<< Пред. стр. 1 (из 5) След. >>
Список литературы по разделу
"Теория вероятности и математическая статистика"
Введение. 2
Операции над событиями. 2
Частость наступления события. 3
Свойства частости. 3
Аксиоматика теории вероятности. 4
Построение вероятностного пространства. 4
Теорема о продолжении меры. 4
Определение вероятностного пространства. 5
Классическое определение вероятности. 5
Условная вероятность. 5
Обоснование формулы условной вероятности в общем случае. 6
Независимые события. 6
Формула сложения вероятностей. 7
Формула полной вероятности. 7
Формула Байеса. 8
Композиция испытаний. 8
Композиция n испытаний. 9
Композиция n независимых испытаний. 9
Биномиальное распределение. 11
Случайная величина 12
Теорема Колмогорова 13
Дискретные случайные величины 14
Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. 14
Свойства математического ожидания 15
Производная функция 17
Первая модель распределения Пуассона 18
Вторая модель распределения Пуассона 19
Непрерывные случайные величины. 20
Свойства плотности вероятности. 20
Второе эквивалентное определение плотности вероятности. 21
Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. 22
Распределение Гаусса - нормальное 23
Функция Лапласа 25
Неравенство Чебышева 26
Многомерные случайные величины. 26
Аксиоматика. Формальная вероятностная модель. 27
Двумерные случайные величины. 27
Двумерные непрерывные случайные величины. 28
Условная плотность вероятности. 30
Двумерные независимые случайные величины (двумерные дискретные случайные величины) 31
Независимые непрерывные двумерные случайные величины. 32
Многомерные дискретные случайные величины 32
Многомерные непрерывные случайные величины. 32
Математическое ожидание скалярной функции случайных аргументов. 33
Двумерный дискретный случай. 33
Двумерные непрерывные случайные величины 33
n-мерный дискретный случай 33
n-мерный непрерывный случай 33
Коэффициент ковариации 34
Свойства коэффициента корреляции 35
Нахождение плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин 36
Двумерное нормальное распределение 37
Свойства двумерного нормального распределения 37
Многомерное нормальное распределение 39
Свойства многомерного нормального распределения 40
Предельные случайные последовательности. 42
Существующие определения сходимости случайных величин. 43
Теорема Бернулли. 44
Закон больших чисел. 45
Использование закона больших чисел. 46
Основы теории характеристических функций 46
Свойства характеристической функции 47
Введение.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.
Например: определить однозначно результат выпадения "орла" или "решки" в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число "орлов" и "решек".
Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Например: испытание - подбрасывание монеты.
Результатом испытания является событие. Событие бывает:
Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
Невозможное (никогда не происходит);
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием.
В результате испытания происходят только элементарные события.
Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.
Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с "1" или "2".
Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером "1". Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Введем следующие обозначения:
А - событие;
? - элементы пространства ?;
? - пространство элементарных событий;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.
Операции над событиями.
1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.
2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.
3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.
4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.
Формулы де Моргана: и
5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.
C=A?B=V
Тут V - пустое множество.
Частость наступления события.
Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий ? и невозможное событие V.
Пример:
?=(?1, ?2, ?3)
A1=V
A2=(?1)
A3=(?2)
A4=(?3)
A5=(?1, ?2)
A6=(?2, ?3)
A7=(?1, ?3)
A8=(?1, ?2, ?3)
Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие A?F. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.
Частостью наступления события A в n испытаниях называется число
Свойства частости.
1.
2. Частость достоверного события равна 1. ?n(U)=1.
3. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.
Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.
Событие
Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i?j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:
nA=nA1+nA2+...+nAk
Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.
Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.
Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.
Аксиоматика теории вероятности.
Построение вероятностного пространства.
Последовательно строим вероятностное пространство.
Этап 1:
Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий ?. Все события из системы ? называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A ? ?, B ? ? наблюдаемы, то наблюдаемы и события .
Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B ? F выполняется:
1) Дополнения
2) (A+B) ? F, (A?B) ? F
3) все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
4) все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
5) все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
Таким образом, систему ? мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.
Этап 2:
Каждому событию A ? F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.
Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.
1.
2. P(U)=1.
3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
. Если , то .
Алгебра событий называется ? - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.
Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a?x?b, b?a.
Распространение этой алгебры на ? - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a?x?b, но и расширением полей вида a?x?b, a?x?b.
Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.
1. . P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
2. P(A) ? [0, 1] P(U)=1.
3. Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
Если , то .
Теорема о продолжении меры.
Построим минимальную ? - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская ? - алгебра - это минимальная ? - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).
Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной ? - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.
Таким образом, продленное P(A) называется ? - аддитивной мерой.
? - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.
Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из ? - алгебры.
Расширение поля наблюдаемых событий на ? - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия ? - алгебры.
Определение вероятностного пространства.
Вероятностным пространством называется тройка (?, ?, P), где
? - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;
? - ?-алгебра, заданная на ? - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;
P - ? - аддитивная мера, т.е. ? - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из ? - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.
1. . P(A) - называется вероятностью наступления события A.
2. Вероятность достоверного события равна 1 P(?)=1.
3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
, .
k - возможно бесконечное число.
Следствие:
Вероятность невозможного события равна 0.
По определению суммы имеет место неравенство ?+V=?. ? и V несовместные события.
По третей аксиоме теории вероятности имеем:
P(?+V)=P(Q)=P(U)=1
P(?)+P(V)=P(?)
1+P(V)=1
P(V)=1
Пусть ? состоит из конечного числа элементарных событий ?={E1, E2,..., Em} тогда по определению . Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет место
Пусть некоторое событие A?? состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik}
Доказать: Если A?B, то P(B)?P(A), B=A+C, A и C несовместны.
* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1?P(C)?0 - положительное число, то P(B)?P(A).
Классическое определение вероятности.
Пусть ? состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.
Тогда достоверное событие m - количество равновероятных событий
, ,
Пусть произвольное событие Тогда , т.е. событие A состоит из k элементарных событий.
Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.
Условная вероятность.
P(A/B)
Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.
Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий
Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.
В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.
Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.
Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частости наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.
Условная частость
Рассматривая AB как одно событие D имеем: с другой стороны
Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:
Доказательство проведем по мат индукции.
Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)
Пусть формула верна для k-1.
Введем событие B.
P(A1A2...Ak-1)=P(B)
P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)?P(AkB)
Независимые события.
Два события A и B называются независимыми, если P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) - доказать.
В этом случае вероятность наступления двух событий A и B равна P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),
при этом покажем, что P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)
События A1A2...Ak называются независимыми между собой, если вероятность их совместного наступления ; . Два независимых события совместны.
* Если бы события были несовместны, то P(A/B)=0 и P(B/A)=0, т.к. они независимы, то P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B), т.е. утверждение "независимые события несовместны", т.к. P(A)=0 и P(B)=0, то это утверждение неверно.
Формула сложения вероятностей.
U - достоверное событие
Покажем, что события несовместны.
* Если события несовместны, то ; ;
т.е. события несовместны.
Тогда по третей аксиоме теории вероятности
Справедливо следующее тождество на основании (1) и закона дистрибутивности
Показать самим, что все три множества попарно несовместны.
На основании первой и третей аксиомы теории вероятности получаем:
Имеет место тождество , показать самим, что несовместны
По третей аксиоме:
Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий
Формула полной вероятности.
Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.
B1, B2, ..., Bk
Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B1A+B2A+...+BkA.
Показать, что события B1A, B2A, BkA попарно несовместны. BiABjA=BiBjAA=VAA=V
Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно Bi, т.к. B1, B2, ..., Bk образуют полную группу.
Т.к. B1, B2, ..., Bk несовместны, то по третей аксиоме теории вероятности имеем:
; т.е.
Например: Имеются урны трех составов
1
5 урн
6 белых и 3 черных шара
2
3 урны
10 белых и 1 черный
3
7 урн
0 белых и 10 черных
Все шары в каждой урне перемешаны.
Испытание - извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар.
B1 - Вытащить любой шар из урны 1.
<< Пред. стр. 1 (из 5) След. >>
Список литературы по разделу