<< Пред.           стр. 7 (из 10)           След. >>

Список литературы по разделу

  Шаг 3. Так как этот месяц идет за январем и февралем, то получим:
 V2 = 8 + 1 = 9. Шаг 4. Теперь найдем V4:
 V4 = V3 + 1 720 995 + INT(365,25 * VI) + INT(30,6001 * V2) = 1 + 1 720 995 + INT(365,25 * 1991) + INT(30,6001 * 9) = 1 + 1 720 995 + INT(727 212,75) + INT(275,4009) =1+1720 995 + 727 212 + 275 = 2 448 483 Шаг 5. Далее найдем V5:
 V5=INT(0,01*V1) =INT(0,01*1991) = INT(19,91) = 19 Шаг 6. Теперь получим юлианскую дату:
 Юлианская дата = V4 + 2 - V5 + INT(0,25 * V5)
 = 2 448 483 + 2 - 19 + INT(0,25 * 19) = 2 448 483 + 2 - 19 + INT(4,75) = 2 448 483 + 2 - 19 + 4 = 2 448 470
 Таким образом, юлианская дата 1 августа 1991 года равна 2448470. Если мы преобразуем дату истечения опциона 15 сентября 1991 года в юлианскую, то получим 2448515. Если использовать 365-дневный год (или точнее 365,2425-дневный по григорианскому календарю), то, чтобы найти время, оставшееся до истечения срока, необходимо рассчитать разность между двумя юлианскими датами, затем вычесть единицу и полученное значение разделить на 365 (или 365,2425). Однако мы будем использовать не 365-дневный год, а 252-дневный, чтобы учесть только те дни, когда открыта биржа (будние дни минус праздники). Просмотрим каждый день между двумя юлианскими датами, чтобы понять, является он рабочим днем или нет. Мы можем определить, каким днем недели является юлианская дата, прибавив к ее значению единицу, разделив на 7 и взяв остаток. Остаток будет значением от 0 до 6, соответствуя дню недели от воскресенья до субботы. Таким образом, для 1 августа 1991 года, когда юлианская дата равна 2448470:
 День недели = ((2 448 470 + 1) / 7) % 7 =2448471/% 7 = ((2 448 471/7) - INT(2 448 471 / 7)) * 7 =(349 781,5714-349 781)* 7 =0,5714*7 =4
 Так как 4 соответствует четвергу, мы можем утверждать, что 1 августа 1991 года является четвергом.
 Теперь просмотрим все дни до даты истечения срока опциона. Если мы учтем все рабочие дни между этими двумя датами, то придем к выводу, что между (и включая) 1 августа 1991 года и 15 сентября 1991 года 32 рабочих дня. Из полученного значения следует вычесть единицу, так как мы считаем первым днем 2 августа 1991 года. Таким образом, между 910801 и 910915 31 рабочий день. Теперь мы должны вычесть праздники, когда биржа закрыта. В США 2 сентября 1991 года является Днем Труда. Даже если вы живете в другой стране, биржа, где идет торговля по этому опциону, может находиться в США, и 2 сентября она будет закрыта, поэтому мы вычтем 1 из последнего результата. Таким образом, мы получим 30 торговых дней до истечения срока опциона. Разделим количество торговых дней до истечения срока на число дней в году. Так как мы используем 252-дневный год, то 30/252=0,119047619. Это и есть доля года, выраженная десятичной дробью, т.е. переменная Т.
 Определим переменную Н, необходимую для модели ценообразования. Так как мы используем модель для фьючерсов, то должны рассчитать Н по формуле (5.07):
 
 Уравнение (3.21) для расчета N используется два раза. Первый раз, когда мы находим N(H), второй, когда находим N(H - V * Т^(1/2)). Мы знаем, что V * Т ^ (1/2) = 0,0862581949, поэтому Н - V* Т ^ (1/2) = -0,4502688281 -
 - 0,0862581949 = -0,536527023. Таким образом, мы должны использовать уравнение (3.21) со следующими вводными значениями переменной Z:
 -0,4502688281 и-0,536527023. Из уравнения (3.21) получим 0,3262583 и 0,2957971 соответственно (уравнение (3.21) описано в главе 3, поэтому мы не будем повторять его здесь). Отметьте, что сейчас мы получили коэффициент дельта, мгновенную скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базового инструмента. Таким образом, дельта для этого опциона составляет 0,3262583. Теперь у нас есть все входные данные, необходимые для определения теоретической цены опциона. Подставив полученные значения в уравнение (5.01), получим:
 
 
 Таким образом, в соответствии с моделью Блэка для фьючерсов справедливая стоимость колл-опциона с ценой исполнения 600, сроком исполнения 15 сентября 1991 года, при цене базового инструмента на 1 августа 1991 года 575, при вола-тильности 25%, с учетом 252-дневного года и R = 0 составляет 10,1202625. Интересно отметить связь между опционами и базовыми инструментами, используя вышеперечисленные модели ценообразования. Мы знаем, что 0 является наименьшей ценой опциона, но верхняя цена - это цена самого базового инструмента. Модели демонстрируют, что теоретическая справедливая цена опциона приближается к верхнему значению (стоимости базового инструмента U) при росте любой или всех трех переменных Т, R или V Это означает, что если мы, например, увеличим Т (время до срока истечения опциона) до бесконечно большого значения, тогда цена опциона будет равна цене базового инструмента. В этой связи мы можем сказать, что все базовые инструменты в действительности эквивалентны опционам с бесконечным Т. Таким образом, все сказанное верно не только для опционов, но и для базовых инструментов, как будто они являются опционами с бесконечным Т. Модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и модель опционов на фьючерсы Блэка построены на определенных допущениях. Разработчики этих моделей исходили из трех утверждений. Несмотря на недостатки этих утверждений, предложенные модели все-таки довольно точны, и цены опционов будут стремиться к значениям, полученным из моделей. Первое из этих утверждений состоит в том, что опцион не может быть исполнен до истечения срока. Это приводит к недооценке опционов американского типа, которые могут исполняться до истечения срока. Второе утверждение предполагает, что мы знаем будущую волатильность базового инструмента, и она будет оставаться постоянной в течение срока действия опциона. На самом деле это не так (т.е. волатильность изменится). Кроме того, распределение изменений волатильности логарифмически нормально, и эту проблему модели не учитывают1. Еще одно допущение модели состоит в том, что безрисковая процентная ставка остается постоянной в течение времени действия опциона. Это также не обязательно. Более того, краткосрочные ставки логарифмически нормально распределены. То обстоятельство, что, чем выше краткосрочные ставки, тем выше будут цены опционов, и утверждение относительно неизменности краткосрочных ставок может привести к еще большей недооценке опциона по отношению к ожидаемой цене (его правильному арифметическому математическому ожиданию). Еще одно утверждение (возможно наиболее важное), которое может привести к недооценке стоимости опциона, рассчитанной с помощью модели, по отношению к действительно ожидаемой стоимости, состоит в том, что логарифмы изменений цены распределяются нормально. Если бы опционы характеризовались не числом дней до даты истечения срока, а числом тиков вверх или вниз до истечения, а цена за один раз могла бы изменяться только на 1 тик и он был бы статистически независим от предыдущего тика, то мы могли бы допустить существование нормального распределения. В нашем случае логарифмы изменений цены не имеют таких характеристик. Тем не менее теоретические справедливые цены, полученные с помощью моделей, используются профессионалами на рынке. Даже если некоторые трейдеры применяют модели, которые отличаются от показанных здесь, большинство из них дадут похожие теоретические справедливые цены. Когда реальные цены расходятся с теоретическими до такой степени, что спекулянты могут получить прибыль, цены начинают снова сходиться к так называемой "теоретической справедливой цене". Тот факт, что мы можем спрог-нозировать с достаточной степенью точности, какой будет цена опциона при наличии различных входных данных (время истечения, цена базового инструмента и т.д.), позволяет нам произвести расчеты оптимального f и его побочных продуктов по опционам и смешанным позициям. Читатель должен помнить, что все эти методы основаны на утверждениях, которые только что были изложены.
 Модель ценообразования европейских опционов для всех распределений
 Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены.
 Сначала необходимо определить термин "теоретически справедливый", относящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истечения, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание возможного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: "Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов"?
 
 Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.03):
 
 где рi = вероятность выигрыша или проигрыша попытки i;
 ai= выигранная или проигранная сумма попытки i;
 N =количество возможных исходов (попыток).
 Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигрыша. Когда сумма вероятностей рi больше 1, уравнение 1.03 необходимо разделить на сумму вероятностей рi.
  Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание.
 
 где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или арифметическое математическое ожидание;
 рi = вероятность цены i по истечении срока опциона;
 аi = внутренняя стоимость опциона (для кол-опциона: рыночная цена инструмента минус цена исполнения опциона;
 для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.
 Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе до тех пор, пока вероятность i-ой цены (т.е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне достаточно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе, пока вероятность i-ой цены (т.е. рi) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, т.е., если вероятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1. Интересно отметить, что значения вероятности рi можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно не обязательно должно быть нормальным, то есть пользователь может получить теоретическую справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возможность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распределение Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое распределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при определении справедливой стоимости опционов.
  Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифметическое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следующую величину:
 
 где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожидания при данном значении Т;
 pi = вероятность цены i по истечении срока опциона;
 аi =внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инструменту при цене i;
 R = текущая безрисковая ставка;
 Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.
 Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распределений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения1. Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими. Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.04) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную текущую цену. Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнаружили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изменений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределение Стьюдента2. Для определения оптимального числа степеней свободы распределения Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5. Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона - 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дням (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День Благодарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполагаемому товару равен 0,10. Используя уравнения (5.01), (5.02) и (5.07) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедливыми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая допускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем использовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения pg. Их можно получить из фрагмента программы, написанной на языке Бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т.е. переменную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по следующей формуле:
 
 где i = цена, соответствующая текущему состоянию процесса суммирования;
 V = годовая волатильность, выраженная стандартным отклонением;
 Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью;
 1п() = функция натурального логарифма.
 
 Уравнение (5.12), написанное на БЕЙСИКе, будет выглядеть следующим образом:
 
 Переменная U представляет собой текущую цену базового инструмента (с учетом дивидендов, если это необходимо). Вероятность для распределения Стьюдента, найденная с помощью программы из приложения В, является 2-хвостой. Нам надо сделать ее 1-хвостой и выразить как вероятность отклонения от текущей цены (то есть ограничить ее 0 и 0,5). Это можно сделать с помощью двух строк на БЕЙСИКе:
 
 Таким образом, для 5 степеней свободы справедливая цена колл-опциона равна 3,842, а справедливая цена пут-опциона равна 2,562. Эти величины отличаются от значений, полученных с помощью более традиционных моделей. Причин здесь несколько.
  Во-первых, более толстые хвосты распределения Стьюдента с 5 степенями свободы дадут более высокую справедливую стоимость колл-опциона. Вообще, чем толще хвосты распределения, тем больше получается цена колл-опциона. Если бы мы использовали 4 степени свободы, то получили бы еще большую цену колл-опциона.
  Стоимость пут-опциона и стоимость колл-опциона значительно отличаются, в то время как в традиционных моделях стоимость пут-опциона и колл-опциона эквивалентна. Этот момент требует некоторого пояснения.
  Справедливую стоимость пут-опциона можно найти из цены колл-опциона с той же ценой исполнения и датой истечения (или наоборот) по формуле пут-колл паритета:
 
 где Р = справедливая цена пут-опциона;
 С = справедливая цена колл-опциона;
 Е = цена исполнения;
 U = текущая цена базового инструмента;
 R = безрисковая ставка;
 Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.
 Когда равенство (5.13) не выполняется, появляется возможность арбитража. Из (5.13) мы видим, что цены, полученные из традиционных моделей, эквивалентны, когда Е - U = 0.
  Давайте заменим переменную U в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базового инструмента на дату истечения срока опциона. Ожидаемая стоимость базового инструмента может быть определена с помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i. В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует. Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, - это вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы заменим значение U (текущую цену базового инструмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:
 Р = 3,842 + (100 - 101,288467) * ЕХР(-0,05 * 33/260,8875) = 3,842+-1,288467 *ЕХР(-0,006324565186) = 3,842 + -1,288467 * 0,9936954 = 3,842 + 1,280343731 =2,561656269
 Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из уравнения (5.11).
  Остается одна проблема: если пут-опционы и колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно уравнению (5.11), тогда существует возможность арбитража. На самом деле LJ в (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 3,842, а пут-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 2,561656269, то существует возможность арбитража, исходя из (5.13).
  Отсутствие паритета "пут-колл" при наличии наших заново полученных цен опционов предполагает, что вместо покупки колл-опциона за 3,842 нам следует открыть эквивалентную позицию, купив пут-опцион за 2,562 и базовый инструмент.
  Проблема решится, если мы сначала рассчитаем ожидаемую стоимость базового инструмента по уравнению (5.10) с учетом того, что аi просто равно i (в нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467), и вычтем текущую цену базового инструмента из полученного значения: 101,288467 - 100= 1,288467. Теперь, если мы вычтем это значение из каждого значения а., т.е. внутренней стоимости из (5.11), и примем любые получившиеся значения менее 0 равными 0, тогда уравнение (5.11) даст нам теоретические значения, которые согласуются с (5.13). Таким образом, арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту заменит текущую цену базового инструмента. В нашем примере (распределение Стьюдента с 5 степенями свободы) мы получим стоимость пут-опциона и колл-опциона с ценой исполнения 100, равную 3,218. Таким образом, наш ответ согласуется с уравнением (5.13), и возможность арбитража между этими двумя опционами и их базовыми инструментами отсутствует.
  Когда мы используем распределение, которое основано на значениях арифметического математического ожидания базового инструмента на дату истечения и значение этого ожидания отличается от текущей стоимости базового инструмента, мы должны вычесть разность (ожидание - текущая стоимость) из внутренней стоимости опциона и приравнять нулю значения меньше нуля. Таким образом, для любой формы распределения уравнение (5.11) дает нам арифметическое математическое ожидание опциона на дату истечения, при условии, что арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту равно его текущей цене (то есть направленное движение цены базового инструмента не предполагается).
 Одиночная длинная позиция по опциону и оптимальное f
 Рассмотрим обычную покупку колл-опциона. Вместо того чтобы для нахождения оптимального f использовать полную историю сделок по опционам данной рыночной системы, мы рассмотрим все возможные изменения цены данного опциона за время его существования и взвесим каждый результат вероятностью его осуществления. Этот взвешенный по вероятностям результат является HPR, соответствующим цене покупки опциона. Мы рассмотрим весь спектр результатов (т.е. среднее геометрическое) для каждого значения f и таким образом найдем оптимальное значение. Почти во всех моделях ценообразования опционов вводными переменными, имеющими наибольшее влияние на теоретическую цену опциона, являются: (а) время, оставшееся до истечения срока, (б) цена исполнения, (в) цена базового инструмента и (г) волатильность. Некоторые модели могут иметь и другие вводные данные, но именно эти четыре переменные больше всего влияют на теоретическое значение. Из этих переменных две - время, оставшееся до истечения срока, и цена базового инструмента - переменные величины. Волатильность тоже может изменяться, однако редко в той же степени, что цена базового инструмента или время до истечения срока. Цена исполнения не изменяется.
 С помощью нашей модели можно найти теоретическую цену для всех значений цен базового инструмента и времени, оставшегося до истечения срока. Таким образом, HPR для опциона является функцией не только цены базового инструмента, но и функцией времени, оставшегося до даты истечения опциона:
 
 где f = тестируемое значение f;
 
 S = текущая цена опциона;
 
 Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;
 Р(Т, U) = 1-хвостая вероятность того, что цена базового инструмента равна U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 
 С помощью этой формулы можно рассчитать HPR (взвешенное по вероятности результата) по сделке с опционом, при условии, что через время Т цена базового инструмента будет равна U. В данном уравнении переменная Т представляет собой долю года (выраженную десятичной дробью), оставшуюся до истечения срока опциона. Поэтому на дату истечения Т = 0. Если до истечения срока остается один год, то Т = 1. Переменная Z(T, U - Y) зависит от модели ценообразования, которую вы используете. Единственная переменная, которую вам надо рассчитать, - это Р(Т, U), т.е. вероятность того, что базовый инструмент будет равен U при заданном Т (т.е. времени, оставшемся до конца действия опциона). Если использовать модель Блэка-Шоулса или модель товарных опционов Блэка, то можно рассчитать Р(Т, U) следующим образом:
 если U < или = О:
 
 если U > Q:
 
 где U = рассматриваемая цена;
 Q = текущая цена базового инструмента;
 V= годовая волатильность базового инструмента;
 Е=доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор, когда опцион был приобретен;
 N() = функция нормального распределения (уравнение (3.21));
 ln() = функция натурального логарифма.
 В итоге мы получим взвешенное по вероятности HPR для каждого исхода. Возможен широкий диапазон результатов, но, к сожалению, эти результаты не непрерывны. Например, время до истечения срока не задается непрерывной функцией. До истечения срока всегда остается целое число; то же верно и для цены базового инструмента. Если цена акции равна, например, 35, а минимальное изменение цены равно 1/8, то между 30 и 40 находится 81 возможное значение. Зная время, через которое мы собираемся продать опцион, можно рассчитать взвешенные по вероятности HPR для всех возможных цен на этот рыночный день. В нормальном распределении вероятности 99,73% всех результатов попадают в интервал трех стандартных отклонений от среднего, которое в нашем случае является текущей ценой базового инструмента. Поэтому нам необходимо рассчитать HPR для определенного рыночного дня и каждой дискретной цены между - 3 и + 3 стандартными отклонениями. Можно использовать 4, 5, 6 или больше стандартных отклонений, но ответ от этого не станет значительно точнее. Не следует также сокращать ценовое окно до 2 или 1 стандартного отклонения. Выбор 3 стандартньк отклонений, конечно, не является твердым правилом, но в большинстве случаев оно приемлемо. Если мы используем модель Блэка-Шоулса или модель опционов на фьючерсы Блэка, то можно узнать, какому изменению цены базового инструмента U соответствует 1 стандартное отклонение:
 
 где U = текущая цена базового инструмента;
 V = годовая волатильность базового инструмента;
 Т = доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор. когда опцион был приобретен;
 ЕХР() = экспоненциальная функция.
 Отметьте, что стандартное отклонение является функцией времени, прошедшего с момента открытия позиции.
  Для точки, которая на Х стандартных отклонений выше текущей цены базового инструмента, получаем:
 
 Для точки, которая на Х стандартных отклонений ниже текущей цены базового инструмента, получаем:
 
 где U =текущая цена базового инструмента;
 V =годовая волатильность базового инструмента;
 Т =доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор, когда опцион был приобретен;
 EXPQ = экспоненциальная функция;
 Х =число стандартных отклонений от среднего, для которых вы хо тите определить вероятности.
 Далее следует описание процедуры поиска оптимального f для данного опциона.
 Шаг 1. Решите, закроете ли вы позицию по опциону в какой-то конкретный день. Если нет, тогда в дальнейших расчетах используйте дату истечения срока опциона.
 Шаг 2. Определите, сколько дней вы будете удерживать позицию. Затем преобразуйте это число дней в долю года, выраженную десятичной дробью.
 Шаг 3. Для дня из шага 1 рассчитайте точки, которые находятся между +3 и -3 стандартными отклонениями.
 Шаг 4. Преобразуйте диапазоны цен из шага 3 в дискретные значения. Другими словами, используя приращения по 1 тику, определите все возможные цены диапазона, включая крайние значения.
 Шаг 5. Для каждого из полученных результатов рассчитайте Z(T, U - Y) и Р(Т, U), то есть рассчитайте теоретическую цену опциона, а также вероятность того, что базовый инструмент к рассматриваемым датам будет равен определенной цене.
 Шаг 6. После того, как вы выполните шаг 5, у вас будут все входные данные, необходимые для расчета взвешенного по вероятности HPR.
 
 где f = тестируемое значение f;
 S = текущая цена опциона;
 
 Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;
 Р(Т, U) = 1-хвостая вероятность того, что цена базового инструмента равна U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Необходимо отметить, что форма распределения, используемого для Р(Т, U), не обязательно должна быть такой же, как и в модели ценообразования, применяемой для определения значений Z(T, U - Y). Например, вы используете модель фондовых опционов Блэка-Шоулса для определения значений Z(T, U - Y). Эта модель предполагает логарифмически нормальное распределение изменений цены, однако для определения соответствующего Р(Т, U) вы можете использовать другую форму распределения.
 Шаг 7. Теперь мы можем начать поиск оптимального f с помощью метода итераций, перебирая все возможные значения f между 0 и 1, или с помощью метода параболической интерполяции, или любого другого одномерного алгоритма поиска. Подставляя тестируемые значения f в HPR (у вас уже есть HPR для каждого из возможных приращений цены между + 3 и - 3 стандартными отклонениями на дату истечения срока или указанную дату выхода), вы можете найти среднее геометрическое для данного тестируемого значения f. Для этого надо перемножить все HPR, и полученное произведение возвести в степень единицы, деленной на сумма вероятностей:
 
 поэтому
 
 где G(f, T) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого значения f;
 f = тестируемое значение f;
 S = текущая цена опциона;
 Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;
 Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Значение f, которое в результате даст наибольшее среднее геометрическое, является оптимальным.
  Мы можем оптимизировать f, определив оптимальную дату выхода. Другими словами, мы можем найти значение оптимального f для данного опциона на каждый день между текущим днем и днем истечения. Запишем оптимальные f и средние геометрические для каждой указанной даты выхода. Когда мы завершим эту процедуру, мы сможем найти ту дату выхода, которая даст наивысшее среднее геометрическое. Таким образом, мы получим день, когда должны выйти из позиции по опциону для того, чтобы математическое ожидание было наивысшим (т.е. среднее геометрическое было наивысшим). Мы также узнаем, какое оптимальное количество контрактов следует купить.
  Теперь у нас есть математический метод, с помощью которого можно выходить из позиции по опциону и покупать опцион при положительном математическом ожидании. Если мы выйдем из позиции в день, когда среднее геометрическое максимально и оно больше 1,0, то следует покупать число контрактов, исходя из оптимального f, которое соответствует наивысшему среднему геометрическому. Математическое ожидание, о котором мы говорим, - это геометрическое ожидание. Другими словами, среднее геометрическое (минус 1,0) является математическим ожиданием, когда вы реинвестируете прибыли (арифметическое положительное математическое ожидание будет, конечно же, выше, чем геометрическое).
 После того как вы найдете оптимальное f для данного опциона, можно преобразовать полученное значение в число контрактов, которое следует покупать:
 (5.19) K=INT(E/(S/f)),
 где К = оптимальное число опционных контрактов для покупки;
 f= значение оптимального Г(от 0 до 1);
 S = текущая цена опциона;
 Е = общий баланс счета;
 1NT() = функция целой части.
 Для расчета TWR следует знать, сколько раз мы хотели бы воспроизвести эту же сделку в будущем. Другими словами, если наше среднее геометрическое составляет 1,001 и необходимо найти TWR, которое соответствует этой же игре 100 раз подряд, то TWR будет 1,001^100 = 1,105115698. Поэтому можно ожидать заработка в 10,5115698%, если провести эту сделку 100 раз. Формула для преобразования среднего геометрического в TWR задается уравнением (4.18):
 (4.18) TWR = Среднее геометрическое ^ X,
 где TWR = относительный конечный капитал;
 Х = число раз, которое мы "повторяем" эту игру.
 Мы можем определить и другие побочные продукты, например, геометрическое математическое ожидание (среднее геометрическое минус 1). Если мы возьмем наибольший возможный проигрыш (стоимость самого опциона), разделим его на оптимальное f и умножим на геометрическое математическое ожидание, то получим среднюю геометрическую сделку. Как вы уже заметили, при использовании метода оптимального f в торговле опционами появляется еще один побочный продукт - оптимальная дата выхода. Мы рассматривали позиции по опционам при отсутствии направленного движения цены базового инструмента. Для указанной даты выхода точки, смещенные на 3 стандартных отклонения выше и ниже, рассчитываются из текущей цены, таким образом, мы ничего не знаем о будущем направлении цены базового инструмента. В соответствии с математическими моделями ценообразования мы не получим положительное арифметическое математическое ожидание, если будем удерживать позицию по опциону до срока истечения. Однако, как мы уже видели, можно достичь положительного геометрического математического ожидания, если закрыть позицию в определенный день до срока истечения.
  Если вы предполагаете определенное изменение цены базового инструмента, его можно учесть. Допустим, мы рассматриваем опционы на базовый инструмент, который в настоящее время стоит 100. Далее предположим, что на основе анализа рынка выявлен тренд, который предполагает цену 105 к дате истечения, и эта дата отстоит на 40 рыночных дней от сегодняшней даты. Мы ожидаем, что цена повысится на 5 пунктов за 40 дней. Если исходить из линейного изменения цены, то цена должна расти в среднем на 0,125 пунктов в день. Поэтому для завтрашнего дня (как дня выхода) мы возьмем значение U, равное 100,125. Для следующей даты выхода возьмем U, равное 100,25. К тому времени, когда указанная дата выхода станет датой истечения срока опциона, U будет равно 105. Если базовым инструментом является акция, то вы должны вычесть дивиденды из U, воспользовавшись уравнением (5.04). Тренд можно учитывать, если изменять каждый день значение U, исходя из сделанного прогноза. Так как уравнения (5.17а) и (5.176) изменятся, значения U повлияют на оптимальные f и побочные продукты. Отметьте, что в уравнениях (5.17а) и (5.176) используются новые значения U, т.е. происходит автоматическое приведение данных, следовательно, полученные оптимальные f будут основаны на данных, приведенных к текущей цене.
  Когда вы будете использовать вышеописанную технику работы с оптимальным f, то заметите, что его значение каждый день меняется. Предположим, сегодня вы купили опцион и рассчитали оптимальную дату выхода. Послезавтра цена опциона может измениться, и если вы опять проведете процедуру расчета оптимального f, то также можете получить положительное математическое ожидание, но уже. другую дату выхода. Что это означает?
  Ситуация аналогична лошадиным бегам, где можно делать ставки после начала скачки и до их завершения. Шансы постоянно меняются, и вы в любой момент можете обменять купленный билет на деньги. Скажем, до начала скачек вы ставите 2 доллара на определенную лошадь, основываясь на положительном математическом ожидании, и лошадь после первого крута прибегает предпоследней. Предположим, ваш билет, купленный за 2 доллара, стоит теперь только 1,50 доллара. Вы по-прежнему считаете, что математическое ожидание в пользу вашей лошади, исходя из результатов прошлых скачек и нынешних шансов. Вы решаете, что текущая цена билета в 1,50 доллара на 10% занижена. Можно получить деньги по билету, купленному до начала скачек за 2 доллара (сейчас он стоит 1,50 доллара), и можно также купить билет за 1,50 доллара, чтобы сделать еще одну ставку. Таким образом, вы получаете положительное математическое ожидание, но на основе билета за 1,50 доллара, а не за 2 доллара. Та же аналогия применима и к опционам, позиция по которым в настоящий момент немного убыточна, но имеет положительное математическое ожидание на основе новой цены. Вы должны использовать другое оптимальное f для новой цены, регулируя текущую позицию (если это необходимо), и закрывать ее, исходя из новой оптимальной даты выхода. Таким образом, вы используете последнюю ценовую информацию о базовом инструменте, что иногда может заставить вас удерживать позицию до истечения срока опциона. Возможность получения положительного математического ожидания при работе с опционами, которые теоретически справедливо оценены, сначала может показаться парадоксом или просто шарлатанством. Мы знаем, что теоретические цены опционов, найденные с помощью моделей, не позволяют получить положительное математическое ожидание (арифметическое) ни покупателю, ни продавцу. Модели теоретически справедливы с поправкой "если удерживаются до истечения срока". Именно эта отсутствующая поправка позволяет опциону быть справедливо оцененным согласно моделям и все-таки иметь положительное ожидание. Помните, что цена опциона уменьшается со скоростью квадратного корня времени, оставшегося до истечения срока. Таким образом, после первого дня покупки опциона его премия должна упасть в меньшей степени, чем в последующие дни. Рассмотрим уравнения (5.17а) и (5.176) для цен, соответствующих смещению на 4- Х и - Х стандартных величин по истечении времени Т. Окно цен каждый день расширяется, но все медленнее и медленнее, в первый день скорость расширения максимальна. Таким образом, в первый день падение премии по опциону будет минимальным, а окно Х стандартных отклонений будет расширяться быстрее всего. Чем меньше времени пройдет, тем с большей вероятностью мы будем иметь положительное ожидание по длинной позиции опциона, и чем шире окно Х стандартных отклонений, тем вероятнее, что мы будем иметь положительное ожидание, так как убыток ограничен ценой опциона, а возможная прибыль не ограничена. Между окном Х стандартных отклонений, которое с каждым днем становится все шире и шире (хотя со все более медленной скоростью), и премией опциона (падение которой с каждым днем происходит все быстрее и быстрее) происходит "перетягивание каната".
 В первый день математическое ожидание максимально, хотя оно может и не быть положительным. Другими словами, математическое ожидание (арифметическое и геометрическое) самое большое после того, как вы продержали опцион 1 день (оно в действительности самое большое в тот момент, когда вы приобретаете опцион, и далее постепенно понижается, но мы рассматриваем дискретные величины). Каждый последующий день ожидание понижается, но все медленнее и медленнее. Следующая таблица иллюстрирует понижение ожидания по длинной позиции опциона. Этот пример уже упоминался в данной главе. Колл-опцион имеет цену исполнения 100, базовый инструмент стоит также 100; дата истечения - 911220. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы используем формулу товарных опционов Блэка (Н определяется из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Возьмем 8 стандартных отклонений для расчета оптимального f, а минимальный шаг тика примем равным 0,1.
 
 Значения столбца "AHPR" являются средними арифметическими HPR (расчет будет рассмотрен позднее в этой главе), a GHPR является средним геометрическим HPR. Столбец "f" представляет оптимальные f, из которых находятся значения столбцов AHPR и GHPR. Арифметическое математическое ожидание равно AHPR - 1, а геометрическое математическое ожидание равно GHPR - 1. Отметьте, что наибольшие математические ожидания (необязательно положительные ожидания, как в этом примере) возникают в день после приобретения опциона. Каждый последующий день ожидания уменьшаются, причем скорость уменьшения с течением времени замедляется. После 911106 математические ожидания (HPR - 1) становятся отрицательными. ' Если бы нам пришлось торговать по этой информации, мы могли бы войти сегодня (911104) и выйти при закрытии завтра (911105). Справедливая цена опциона равна 2,861. Если мы допустим, что он котируется по цене 100 долларов за полный пункт, цена опциона составит 2,861 * $100 ^ $286,10. Разделив эту цену на оптимальное f= 0,0806, мы найдем, что следует торговать одним опционом на каждые 3549,63 доллара на балансе счета. Если бы мы держали опцион до закрытия 911106 (последний день), когда он все еще имеет положительное математическое ожидание, то открыв позицию сегодня, используя для дня выхода (911106) соответствующее оптимальное f= 0,0016, торговали бы 1 контрактом на каждые 178 812,50 доллара на балансе счета ($286,10 / 0,0016). Отметьте, что при этом ожидание намного ниже, чем в случае торговли 1 контрактом на каждые 3549,63 доллара на балансе счета и выхода по цене закрытия завтра (911105).
  Скорость изменения между двумя функциями: уменьшением премии с течением времени и расширением окна Х стандартных отклонений, может создать положительное математическое ожидание для длинной позиции по опциону. Это ожидание имеет наибольшее значение в момент открытия позиции и после этого понижается с уменьшающейся скоростью. Таким образом, справедливо оцененный опцион (на основе вышеизложенных моделей) может иметь положительное математическое ожидание, если позицию по нему закрыть в начале периода падения премии. В следующей таблице рассматривается тот же колл-опцион с ценой исполнения 100, но на этот раз используются окна различного размера (различные значения стандартных отклонений):
 Число стандартных отклонений
  2 3 5 8 10 AHPR 1,000102 1,000379 1,000409 1,000409 1,000409 GHPR 1,000047 1,00018 1,000195 1,000195 1,000195 f 0,043989 0,0781 0,0806 0,0806 0,0806 Дата выхода 911105 911105 911106 911106 911106
 AHPR и GHPR - это арифметические и геометрические HPR при оптимальном f для дня закрытия 911105 (самая благоприятная дата выхода, так как она имеет наивысшие AHPR и GHPR). f соответствует оптимальному f для 911105. Значения строки "Дата выхода" - это последние даты, когда еще существует положительное ожидание (т.е. когда AHPR и GHPR больше 1). Интересно отметить, что AHPR, GHPR, f и Дата выхода сходятся к определенным значениям, когда мы увеличиваем число стандартных отклонений. За пределами 5 стандартных отклонений эти значения едва заметно изменяются, за пределами 8 стандартных отклонений они практически вообще не изменяются. Недостатком использования большого числа стандартных отклонений является необходимость в значительном компьютерном времени. В нашем примере это не так важно, но когда мы будем рассматривать одновременную торговлю по нескольким позициям, вы увидите, что каждая дополнительная позиция экспоненциально увеличивает необходимое компьютерное время. Для одной позиции 8 стандартных отклонений более чем достаточно, однако для нескольких позиций, открытых одновременно, необходимо уменьшить число стандартных отклонений. Следует отметить, что правило 8 стандартных отклонений применимо только тогда, когда логарифмы изменений цены распределены нормально.
 Одиночная короткая позиция по опциону
 Все сказанное по поводу одиночной длинной опционной позиции остается верным и для одиночной короткой опционной позиции. Единственное отличие заключается в ином написании уравнения (5.14):
 
 где HPR(T, U) = НРR для данного тестируемого значения Т и U;
 f = тестируемое значение f;
 S = текущая цена опциона;
 Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т,
 Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т;
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Для одиночной короткой опционной позиции это уравнение преобразуется в:
 
 где HPR(T, U) == HPR для данного тестируемого значения Т и U;
  f= тестируемое значение f;
  S = текущая цена опциона;
  Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;
 Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения,
  равно Т,
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Обратите внимание, что единственным отличием уравнения (5.14) для одиночной длинной опционной позиции от уравнения (5.20) для одиночной короткой позиции является выражение (Z(T, U-Y)/S-1), которое заменяется на (1-Z(T, U - Y) / S). Все остальное в отношении одиночной длинной опционной позиции верно и для одиночной опционной короткой позиции.
 Одиночная позиция по базовому инструменту
 В главе 3 мы подробно рассмотрели математику поиска оптимального f параметрическим способом. Теперь мы можем использовать тот же метод и для
 одиночной длинной опционной позиции с учетом нового HPR, которое рассчитывается по уравнению (3.30):
 
 где HPR(U) = HPR для данного U;
 L= ассоциированное P&L;
 W = ассоциированное P&L худшего случая (это всегда отрицательное значение);
 f == тестируемое значение f;
 Р = ассоциированная вероятность.
 Для длинной позиции переменная L, т.е. ассоциированное P&L, определяется как разность между ценой базового инструмента U и ценой S.
 (5.21 а) L для длинной позиции = U - S
 Для короткой позиции ассоциированное P&L рассчитывается наоборот:
 (5.216) L для короткой позиции = S - U,
 где S = текущая цена базового инструмента;
 U = цена базового инструмента для данного HPR.
 Мы можем также рассчитать оптимальное f для одиночной позиции по базовому инструменту, используя уравнение (5.14). При этом надо иметь в виду, что оптимальное f может получиться больше 1.
 Пусть цена базового инструмента равна 100, и мы ожидаем пять результатов:
 
 Результат Вероятность P&L 110 0,15 10 105 0,30 5 100 0,50 0 95 0,25 -5 90 0,10 -10
 Отметьте, что исходя из уравнения (5.10) наше арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту составляет 100,576923077. Это означает, что переменная Y для (5.14) равна 0,576923077, так как 100,576923077-100= = 0,576923077. Если рассчитать оптимальное f, используя столбец P&L и уравнение (3.30), мы получим f= 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 доллара на счете. Если в уравнении (5.14) использовать данные из столбца "Результат", тогда переменная S равна 100. В этом случае мы не вычитаем значение Y (арифметическое математическое ожидание базового инструмента минус его текущая цена) из U при определении переменной Z(T, U - Y), и получаем оптимальное f около 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 доллара на счете, так как
 100 /1,9=52,63.
 
 Если вычесть значение Y в выражении Z(T, U - Y), являющемся элементом уравнения (5.14), мы получим математическое ожидание по базовому инструменту, равное его текущему значению, и поэтому f не будет оптимальным. Тем не менее нам следует вычесть значение Y в Z(T, U - Y) для того, чтобы соответствовать расчетам цен опционов, а также формуле "пут-колл" паритета. Если мы будем использовать уравнение (3.30) вместо уравнения (5.14), тогда из каждого значения U в (5.21а) и (5.216) следует вычесть значение Y, то есть надо вычесть Y из каждого P&L, что опять же создает ситуацию, когда нет положительного математического ожидания, и поэтому нет оптимального значения f. Все вышесказанное означает, что если мы откроем позицию по базовому инструменту, не имея никаких представлений о направлении движения его цены, то не получим положительного математического ожидания (как происходит с некоторыми опционами) и поэтому не найдем оптимального f. Мы можем получить оптимальное f только в том случае, когда математическое ожидание положительное. Это произойдет, если базовый инструмент "в тренде".
 Теперь у нас есть методология, позволяющая определить оптимальное f (и его побочные продукты) для опционов и базового инструмента (разными способами). Отметьте, что используемые в этой главе методы определения оптимальных f и побочных продуктов для опционов или базового инструмента не требуют обязательного применения механической системы. Вспомним, что эмпирический метод поиска оптимального f основан на эмпирическом потоке P&L, созданном механической системой. Из главы 3 мы узнали о параметрическом методе поиска оптимального f на основе данных, которые имеют нормальное распределение. Тот же метод можно использовать для поиска оптимального f при любом распределении данных, если существует функция распределения. Из главы 4 мы познакомились с параметрическим методом поиска оптимального f для распределений торговых P&L, которые не имеют функций распределения (для механической или немеханической системы) и с методом планирования сценария.
 
 В этой главе мы изучили метод поиска оптимального f для немеханических систем. Обратите внимание, все расчеты допускают, что вы в некоторый момент времени "слепо" открываете позицию, причем направленного движения цены базового инструмента не ожидается. Таким образом, предложенный метод лишен какого-либо прогноза относительно цены базового инструмента. Мы увидели, что можно учесть ценовой прогноз, изменяя каждый день значение базового инструмента в уравнениях 5.17а и 5.176. Даже слабый тренд значительно меняет функцию ожидания. Оптимальная дата выхода может не быть теперь рыночным днем сразу после дня входа, более того, оптимальная дата выхода может стать датой истечения срока. В таком случае опцион будет иметь положительное математическое ожидание, даже если его держать до даты истечения. При небольшом тренде цены базового инструмента значительно изменится не только функция ожидания, но и оптимальные f, AHPR и GHPR.
  Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Пусть цена исполнения колл-опциона равна 100 и он истекает 911120, цена базового инструмента равна также 100. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы будем использовать формулу товарных опционов Блэка (Н находим из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Для 8 стандартных отклонений рассчитаем оптимальные f (чтобы соответствовать прошлым таблицам, которые не учитывают тренд по базовому инструменту), и используем минимальное приращение тика 0,1. В данном случае мы будем учитывать тренд, при котором цена базового инструмента растет на 0,01 пункта (одну десятую тика) в день:
 
 Дата выхода AHPR GHPR f Вторник 911105 1,000744 1,000357 0,1081663 Среда 911106 1,000149 1,000077 0,0377557 Четверг 911107 1,000003 1,000003 0,0040674 Пятница 911108 <1 <1 0
 Отметьте, как небольшой тренд (0,01 пункта в день) меняет результаты. Наша оптимальная дата выхода остается 911105, но оптимальное f= 0,1081663, что соответствует 1 контракту на каждые 2645 долларов на балансе счета (2,861* * 100 / 0,1081663). Кроме того, для этого опциона ожидание положительно все время до 911107. Если тренд будет сильнее, результаты изменятся еще больше. Последнее, что необходимо учесть, - это размер комиссионных. Цена опциона из уравнения (5.14) (значение переменной Z(T, U - Y)) должна быть уменьшена на размер комиссионных (если с вас берут комиссионные и при открытии позиции, то вы должны увеличить значение переменной S из уравнения (5.14) на размер комиссионных).
  Мы рассмотрели поиск оптимального f и его побочных продуктов, когда механическая система не используется. Теперь перейдем к изучению одновременной торговли по нескольким позициям.
 Торговля по нескольким позициям при наличии причинной связи
 Прежде чем начать обсуждение одновременной торговли по нескольким позициям, необходимо пояснить разницу между причинными связями и корреляционными связями. В случае с причинной связью существует фактическое, связующее объяснение корреляции между двумя или более событиями, т. е. причинная связь - это такое отношение, где есть корреляция, и ее можно объяснить логически. Обычная корреляционная связь подразумевает, что есть зависимость, но этому нет причинного объяснения. В качестве примера причинной связи давайте рассмотрим пут-опционы и колл-опционы на акции IBM. Очевидно, что корреляция между пут и колл-опционами IBM составляет -1 (или находится очень близко к этому значению), но эта связь означает больше, чем просто корреляция. Мы знаем, что, когда по колл-опционам IBM возникает давление вверх, появляется давление и вниз по пут-опционам (все остальное считается постоянным, включая волатильность). Описанное логическое связующее отношение означает, что между пут и колл-опционами IBM существует причинная связь.
  Когда существует корреляция, но нет причины, мы просто говорим, что есть корреляционная связь (в противоположность причинной связи). Обычно при корреляционной связи коэффициент корреляции (по абсолютной величине) меньше 1, как правило, абсолютное значение коэффициента корреляции ближе к 0. Например, цены на кукурузу и соевые бобы в большинстве случаев движутся параллельно. Хотя их коэффициенты корреляции не равны точно 1, существует причинная связь, так как оба рынка реагируют на события, которые затрагивают зерновые. Если мы рассматриваем колл-опционы IBM и пут-опционы компании Digital Equipment (или колл-опционы), мы не можем сказать, что между ними существует четкая причинная связь. Что-то от причинной связи в этом случае безусловно есть, так как оба вида базового инструмента (акции) входят в компьютерную группу, но только потому, что цена IBM растет (или падает), акции Digital Equipment не обязательно должны расти или падать. Как видите, нет четкой грани, которая разделяет причинные и корреляционные связи.
  Невозможность четкого определения вида связи создает некоторые проблемы в работе. Сначала мы рассмотрим только причинные связи, или те, которые, как мы полагаем, являются причинными. В следующей главе мы обсудим корреляционные связи, которые включают также и причинные связи. Вы должны понимать, что методы, упомянутые в следующей главе в отношении корреляционных связей, применимы и для причинных связей. Обратное не всегда верно. Применение методов, используемых для причинных связей, в случае, когда связи просто корреляционны, является ошибкой. Причинная связь подразумевает, что коэффициенты корреляции между ценами двух объектов составляют 1 или -1. Для упрощения будем считать, что причинная связь затрагивает два инструмента (акция, товар, опцион и т.д.), имеющих один базовый инструмент. Это могут быть спрэды, стредлы, "покрытая продажа" или любая другая позиция, когда вы используете базовый инструмент совместно с одним или более опционами или один или несколько опционов по одному базовому инструменту, даже если у вас нет позиции по этому базовому инструменту.
  Простейшим примером одновременных позиций является комбинация опционов (т.е. позиция по базовому инструменту отсутствует), когда совокупная позиция заносится в дебет и можно использовать уравнение (5.14). Таким образом, вы можете определить оптимальное f для всей позиции, а также побочные продукты (включая оптимальную дату выхода). В этом случае переменная S выражает общие затраты на сделку, а переменная Z(T, U - Y) выражает "общую" цену всех одновременных позиций при цене базового инструмента U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Когда совокупная позиция заносится в кредит, можно определить оптимальное f с помощью уравнения (5.20). Как и в предыдущем случае, мы должны изменить переменные S и Z(T, U - Y) для отражения "чистой" цены всех позиций. Например, мы рассматриваем возможность открытия длинного стредла (покупка пут-опциона и колл-опциона по одному базовому инструменту с одинаковой ценой исполнения и датой истечения). Допустим, что полученное с помощью этого метода оптимальное f соответствует 1 контракту на каждые 2000 долларов. Таким образом, на каждые 2000 долларов на счете мы должны покупать 1 стредл (1 пут-опцион и 1 колл-опцион). Оптимальное f, полученное с помощью данного метода, относится к финансированию 1 единицы для всей позиции. Этот факт касается всех методов, рассмотренных в данной главе. Ниже представлено уравнение для одновременных позиций, причем не имеет значения, используется позиция по базовому инструменту или нет. Мы будем применять эту обобщенную форму для одновременных позиций с причинной связью:
 
 где N = число "ног" (число составляющих сложной позиции);
 HPR(T, U) = HPR для тестируемых значений Т и U;
 C(T, U) = коэффициент i-ой "ноги" при данном значении U, когда время, оставшееся до истечения срока, равно Т.
 Для опционных "ног", занесенных в дебет, или длинной позиции по базовому инструменту:
 
 Для опционных "ног", занесенных в кредит, или короткой позиции по базовому инструменту:
 
 где f = тестируемое значение f;
 S = текущая цена опциона или базового инструмента;
 Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срoка истечения, равно Т;
 Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т;
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Уравнение (5.22) следует использовать, когда речь идет об одновременно используемых "ногах", и вам необходимо найти оптимальное f и оптимальную дату выхода по всей позиции (т.е. когда речь идет об одновременной торговле по нескольким позициям).
  Для каждого значения U вы можете найти HPR с помощью уравнения (5.22), а для каждого значения f вы можете найти среднее геометрическое, составленное из всех HPR, с помощью уравнения (5.18а):
 
 где G(f, Т) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого значения f и для данного времени, остающегося до истечения срока от указанной даты выхода. Значения f и Т, которые дают наивысшее среднее геометрическое, являются значениями, которые следует использовать для всего набора одновременных позиций.
 Подведем итог. Нам надо найти оптимальное f для каждого дня (между текущим днем и днем истечения) как дня выхода. Для каждой даты выхода необходимо определить цены между плюс и минус Х стандартных отклонений (обычно Х будет равно 8) от базовой цены базового инструмента. Базовая цена может быть текущей ценой базового инструмента, или же она может быть скорректирована для учета ценового тренда. Теперь вам надо найти значение для f между 0 и 1, которое даст наибольшее среднее геометрическое HPR, используя HPR для цен между плюс и минус Х стандартных отклонений от базовой цены для указанной даты выхода. Таким образом, для каждой даты выхода у вас будет оптимальное f и соответствующее среднее геометрическое. Дата выхода, которая дает наибольшее среднее геометрическое, является оптимальной датой выхода из позиции, и f, соответствующее этому среднему геометрическому, является оптимальным f. Структура этой процедуры следующая:
 
 Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения
 Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)
 Для каждой рыночной системы
 Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями
 Определите HPR
 Следует отметить, что мы можем определить оптимальную дату выхода, т.е. дату, когда следует закрыть всю позицию. Можно применить эту же процедуру для нахождения оптимальной даты выхода для каждой "ноги" (отдельной позиции), что, правда, геометрически увеличит число расчетов. Тогда процедура несколько изменится и будет выглядеть следующим образом:
 Для каждой рыночной системы
 Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения
 Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)
 Для каждой рыночной системы
 Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями
 Определите HPR
 Итак, мы рассмотрели одновременную торговлю по нескольким позициям при наличии причинной связи. Теперь рассмотрим ситуацию, когда связь случайна.
 
 Торговля по нескольким позициям при наличии случайной связи
 Вы должны знать, что, как и в случае с причинной связью, методы, упомянутые в следующей главе, посвященной корреляционным связям, применимы и для случайных связей. Но не наоборот. Неправильно применять методы для случайных связей к корреляционным связям (когда коэффициенты корреляции не равны 0). При случайной связи коэффициент корреляции между ценами двух инструментов всегда равен 0.
  Случайная связь между двумя торгуемыми инструментами (акции, фьючерсы, опционы и т.д.) имеет место в том случае, если их цены не зависят друг от друга, т.е. коэффициент корреляции цен равен нулю, или ожидается, что он будет равен нулю в асимптотическом смысле.
  Когда коэффициент корреляции двух составляющих равен О, HPR для совокупной позиции рассчитывается следующим образом:
 
 где N = число "ног" позиции;
 HPR(T, U) = HPR для данного тестируемого значения Т и U;
 С. (Т, U) = коэффициент i-ой "ноги" при данном значении U, когда время, оставшееся до истечения срока, равно Т.
 Для опционных "ног", занесенных в дебет, или длинной позиции по базовому инструменту:
 
 Для опционных "ног", занесенных в кредит, или короткой позиции по базовому инструменту:
 
 где f = тестируемое значение f;
 S = текущая цена опциона;
 Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;
 Pj(T, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т;
 Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Теперь мы можем рассчитать среднее геометрическое HPR для случайной связи:
 
 
 где G(f, Т) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого значения f и данного времени Т, остающегося до истечения срока от указанной даты выхода. Значения f и Т, которые дают наибольшее среднее геометрическое, оптимальны. Структура этой процедуры такая же, как и в случае с причинной связью:
 
 Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения
 Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)
 Для каждой рыночной системы
 Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями
 Определите HPR
 Единственное различие между процедурой нахождения среднего геометрического для случайных связей и процедурой для причинных связей состоит в том, что показатель степени для каждого HPR при случайной связи рассчитывается путем умножения вероятностей того, что "ноги" будут находиться на данной цене определенного HPR. Все эти суммы вероятностей, используемые в качестве показателей степени для каждого HPR, сами по себе также суммируются, так что, когда все HPR перемножены для получения промежуточного TWR, его можно возвести в степень единицы, деленной на сумму показателей степени, используемых в HPR. И снова процедуру можно изменить, чтобы найти оптимальные даты выхода для каждой составляющей позиции.
  Несмотря на всю сложность, уравнение (5.25) все-таки не решает проблему ненулевого коэффициента линейной корреляции между ценами двух компонентов. Как видите, определение оптимальных весов компонентов является довольно сложной задачей! В следующих нескольких главах вы увидите, как найти правильные веса для каждой составляющей позиции, будь то акция, товар, опцион или любой другой инструмент, независимо от связи (причинная, случайная или корреляционная). Входные данные, которые нам потребуются, следующие: (1) коэффициенты корреляции средних дневных HPR позиций в портфеле на основе 1 контракта, (2) арифметические среднее HPR и стандартные отклонения HPR.
  Уравнения (5.14) и (5.20) показывают, как находить HPR для длинных и коротких позиций по опционам. Уравнение (5.18) показывает, как находить среднее геометрическое. Мы можем также определить среднее арифметическое:
  Для длинных опционных позиций, т.е. отнесенных в дебет:
 
 
 Для коротких опционных позиций, т.е. отнесенных в кредит:
 
 
 где AHPR = среднее арифметическое HPR;
 f= оптимальное f (от 0 до 1);
 S= текущая цена опциона;
 Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;
 Р(Т, U) = вероятность, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т;
 Y= разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
 Зная среднее геометрическое HPR и среднее арифметическое HPR, можно определить стандартное отклонение значений HPR:
 
 где А = арифметическое среднее HPR;
 G = геометрическое среднее HPR;
 SD = стандартное отклонение значений HPR.
 В этой главе мы познакомились еще с одним способом расчета оптимального f. Предложенный метод подходит для несистемных трейдеров. В виде входного параметра здесь используется распределение результатов по базовому инструменту к определенной дате в будущем. Данный подход позволяет найти оптимальное f как для отдельных опционных позиций, так и для сложных позиций. Существенным недостатком метода является то, что связи между всеми позициями должны быть случайными или причинными.
  Означает ли вышесказанное, что мы не можем использовать методы поиска оптимального f, рассмотренные в предыдущих главах, для нескольких одновременно открытых позиций или опционов? Нет, вы всегда можете выбрать наиболее эффективный с вашей точки зрения подход. Методы, детально описанные в этой главе, имеют как определенные недостатки, так и достоинства (например возможность расчета оптимального времени выхода). В следующей главе мы будем изучать темы, касающиеся построения оптимального портфеля, что позднее поможет нам в управлении капиталом при одновременной торговле по нескольким позициям.
  Цель этой книги - изучить портфели рыночных систем, использующих различные инструменты с различных рынков. В данной главе мы достаточно подробно рассмотрели теоретические цены опционов и теперь перейдем к созданию оптимального портфеля.
 

<< Пред.           стр. 7 (из 10)           След. >>

Список литературы по разделу