<< Пред. стр. 2 (из 5) След. >>
Список литературы по разделу
см.
Задача 1.8 (7)
По заданным уравнениям движения точки:
; (х, у - м; t - с) (н)
найти ее касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории для заданного момента времени t1 = 0,5 ? с.
Решение
Заданные уравнения движения точки (н) позволяют найти проекции скорости точки, м/с,
;
.
Модуль скорости, м/с,
. (о)
В момент времени t1 = 0,5 ? с V1 = 2 м/с.
Проекции ускорения точки, м/с2:
.
Модуль полного ускорения, м/с2
. (п)
В момент времени t1 = 0,5 ? са = 2 м/с2.
Зная выражение скорости, как функции времени t (о), определим модуль касательного ускорения точки, м/с2, по формуле (1.5)
. (р)
В момент с м/с2.
По полному ускорению (п) и касательному ускорению (р) найдем модуль нормального ускорения точки для с, учитывая формулу (1.7)
м/с2.
Нормальное ускорение аn1 и радиус кривизны траектории ? 1 связаны зависимостью (1.6), из которой следует, что при с
м.
2. КИНЕМАТИКА ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
2.1. Краткие сведения из теории
Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид
. (2.1)
Отсчет угла ? ведется от выбранного начала. При этом углам, отложенным в направлении движения часовой стрелки, придается знак "минус", а углам противоположного направления - знак "плюс".
Угол поворота ? выражается в радианах. Иногда угол поворота определяется числом оборотов N. Зависимость между ? и N следующая ? = 2 ? N.
Угловая скорость тела:
. (2.2)
Знак производной дает возможность установить происходит ли вращение тела в положительном направлении отсчета угла поворота (знак "плюс") или в обратную сторону (знак "минус"). Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (или 1/с).
Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой n. Зависимость между ? и n имеет вид
.
Угловое ускорение тела:
. (2.3)
Знак производной дает возможность установить является ли вращение тела в данный момент времени ускоренным или замедленным. Если знаки ? и ? одинаковы, тело вращается ускоренно, а если их знаки различны - замедленно. Единица измерения углового ускорения - радиан на секунду в квадрате (или 1/с2).
Траекториями точек тела, нележащих на оси вращения, являются окружности с центрами на оси вращения и радиусами, равными кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения.
Модуль скорости любой точки тела, находящейся на расстоянии h от оси вращения (рис. 2.1), определяется по формуле
. (2.4)
Направлена скорость точки по касательной к описываемой точкой окружности в сторону движения.
Ускорение любой точки тела состоит из двух составляющих - вращательного? aвр и осестремительного? aос ускорений:
? a =? aвр +? aос.
Модуль вращательного ускорения точки определяется по формуле
авр = ? h. (2.5)
Рис. 2.1
Вращательное ускорение направлено по касательной к описываемой точкой окружности в ту же сторону, что и его скорость, если вращение тела ускоренное (рис. 2.1, а) и в сторону, противоположную скорости, если вращение замедленное (рис. 2.1, б).
Модуль осестремительного ускорения определяется по формуле
аос = ? 2 h. (2.5)
Осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к центру окружности (рис. 2.1).
Модуль полного ускорения точки определяется по формуле
. (2.7)
2.2. Основные типы задач кинематики вращения тела вокруг оси
В зависимости от того, что задано в условии задачи и что требуется определить, различают следующие два основных типа задач.
1. Исследуется движение тела в целом. В этих задачах вначале нужно получить законы (2.1)-(2.3) и, используя связь между ними, определить требуемую величину (см. задачи 2.1 и 2.2).
2. Требуется определить скорости и ускорения отдельных точек тела. Для решения задач этого типа вначале надо установить кинематические характеристики движения всего тела в целом, т.е. найти ? , ? и ? . После чего по формулам (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) определить скорости и ускорения точек тела (см. задачу 2.3).
Задача 2.1 (8)
Задача 2.2 (8)
Задача 2.3 (9)
Задача 2.4
Задача 2.1 (8)
Пропеллер самолета, делающий 1200 об/мин, после выключения двигателя останавливается через 8 с. Сколько оборотов сделал пропеллер за это время, если считать его вращение равнозамедленным?
Решение
Вначале получим законы вращения пропеллера (2.1), (2.2) и (2.3). По условию задачи пропеллер вращается равнозамедленно, из этого следует, что
.
Поэтому
, (а)
. (б)
Начальной угловой скоростью при замедленном вращении будет та, которую пропеллер имел до выключения двигателя. Следовательно, . В момент остановки при t1 = 8 с угловая скорость тела ? 1 = 0. Подставляя эти значения в уравнение (а), получим
.
Отсюда .
Если обозначить число сделанных пропеллером за время t1 оборотов через N1, то угол поворота за то же время будет равен
.
Подставляя найденные значения ? и ? 1 в уравнение (б), получим
.
Отсюда оборотов.
Задача 2.2 (8)
Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные: угловая скорость изменяется пропорционально t2, начальный угол поворота ? 0 = 2 рад, для заданного момента времени t1 = 3 с угловое ускорение ? 1 = -5 ? 1/с2.
Решение
По условию задачи модуль угловой скорости ? изменяется пропорционально t2. Обозначая неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k, имеем
. (в)
Найдем ? , беря производные по времени от обеих частей равенства (в),
.
Определим коэффициент k из условия, что при t1 = 3 с угловое ускорение 1/с2: или .
Подставляя значение k в уравнение (в), получим
.
Учитывая, что , будем иметь .
Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, находим
.
В начальный момент при t = 0 ? 0 = 2 рад, следовательно, c = 2.
Таким образом, радиан.
Задача 2.3 (9)
В период разгона ротор электродвигателя вращается по закону , где t - с, ? - рад.
Определить в конце 4-й секунды линейную скорость, вращательное, осестремительное и полное ускорения точки, лежащей на ободе ротора, если диаметр ротора D = 40 см.
Решение
По заданному уравнению вращения ротора находим его угловую скорость и угловое ускорение , .
Подставляя значение t1 = 4 с в выражение для ? и ? , найдем
1/с,
1/с2.
Определим модули линейной скорости, вращательного и осестремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (2.4), (2.5) и (2.6)
м/с;
м/с2;
м/с2.
Модуль полного ускорения точки обода ротора определим по формуле (2.7)
м/с2.
2.3. Определение скоростей и ускорений в случаях, когда вращающееся тело входит в состав различных механизмов
Рассмотрим механизмы с поступательным и вращательным движением звеньев. Решение задачи начинают с определения скоростей точек того звена, для которого движение задано. Затем рассматривают звено, которое присоединено к первому звену и т.д. В результате определяют скорости точек всех звеньев механизма. В такой же последовательности определяют и ускорения точек.
Передача вращения от одного вращающегося тела, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым, может осуществляться при помощи фрикционной или зубчатой передачи (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы трения в месте контакта соприкасающихся колес, в зубчатой передаче - от зацепления зубьев. Оси вращения ведущего и ведомого колес могут быть параллельными (рис. 2.2, а, б) или пересекаться (рис. 2.2, в). В рассмотренных случаях линейные скорости точек А соприкасания колес одинаковы, их модули определяются так:
. (2.8)
Отсюда . (2.9)
То есть угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.
При преобразовании вращательного движения в поступательное (или наоборот) часто используют зацепление зубчатого колеса с зубчатой рейкой (рис. 2.3). Для этой передачи выполняется условие: .
Кроме фрикционной и зубчатой передач, существует передача вращения при помощи гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 2.4).
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Так как модули скоростей всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхностям шкивов, то соотношения (2.8) и (2.9) относятся и к ременной передаче.
Задача 2.4
Рис. 2.5.
В механизме домкрата при вращении рукоятки ОА шестерни 1, 2, 3, 4, 5 приводят в движение зубчатую рейку ВС домкрата (рис. 2.5).
Определить скорость рейки, если рукоятка ОА делает 30 оборотов в минуту (n = 30 об/мин). Числа зубцов шестерен: z1 = 6, z2 = 24, z3 = 8, z4 = 32; радиус пятой шестерни r5 = 4 см.
Решение
Так как рукоятка ОА жестко соединена с шестерней 1, то последняя делает тоже 30 об/мин или
1/с.
Модули скоростей точек соприкасания зубчатых колес 1 и 2 одинаковы для точек обоих колес и определяются по формуле (2.8)
.
Отсюда (см. также (2.9)).
Так как числа зубьев пропорциональны радиусам колес, то .
Отсюда .
Шестерни 2 и 3 жестко соединены между собой, поэтому
.
Для находящихся в зацеплении колес 3 и 4 на основании (2.9) можно записать
.
Отсюда .
Шестерни 4 и 5 жестко соединены между собой, поэтому
.
Модули скоростей точек соприкосновения зубчатой рейки ВС и шестерни 5 одинаковы, поэтому
или см/с.
3. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
3.1. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении
Изучение плоскопараллельного движения тела можно свести к изучению движения плоской фигуры, образованной сечением тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости, относительно которой движется тело.
Определение скоростей точек плоской фигуры можно выполнить одним их следующих методов:
* аналитическим;
* основанным на использовании векторного уравнения;
* основанным на использовании теоремы о проекциях скоростей точек тела на прямую, проходящую через эти точки;
* основанным на использовании мгновенного центра скоростей.
Наиболее часто применяется последний метод, ему ниже будет уделено основное внимание.
3.1.1. Аналитический метод
Рис. 3.1.
При использовании аналитического метода считаются известными уравнения движения плоской фигуры (тела, совершающего плоскопараллельное движение): (3.1)
Тогда координаты точки М (рис. 3.1) будут
(3.2)
где b - расстояние от точки М до полюса А.
Модуль скорости точки М определяется по формуле (1.2)
.
Направление вектора ? Vм определяется по направляющим косинусам:
Таким образом, задача по определению скоростей точек плоской фигуры сводится к известному решению соответствующей задачи кинематики точки.
Угловая скорость плоской фигуры определяется дифференцированием последнего уравнения из (3.1), т.е.
. (3.3)
Аналитический метод решения задачи рекомендуется использовать в тех случаях, когда требуется определить скорости точек для большого числа положений плоской фигуры.
3.1.2. Метод, основанный на использовании векторного уравнения
Векторное уравнение для скоростей точек плоской фигуры получается из теоремы: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса, т.е. (рис. 3.2)
, (3.4)
где ? VА - скорость полюса А; ? VМ/А - скорость точки М при вращении плоской фигуры вокруг полюса А.
Скорость ? VМ/А направлена перпендикулярно прямой АМ в сторону вращения фигуры (рис. 3.2) и равна по модулю
, (3.5)
где ? - угловая скорость вращения плоской фигуры.
Рис. 3.2.
Чтобы можно было определить скорость точки М, используя уравнение (3.4), необходимо знать скорость полюса А и угловую скорость вращения плоской фигуры ? . Для решения задачи надо построить по уравнению (3.4) параллелограмм скоростей (рис. 3.2).
Диагональ этого параллелограмма есть искомая скорость точки ? VМ, ее модуль:
. (3.6)
Решение задачи рекомендуется начинать с изображения плоской фигуры в положении, соответствующем данному моменту времени. Затем следует выбрать полюс и для заданной точки М записать векторное уравнение (3.4). За полюс следует взять точку тела, скорость которой задана. Далее необходимо построить параллелограмм скоростей по уравнению (3.4), вычислить модуль скорости VМ/А по формуле (3.5), а затем модуль скорости точки VМ по формуле (3.6).
Задача 3.1 (11)
Задача 3.2 (12)
Задача 3.3 (13)
Задача 3.4 (12)
Задача 3.5 (14)
Задача 3.6 (13)
Задача 3.7 (14)
Задача 3.8
Задача 3.9 (16)
Задача 3.10 (17)
Задача 3.11 (18)
Задача 3.12 (19)
Задача 3.13 (17)
Задача 3.14 (18)
Задача 3.1 (11)
Рис. 3.3.
При свободном падении стержня АВ (рис. 3.3) его середина С движется вертикально вниз с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2, а сам стержень вращается в вертикальной плоскости вокруг центра С с постоянной угловой скоростью 1/с. Длина стержня 2 м.
В начальный момент стержень горизонтален. Найти скорость его концов А и В в момент времени t1 = 2 с.
Решение
Изображаем стержень в положении, определяемом углом ? 1 в момент времени t1 = 2 с,
рад, .
Выберем за полюс точку С, так как условием задачи определен закон ее движения: прямолинейное равноускоренное движение с ускорением g.
Скорость полюса при t1 = 2 с:
м/с.
Запишем уравнения типа (3.4) для концов А и В стержня
; .
Скорости? VA/C и ? VB/C направлены перпендикулярно стержню АВ в сторону вращения, их модули определяются по формуле (3.5)
м/с.
Модули скоростей точек А и В определяются по формуле (3.6)
м/с;
м/с.
3.1.3. Метод, основанный на использовании теоремы о проекциях скоростей точек тела
В п. 3.1.2 рассмотрен метод решения задачи скоростей, когда исходными данными являются скорость полюса и угловая скорость тела. Но скорость конкретной точки плоской фигуры можно найти и в том случае, если известны скорость полюса и направление искомой скорости точки. Для этого используем следующую теорему: при движении тела проекции скоростей двух точек этого тела на прямую, проходящую через точки, равны между собой (рис. 3.4), т.е.
. (3.7)
Рис. 3.4.
Для определения скоростей точек с помощью этой теоремы рекомендуется изобразить тело в заданном положении, показать направление известной скорости` VA и искомой скорости` VВ, затем записать уравнение (3.7) и определить модуль VВ.
Задача 3.2 (12)
Рис. 3.5.
Стержень АВ (рис. 3.5) движется в плоскости чертежа, при этом конец А скользит по вертикальной стене, а конец В - по полу. Определить скорость конца В стержня в момент, когда стержень составляет с полом угол 300, если известно, что скорость конца А в этот момент 5 м/с.
Решение
Покажем для заданного положения стержня направления скоростей точек А и В. Проектируя векторы? VА и ? VВ на линию АВ, получим
.
Откуда
м/с.
Метод определения скоростей точек тела с помощью теоремы о проекциях не позволяет определить угловую скорость тела. Метод не дает общей картины (закономерности) распределения скоростей в теле для данного момента времени, в связи с чем трудно определить скорость точки, направление которой неизвестно (например,? VС на рис. 3.5).
Этих недостатков нет в методе, рассмотренном в следующем подразделе.
3.1.4. Метод, основанный на использовании мгновенного центра скоростей
Рис. 3.6.
Мгновенный центр скоростей, или сокращенно МЦС, есть точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Мгновенный центр скоростей обозначается буквой Р (рис. 3.6). Скорости точек плоской фигуры распределены так, как если бы фигура совершала вращательное движение вокруг оси, проходящей через МЦС перпендикулярно плоскости движения. Поэтому скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна отрезку, соединяющему эту точку с МЦС, а модуль скорости равен произведению угловой скорости тела на расстояние точки до МЦС, т.е. (см. рис. 3.6)
и ; (3.8)
и ;
и и т. п.
Отсюда и т.п. (3.9)
Из анализа формул (3.8) и (3.9) видно, что для определения скоростей надо знать положение МЦС и скорость одной какой-нибудь точки (последнее нужно для определения ? ).
Рассмотрим основные способы нахождения положения МЦС.
а) В некоторых случаях удается сразу указать точку плоской фигуры, скорость которой в рассматриваемый момент времени равна нулю. Эта точка и есть МЦС. Так, в случае качения без скольжения тела по неподвижной поверхности точка соприкосновения тела с поверхностью является мгновенным центром скоростей (рис. 3.7). Примером служит качение колеса по рельсу.
б) Если известны направления скоростей каких-нибудь двух точек плоской фигуры в данный момент, то МЦС находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных в этих точках к направлениям скоростей (перпендикуляры АР и ВР на рис. 3.8).
Рис. 3.7 Рис. 3.8 Рис. 3.9
в) Если скорости точек А и В (рис. 3.9) взаимно параллельны, а точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям, то МЦС (точка Р) находится на пересечении указанного общего перпендикуляра АВ и прямой 1-1, проведенной через концы векторов скоростей этих точек. Это следует из соотношения (3.9).
Рис. 3.10.
г) Если скорости двух точек А и В (рис. 3.10) параллельны, а точки не лежат на общем перпендикуляре к скоростям, то МЦС находится в бесконечности. В этом случае имеем мгновенное поступательное движение плоской фигуры. Угловая скорость фигуры при таком движении равна нулю. Действительно, из формулы (3.9)
.
Скорости всех точек фигуры в этом случае одинаковы по величине и направлению:? VА =? VB =? VC = ... .
Отметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.
Укажем последовательность определения скоростей с использованием мгновенного центра скоростей.
1. Изобразить на чертеже тело (плоскую фигуру) в заданном положении и найти мгновенный центр скоростей одним из рассмотренных выше способов.
2. Указать направления векторов скоростей точек фигуры и записать формулы для вычисления их модулей в соответствии с (3.8).
3. Определить угловую скорость по формуле (3.9), учитывая, что скорость одной какой-либо точки задана по условию задачи.
4. Вычислить искомые модули скоростей точек по формулам (3.8).
Задача 3.3 (13)
Рис. 3.11.
Колесо радиусом R = 0,5 м катится без скольжения по прямому рельсу (рис. 3.11). Скорость центра колеса в данный момент времени VC = 2 м/с. Определить угловую скорость колеса и скорости концов горизонтального и вертикального диаметров.
Решение
1. Мгновенным центром скоростей является точка Р касания колеса с рельсом (см. способ (а) нахождения МЦС).
2. Направления векторов скоростей точек определяются как при вращательном движении колеса вокруг Р:? VB ? ВР;? VD ? DР;? VE ? EР;? VС ? СР.
Их модули:
; ;
; .
3. Учитывая, что скорость точки С задана (VС = 2м/с), определим угловую скорость колеса
1/с.
4. Вычислим искомые модули скоростей по написанным выше формулам (п. 2):
м/с;
м/с;
м/с.
Задача 3.4 (12)
Рассмотрим решение задачи 3.2 с помощью мгновенного центра скоростей. Дополнительно определим скорость середины С стержня и его угловую скорость. Длина стержня 2 м.
Решение
Рис. 3.12.
1. Так как направления скоростей точек А и В (рис. 3.12) стержня известны, то мгновенный центр скоростей Р определяем, проведя перпендикуляры АР и ВР к направлениям скоростей (способ (б) определения МЦС).
2. Вектор ? VС направлен перпендикулярно СР.
Запишем формулы для модулей скоростей:
, , .
3. Определим угловую скорость стержня
1/с.
4. Вычислим искомые модули скоростей по приведенным выше формулам:
м/с;
м/с.
3.1.5. Определение скоростей точек звеньев плоских механизмов
В плоских механизмах звенья могут совершать поступательное, вращательное и плоскопараллельное движения. При решении следует помнить, что в механизме, состоящем из нескольких звеньев, каждое звено, совершающее плоскопараллельное движение, имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.
Укажем последовательность решения задач по определению скоростей для плоских механизмов.
1. Изобразить механизм на расчетной схеме в том положении, для которого требуется решить задачу о скоростях.
2. Определить скорости точек звена, движение которого задано по условию задачи. Это звено принято называть ведущим. Может оказаться, что ведущее звено совершает не плоскопараллельное, а вращательное движение. Тогда задача о скоростях решается методом, разработанным для вращательного движения.
3. Определить скорости точек звена, присоединенного к ведущему звену, имея в виду, что скорость точки в месте соединения этих звеньев должна быть определена ранее в п. 2.
4. Если число звеньев в механизме больше двух, то после п. 3 определяются скорости точек третьего и последующих звеньев. Скорости точек в местах соединения звеньев всегда определяются на предшествующем этапе вычислений.
Задача 3.5 (14)
Рис. 3.13.
Определить скорость точки В и угловую скорость звеньев АВ и ВО1 четырехзвенного механизма ОАВО1 в положении, указанном на чертеже (рис. 3.13), звено ОА имеет в данный момент угловую скорость 2 1/с. Длины звеньев: ОА = 20 см, АВ = ВО1 = 40 см.
Решение
1. Механизм в заданном положении изображен на рис. 3.13.
2. Ведущим звеном механизма является звено ОА, совершающее вращательное движение вокруг О. Определим скорость точки А: вектор? VА направлен перпендикулярно ОА, его модуль
см/с.
4. Определим скорости точек звена АВ, совершающего плоскопараллельное движение в последовательности, указанной в. п. 3.1.4.
5. Для определения мгновенного центра скоростей звена АВ учтем, что скорость точки В направлена перпендикулярно О1В, как скорость при вращательном движении звена О1В вокруг О1. Мгновенный центр скоростей (точка Р) лежит на пересечении перпендикуляров АР и ВР к направлениям векторов? VА и? VВ (см. способ (б) определения положения МЦС).
Угловая скорость звена
1/с.
Модуль скорости точки В
см/с.
4. Рассмотрим теперь звено ВО1, совершающее, как указывалось, вращательное движение.
Угловая скорость этого звена
1/с.
Задача 3.6 (13)
Рис. 3.14
Кривошип ОА (рис. 3.14), вращаясь с угловой скоростью ? ОА = 2,5 1/с вокруг оси О неподвижной шестерни 2 радиуса R2 = 15 см, приводит в движение насаженную на его конце шестеренку 1 радиуса R1 = 5 см. Определить величину и направление скоростей точек А, В, С, D подвижной шестеренки, если ВD? OC.
Решение
<< Пред. стр. 2 (из 5) След. >>
Список литературы по разделу