где - - знаковая функция.
Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта
.
Первый интеграл в полученном выражении равен 0 в силу интегрирования нечетной функции при симметричных пределах, а второй сводится к табличному интегралу вида
при .
Окончательно получаем
.
Из полученного результата с очевидностью вытекает невозможность физической реализации преобразования Гильберта, т.к. при t < 0. Тем не менее, реально преобразование Гильберта осуществляют приближённо, допуская временную задержку, тем большую, чем выше требования к точности преобразования.
Рассмотрим преобразование Гильберта во временной области. Из рис. 2.9 вытекает
.
- прямое преобразование Гильберта.
Поскольку
,
то, после умножения обеих частей равенства на , получим
,
откуда следует, что передаточная функция обратного преобразования Гильберта отличается от передаточной функции прямого только знаком
.
Соответственно
-
- обратное преобразование Гильберта.

Свойства аналитического сигнала
1. Аналитический сигнал является естественным обобщением символического изображения гармонического колебания на произвольный сигнал
.
.
2. Спектр аналитического сигнала располагается только в области положительных частот ? > 0
.
3. Сигналы и ортогональны на интервале (в пространстве )
.
4. Сдвиг всех спектральных составляющих действительного сигнала на некоторый угол ? соответствует умножению его аналитического сигнала на .
Действительно, если
, то
.
Таким образом,
.
Из полученного результата следует возможный алгоритм получения общего фазового сдвига всех спектральных составляющих действительного сигнала вида

.
5. Преобразование частоты сигнала (смещение его спектра на интервал по оси частот) эквивалентно умножению его аналитического сигнала на . Это видно из п.4 при замене ? на
.
Из этого выражения вытекает широко используемый алгоритм преобразования частоты
.

Представление действительного сигнала x(t)
через его квадратурные компоненты
Любой действительный сигнал можно записать в виде
.
,
где - косинусная,
- синусная
квадратурные компоненты сигнала ,

- комплексная огибающая.
Представление через квадратурные компоненты особенно полезно для узкополосных сигналов, у которых они оказываются медленно меняющимися функциями по сравнению с (при выборе внутри спектра сигнала ). Формально условие узкополосности сигнала "в расширенном смысле" можно записать следующим образом
, где - верхняя частота в спектре
Обработку узкополосных сигналов можно выполнить проще и точнее через обработку их квадратурных компонентов. Действительно, если выполняется условие узкополосности сигнала, то спектр комплексного сигнала вида

,
получаемого сдвигом спектра огибающей вверх на полностью располагается в области положительных частот, следовательно этот сигнал - аналитический и его мнимая часть является преобразованием Гильберта действительной части

.
Таким образом, можно считать, что преобразование Гильберта узкополосного сигнала сводится к сдвигу фаз на угол -90? гармонических колебаний и не затрагивает его квадратурных компонентов.
На рис 2.10 приведена векторная диаграмма аналитического сигнала. Она представляет собой комплексную плоскость с вращающим-ся и меняющим свою длину вектором .
Угловая скорость его вращения изменяется во времени по закону
.

Контрольные вопросы
1. Как выглядит квазигармоническая форма записи произвольного сигнала ?
2. Как определяют огибающую, фазу и мгновенную частоту сигнала ?
3. Почему задача определения огибающей и фазы сигналов не является однозначной?
4. Какой сигнал называют аналитическим?
5. В чём заключается преобразование Гильберта в частотной области?
6. Как схемотехнически реализуют преобразование Гильберта?
7. Напишите выражение передаточной функции преобразователя Гильберта.
8. Какова импульсная характеристика преобразователя Гильберта?
9. Напишите аналитическое выражение преобразования Гильберта во временной области.
10. Чем обратное преобразование Гильберта отличается от прямого?
11. Какая связь аналитического сигнала с символическим изображением гармонического колебания, используемым в символическом методе.
12. Каковы особенности спектра аналитического сигнала?
13. Как изменяется аналитический сигнал при сдвиге фаз всех его спектральных составляющих на один и тот же угол ??
14. Как с помощью аналитического сигнала записать операцию смещения спектра сигнала на ???
15. Что называют квадратурными компонентами сигнала?
16. Запишите аналитическое выражение сигнала через его квадратурные компоненты.
17. Как огибающая и фаза сигнала связаны с его квадратурными компонентами?
18. Почему обработку узкополосных сигналов проще и точнее реализуют через их квадратурные компоненты?
19. Что представляет собой векторная диаграмма аналитического сигнала?

Рекомендации по проведению экспериментальных
исследований компонентов аналитического сигнала

Для закрепления полученных в разделе 2.5 знаний по квазигармоническому представлению сигналов целесообразно на базе лабораторной работы № 29 "Аналитический сигнал" провести экспериментальные исследования связи форм и спектров НЧ и ВЧ сигналов х(t) (от генератора сигналов) с их преобразованиями по Гильберту H[х(t)], огибающими A(t), фазой Ф(t), квадратурными косинусной Ac(t) и синусной компонентами As(t) (рис. 2.11). Обратите внимание на существенное различие форм исходного и преобразованного по Гильберту сигналов при полной идентичности их амплитудных спектров. Полезно также наблюдать огибающие ВЧ сигналов с разными видами линейной модуляции (АМ, БМ и ОМ). Попробуйте на основании такого рода наблюдений определить связи огибающих ВЧ сигналов с соответствующими модулирующими НЧ сигналами.
При выполнении указанных работ не обязательно строго придерживаться имеющихся в них заданий. Используйте возможности ресурсов ВЛ для проведения исследований по своему усмотрению и желанию.

3. Преобразования сигналов
в типовых функциональных узлах систем связи

К анализу и синтезу функциональных узлов (ФУ) систем связи можно подходить с позиций "чёрного ящика", имеющего один или несколько входов и выход (рис. 3.1). Входные сигналы ФУ называют воздействиями, а выходной - реакцией ФУ на воздействия.
Рис. 2.11. Исследование компонентов аналитического сигнала
Связь между воздействием x(t) и реакцией y(t), в общем случае, описывается некоторым оператором А
,
который однозначно определяет сам ФУ и который будем называть его функциональной характеристикой. По виду этого оператора производят классификацию ФУ на линейные, параметрические и нелинейные.
В теории цепей приходится решать задачи анализа и синтеза ФУ в зависимости от цели и исходных условий.
В задаче анализа известными считают воздействие и ФУ (оператор А), а объектом расчёта - реакцию ФУ
В задаче синтеза в качестве заданных рассматриваются воздействие и реакция , а объект расчёта - ФУ.
Широко используется и смешанный (эвристический) подход, при котором, как и в задаче синтеза, заданными являются воздействие и реакция , но сам ФУ находят не в результате расчёта, а выбирают (изобретают), исходя из физических предпосылок и интуиции, а затем в результате его анализа определяют степень соответствия полученной и заданной реакций. В дальнейшем, при рассмотрении конкретных ФУ будем использовать все эти методы.

3.1. Особенности преобразования сигналов
в линейных, параметрических и нелинейных ФУ

Линейные преобразования сигналов и ФУ
Линейные ФУ по определению описываются линейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей) с постоянными коэффициентами. С точки зрения схемотехники это значит, что все элементы ФУ (R, C, L) имеют постоянные параметры. Оператором преобразования воздействия x(t) в реакцию y(t) для них может служить одна из форм интеграла наложения (Дюамеля) во временной области
,
или передаточная функция Н ФУ в частотной области
,
а в качестве функциональной характеристики линейного ФУ можно использовать его импульсную характеристику или передаточную функцию Н.
Простым колебанием для линейных цепей является гармоническое . Его форма не изменяется при прохождении через любую линейную цепь. В линейных цепях действует принцип суперпозиции - реакция цепи на сумму воздействий есть сумма её реакций на каждое из воздействий в отдельности. Из этих свойств вытекают следующие выводы:
1. Форма сложного сигнала (с полигармоническим или сплошным спектром) при его прохождении через линейную цепь может изменяться только вследствие изменения соотношения между амплитудами и фазами спектральных составляющих воздействия. Принципиально важно, что в реакции линейного ФУ не могут возникнуть спектральные компоненты, отсутствующие в спектре воздействия.
2. Из вывода 1 вытекают возможности построения на основе линейных цепей ограниченного класса типовых ФУ:
а) усилителей и аттенюаторов (ФУ для изменения мощности сигналов без искажения их формы), передаточная функция которых в полосе частот, занимаемой спектром воздействия, имеет вид
, где Н0 и ?0 - константы;
б) фильтров разных типов (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ, интеграторов, дифференциаторов, фазовращателей и т.п.), передаточная функция которых в полосе частот, занимаемой спектром воздействия, имеет вид
,
где Н(?) (АЧХ) и ?(?) (ФЧХ) - заданные функции частоты.

Параметрические преобразования сигналов и ФУ
По определению параметрические ФУ описываются линейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей), у которых есть коэффициенты, зависящие от независимой переменной (времени).
Схемотехнически это означает, что параметрический ФУ содержит хотя бы один элемент, параметр(ы) которого зависит от времени. В подавляющем большинстве случаев параметрические ФУ строятся на использовании перемножителя сигналов (рис. 3.2). Действительно, если генератор колебания рассматривать как внутренний элемент ФУ ("чёрного ящика"), то можно записать в виде
,
где (коэффициент передачи параметрического звена) может служить его функциональной характеристикой.
Рассмотрим реакцию параметрического звена (рис. 3.1) при на воздействие вида .

.
Спектры воздействия и реакции приведены на рис. 3.3. Из их рассмотрения можно сделать следующие выводы:
1. Параметрические ФУ обогащают спектр воздействия новыми спектральными составляющими.
2. Частоты новых спектральных составляющих в реакции параметрических ФУ определяются частотами спектральных составляющих воздействия и частотами изменения параметров ФУ.

Нелинейные преобразования сигналов и ФУ
Нелинейные преобразователи сигналов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей), у которых хотя бы один коэффициент зависит от их решения (искомой функции). Соответственно, их схема содержит хотя бы один
Спектр

0 ?с ?
Спектр

0 ? ?
Спектр

0 ? ?с-? ?с ?с+? ?
Рис.3.3. Спектры , и нелинейный элемент, параметр(ы) которого зависит от протекающего тока или приложенного напряжения.
Анализ нелинейных ФУ в общем случае является сложной задачей, которая существенно упрощается, если возможно разделить ФУ на две независимые части, сосредоточив всю нелинейность в безынерционном нелинейном преобразователе (БНП) а всю инерционность - в линейном (ЛП), как это показано на рис. 3.4. Назовём такую структуру обобщённым нелинейным преобразователем (ОНП). Для анализа ОНП достаточно по известной функциональной характеристике БНП (для безынерционной цепи это обычная функция, а не оператор) определить его реакцию на заданное воздействие , а затем проанализировать прохождение через ЛП одним из вышеуказанных методов.
Рассмотрим возможности изменения спектра сигнала при его прохождении через БНП - цепь 0-го порядка. Для таких цепей в теории широко используют два основных метода спектрального анализа реакции в зависимости от вида аппроксимации функциональной характеристики БНП:

1) метод кратных дуг - при полиномиальной аппроксимации
,
2) метод угла отсечки (коэффициентов Берга) - при кусочно-линейной аппроксимации.
Чтобы воспользоваться первым методом, достаточно помнить тригонометрическую формулу

и её частный случай (при )
.
Результаты анализа спектрального состава реакции БНП с полиномиальной функциональной характеристикой при моно- и бигармоническом воздействии приведены в таблице 3.1. В ней указаны только частоты спектральных составляющих реакции.
Из этой таблицы следует, что БНП обогащает спектр воздействия постоянной составляющей, кратными гармониками и колебаниями комбинационных частот вида , где , , причём порядок комбинационных частот (не превосходит степени n полинома, аппроксимирующего функциональную характеристику БНП). Этот вывод можно распространить и на случай полигармонического воздействия.
Выводы
1. Нелинейные ФУ обогащают спектр воздействия новыми спектральными компонентами.
2. Новые спектральные компоненты реакции нелинейных ФУ являются гармониками частот воздействия или колебаниями комбинационных частот вида
, где l,m,k=0, ?1, ?2,...
Таблица 3.1
Спектральный состав при 0 0 ?0 , 0, 2?0 0, 2?1, 2?2,, , 3?0 , , , , , , , + ... + 0, 2?0, 4?0,..., k?0
при k = 2q,
, 3?0,..., k?0
при k = 2q+1,
q = 1, 2, 3,... ; ,
,
,
, q = 1, 2, 3,... + ... 0, 2?0, 4?0,..., n?0
при n = 2q,
, 3?0,..., n?0
при n = 2q+1,
q = 1, 2, 3,... ; ,
,
,
q = 1, 2, 3,...

Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачи анализа и синтеза ФУ.
2. Дайте классификацию ФУ по виду описывающих их дифференциальных уравнений.
3. Каковы принципиальные ограничения на возможности преобразования сигналов в линейных ФУ?
4. Что можно использовать в качестве функциональных характеристик линейных ФУ?
5. Какие типовые ФУ, используемые в системах связи, можно реализовать в классе линейных цепей?
6. Каковы возможности параметрических ФУ по преобразованию сигналов?
7. Опишите характер обогащения спектров сигналов в параметрических ФУ.
8. Каковы возможности нелинейных ФУ по преобразованию сигналов?
9. Какие виды аппроксимации функциональных характеристик безынерционных нелинейных преобразователей целесообразны в режимах а) слабого сигнала, б) сильного сигнала?
Рис. 3.5. Исследование преобразований сигналов в линейных ФУ 10. Какой метод спектрального анализа реакции нелинейного ФУ используют при аппроксимации его функциональной характеристики степенным полиномом ?
11. Какой метод спектрального анализа реакции нелинейного ФУ используют при кусочно-линейной аппроксимации его функциональной характеристики?
12. Опишите спектральный состав реакции нелинейного ФУ на моногармоническое воздействие.
13. Опишите спектральный состав реакции нелинейного ФУ на полигармоническое воздействие.
14. Нарисуйте схему перемножителя сигналов и укажите назначение её элементов.
15. При каких условиях кольцевой диодный перемножитель обеспечивает "чистое" перемножение сигналов?
16. В чём сущность метода фазовой компенсации побочных продуктов нелинейного преобразования сигналов?

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований преобразований сигналов в линейных, нелинейных и параметрических ФУ

Для закрепления полученных в разделе 3.1 знаний полезно выполнить лабораторные работы № 2 "Линейная фильтрация сигналов" (рис. 3.5), № 6 "Преобразования сигналов в нелинейных цепях" (рис. 3.6) и № 7 "Нелинейное усиление и умножение частоты сигналов" (из перечня тем виртуальной учебной лаборатории) (рис. 3.7) в полных объёмах, а также провести дополнительные экспериментальные исследования, используя иные виды сигналов в рамках предоставляемых этими работами ресурсов. Обратите, прежде всего, внимание на принципиальные различия в характере трансформации спектров входных сигналов в результате их линейных и нелинейных преобразований. Сформулируйте, в чём состоят эти отличия и какие практически важные следствия они имеют с точки зрения реализации ФУ раз-
Рис. 3.6. Исследование преобразований сигналов в нелинейных ФУ
Рис. 3.7. Исследование преобразований сигналов в нелинейных ФУ

личного назначения. Обратите внимание на функции нелинейного элемента и его линейной нагрузки в нелинейных преобразователях и конкретизируйте из применительно к нелинейному усилителю и умножителю частоты сигналов.
Для экспериментальных исследований параметрических преобразований сигналов можно воспользоваться параметрическими преобразователями, входящими в состав системы передачи непрерывных сообщений из лабораторной работы № 11 "Линейные виды модуляции и синхронное детектирование" (рис. 3.8). В рамках ресурсов, предоставляемых этой работой, можно провести наблюдение осциллограмм и спектрограмм произведения произвольного сигнала s1(t) с гармоническим колебанием. В качестве произвольного входного сигнала s1(t) используйте как НЧ, так и ВЧ сигналы, выбирая их с помощью пункта меню "Сигналы/ s1(t)" этой работы. Обратите внимание на характер обогащения спектра параметрическим преобразователем и определите частоты новых спектральных составляющих на его выходе.
3.2. Перемножение сигналов
В качестве первого типового ФУ рассмотрим перемножитель сигналов, тем более, что он используется в параметрическом звене (рис. 3.1). По определению перемножителем является ФУ с двумя входами, выходной сигнал которого пропорционален произведению входных сигналов (рис.3.9). Поскольку операция перемножения не является линейной, то схемотехническое решение перемножителя следует искать в классе нелинейных цепей.
Проанализируем схему кольцевого (мостового) перемножителя (рис. 3.10), в которой в качестве нелинейных элементов используются диоды. Предварительно сделаем следующие допущения:
1) все диоды имеют квадратичные вольтамперные характеристики (режим слабого сигнала)

с одинаковыми коэффициентами ,
2) сопротивления нагрузочных резисторов R одинаковы (симметрия схемы),
3) один из входных сигналов поступает от двух идентичных источников (e1) (симметрия схемы).
Выходное напряжение
.
Для определения токов диодов подставим в выражение их вольтамперной характеристики соответствующие напряжения , определяя последние через входные сигналы и . Падением напряжения на нагрузке при этом будем пренебрегать. Произведём алгебраическое суммирование токов:

+
-
-
+
.
Обратим внимание на то, что является "чистым" произведением и , хотя в составе тока любого диода много посторонних слагаемых. Объясняется это тем, что при сложении токов диода в реакции ФУ их полезные составляющие (пропорциональные произведению и ) оказались синфазными, а все посторонние - противофазными. В результате первые сложились арифметически, а вторые компенсировались. Такой способ очистки реакции нелинейного преобразователя от побочных продуктов преобразования называют методом фазовой компенсации и широко используют в схемотехнике.
Выводы
1. ФУ (рис. 3.10) является "чистым" перемножителем произвольных сигналов и (в рамках выше сделанных допущений о режиме слабого сигнала, симметрии схемы, идентичности характеристик диодов).
2. "Чистота" операции перемножения достигнута методом фазовой компенсации.
3. Суть метода фазовой компенсации заключается в следующем:
* ФУ строится по симметричной многоканальной схеме,
* выходные реакции каналов суммируются,
* на входы каналов сигналы подают с таким подбором фаз, чтобы при сложении реакций каналов полезные составляющие оказались бы синфазными и суммировались, а побочные были бы противофазными и взаимно компенсировались.

3.3. Амплитудная модуляция

Модуляция в системах связи используется тогда, когда непосредственная передача первичного сигнала по линии связи оказывается невозможной. Согласование передаваемого сигнала с характеристиками линии связи достигается использованием колебания, которое хорошо распространяется в имеющейся линии связи. Один или несколько параметров этого колебания связывают с первичным сигналом. Такое колебание называют переносчиком, процесс изменения его параметра(ов) - модуляцией, первичный сигнал - модулирующим, а получаемый вторичный сигнал - модулированным.
В качестве переносчика широко применяют гармоническое несущее колебание , обладающее тремя параметрами: амплитудой А, частотой ? и начальной фазой ?. Соответственно возможны три простых вида модуляции: амплитудная, частотная и фазовая. При амплитудной модуляции первичный сигнал отображают в амплитуде (огибающей) А несущего колебания следующим образом
. (3.1)
Добавление к модулирующему сигналу постоянной составляющей необходимо, чтобы сделать эту сумму униполярной, т.к. огибающая по определению. Разумеется, если модулирующий сигнал сам по себе является униполярным, например, сигнал изображения в телевидении, то никакой добавки не требуется ().

Спектры АМ сигналов
1. Спектр простого АМ сигнала.
Модулированный сигнал называют простым, если в качестве модулирующего сигнала использовано гармоническое колебание. Таким образом, простой АМ сигнал имеет вид

<< Пред. стр. 3 (из 6) След. >>

Список литературы по разделу