<< Пред. стр. 5 (из 9) След. >>
Список литературы по разделу
Все решает время
Вы потерпели кораблекрушение и попали в плен к племени каннибалов.
Вам в руки дают пару песочных часов.
Одни отсчитывают ровно четыре минуты.
Другие - ровно семь.
Вождь требует, чтобы вы сказали, когда пройдет точно девять минут.
Если вы это сделаете, вас освободят.
Если вы не сделаете этого, вас съедят.
Вождь орет: "Начинай немедленно!"
Что делать?
Внутренние побуждения
Жить - значит иметь проблемы. Решать их - значит расти интеллектуально.
Дж. П. Гилдфорд, психолог
Ну и как вы справились с задачей о песочных часах и каннибалах? Когда один мой хороший приятель задал мне эту загадку, он будто бы всунул мне в руки воображаемые часы. Я сел и задумался. Через пару минут приятель сказал: "Все, слишком поздно. Ты упустил свой шанс. Теперь ты пойдешь на жаркое". Я возмутился: "Что ты имеешь в виду? Я же еще не сказал, что собираюсь сделать". - "В том-то и дело! - воскликнул приятель. - Ты просто держал часы в руках, даже не пытаясь их перевернуть. Поскольку ты ничего не делал, ты опоздал. Даже если ты сумеешь дать правильный ответ, как отмерить девять минут, все равно не выполнишь в точности приказание вождя. Ведь он выкрикнул: "Начинай немедленно!"
Сначала у меня появилось чувство, что меня надули. Но потом я сообразил, что получил хороший урок. Я понял, что не отреагировал на поставленную задачу должным образом - так, как если бы она встала передо мной реально. Я не сумел поставить себя в положение человека, попавшего к людоедам. Я пытался решить задачу как бы извне.
Так как же вы должны были решать эту задачу, если бы действительно потерпели кораблекрушение? Во-первых, нужно немедленно перевернуть песочные часы! А пока песок сыплется, можно и подумать. Что происходит дальше? Через четыре минуты первые песочные часы иссякнут, и вы, естественно, снова перевернете их. Через семь минут иссякнут вторые часы. Переверните их тоже. Еще через минуту (всего через восемь минут) вновь иссякнут первые часы. Поскольку у вас в запасе осталась только одна минута, а на дне вторых часов насыпалось песка тоже ровно на минуту, вы можете быстро их перевернуть. Когда песок во вторых часах полностью пересыплется, с начала испытания как раз и пройдет девять минут.
Для того чтобы успешно решать практические задачи, необходимо развить базовый набор навыков, которые вы сможете применять практически во всех случаях жизни, при решении проблем - абстрактных, межличностных, денежных, возникающих на работе. К этим навыкам относятся:
* ПРЯМОЙ ПОДХОД. Если перед вами встает проблема, что вы обычно делаете? Идете ей навстречу или бежите от нее? Удовлетворяетесь единственным решением или пытаетесь найти еще и альтернативные? Откладываете решение в долгий ящик или всегда решаете проблему сразу же?
* ОРГАНИЗАЦИЯ. Для того чтобы эффективно решить задачу, нужно правильно организовать имеющуюся информацию, сосредоточиться на ключевых моментах, отбрасывая все второстепенное. Нужно точно сформулировать возникшую проблему. Эйнштейн понимал значение ясности, он говорил: "Все нужно делать так просто, как только возможно, но не более того".
* МАНИПУЛЯЦИИ. Некоторые задачи решаются достаточно эффективно с помощью продуманной тактики последовательных шагов. Другие можно решить экспериментальным путем - методом проб и ошибок. Третьи сдаются только после долгого размышления, причем ответ часто возникает как озарение. В любом случае вы должны будете оперировать имеющейся в наличии информацией. Возможно, вам придется переставлять слова, рассматривать иллюстрации, разбираться в математических формулах. А возможно, вам придется анализировать свои собственные реакции.
* ПРОВЕРКА. Когда вы получите решение, проверьте его правильность. Вновь проанализируйте сделанные вами допущения, цепочки умозаключений. Спросите себя, нет ли у этой проблемы другого решения.
Поскольку разные типы задач требуют разных типов мышления, не существует универсальной формулы, которая позволяла бы с гарантией решать любые проблемы. В следующем разделе приводятся некоторые задачи, ставшие уже классическими. Вы увидите, что во многих случаях решение содержит элементы игры, шутки, некоторые решения просто красивы. При желании вы можете ознакомиться с правильными ответами в заключительном разделе. Не забудьте использовать четыре составляющие основной стратегии. Со временем у вас выработается собственный стиль, который будет помогать вам при решении различных задач.
Сортировка задачи
УПРАЖНЕНИЕ.
Если три дня назад был день, предшествующий понедельнику, то какой день будет послезавтра?
Первый шаг в решении задачи - выяснить, в чем же, собственно, она состоит. Если вы сформулируете, что вы на самом деле ищете, то у вас сразу же появится и конечная цель, и некая исходная точка. Итак, попробуем определить, какой день будет послезавтра. Перед понедельником было воскресенье. Если три дня назад было воскресенье, то сегодня - среда. Если сегодня - среда, значит, послезавтра будет пятница.
Иногда задача становится совершенно тривиальной, если правильно рассортировать информацию. В следующих загадках начните с определения цели, а затем сформулируйте загадку таким образом, чтобы к ней легче было подступиться.
* В зоопарке имеются тридцать голов и сто ног. Сколько зверей и сколько птиц живут в зоопарке?
* Три миссионера и три каннибала должны пересечь реку в лодке, в которой могут поместиться только двое. Миссионеры должны соблюдать осторожность, чтобы каннибалы не получили на каком-то берегу численное преимущество. Как переплыть реку?
* Криптарифм - это задача, в которой требуется расшифровать какие-то арифметические действия. В большинстве криптарифмов каждая цифра зашифрована своей буквой. Два замечательных криптарифма, изображенные ниже, вносят приятное разнообразие в установившиеся каноны, но легко решаются с помощью логических рассуждений и допускают лишь один-единственный ответ.
, , E, E, O, , , , , , , P, P, P
, , , O, O, , , , , , , , P, P
, E, O, E, O, , , , , , P, P, P, P
, E, O, O, , , , , , P, P, P, P,
O, O, O, O, O, , , , , P, P, P, P, P
В обеих задачах умножаются какие-то два числа. В левой задаче каждая буква Е означает четную цифру, буква О - нечетную. Разумеется, из того, что все четные цифры обозначены одной и той же буквой Е, еще не следует, что все четные цифры одинаковы. Одна буква Е может означать цифру 2, другая - 4 и так далее. Нуль считается четной цифрой. Требуется расшифровать весь пример.
В правой задаче каждая буква Р означает какое-нибудь простое однозначное число (2, 3, 5 или 7).
* Трое приятелей кидают монету, причем проигравший платит выигравшим столько, сколько они уже выиграли. После трех партий каждый проиграл по разу и каждый имеет по тридцать шесть долларов. С каких сумм они начали?
* Миранда обыграла Розмари в теннис со счетом 6:3. В пяти играх победу одерживает та из девушек, которая не подает. Чьей была первая подача?
* Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре после этого останется воды?
Иллюстрации
Хороший способ решать задачи - рисовать к ним иллюстрации. Рисунок - даже простая схема или диаграмма - позволяет наглядно представить задачу, а значит, расширяет ваши возможности поработать над решением. Опытный логик, без сомнения, понимает важность графического комментария к задаче. С помощью карандаша и листа бумаги можно записать всю информацию, какой вы только располагаете по данной проблеме, и представить эту информацию в удобной для вас форме. Вот пример:
* Однажды утром, как раз в тот момент, когда взошло солнце, один буддийский монах начал восхождение на высокую гору. Узкая тропа шириной не более одного-двух футов вилась серпантином по склону горы к сверкающему храму на ее вершине.
Монах шел по дорожке то быстрее, то медленнее; он часто останавливался, чтобы отдохнуть и поесть сушеных фруктов, которые взял с собой. К храму он подошел незадолго до захода солнца. После нескольких дней поста и размышлений монах пустился в обратный путь по той же тропе. Он вышел на рассвете и опять спускался с неравномерной скоростью, неоднократно отдыхая по дороге. Средняя скорость спуска, конечно, превышала среднюю скорость подъема.
Докажите, что на тропе есть такая точка, которую монах во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.
Решить эту задачу очень просто, если нарисовать схему.
Путь монаха можно представить в виде графика в координатах время-высота. Когда вы наложите друг на друга обе траектории пути, вы увидите, что искомая точка действительно существует, причем только одна.
* У современного скульптора есть десять одинаковых статуй. Он настаивает, чтобы у каждой из четырех стен зала находилось по три статуи. Как же их разместить?
* Нарисуйте, не отрывая карандаша от бумаги, следующие рисунки:
* Как сложить квадратный кусок бумаги, чтобы получились стороны правильного шестиугольника?
При выполнении этой задачи нельзя использовать карандаш и линейку. Шестиугольник может располагаться в любой части квадрата.
Поиск шаблонов
Напомним хорошо известную историю про математика Карла Фридриха Гаусса. Когда Гаусс был школьником, ему и его одноклассникам задали задачу: найти сумму всех чисел от 1 до 100. Учитель, надеясь, что класс будет надолго занят, был немало удивлен, когда Гаусс уже через пять минут дал правильный ответ. Мальчик понял, что числа можно расположить парами, которые все в сумме будут давать сто. Например, 1+99=100, 2+98=100, 3+97=100. Поскольку всего имеется 49 таких пар, плюс 50 и 100, то сумма будет равняться 5050.
Многие задачи можно решить очень легко, если найти скрытый в них шаблон.
Для того чтобы найти такой шаблон, иногда необходимо отойти на некоторое расстояние и взглянуть на проблему со стороны. Посмотрите, нельзя ли найти простые пути решения для следующих задач:
* Сколько треугольников на этом рисунке?
* Семеро мужчин и два мальчика должны пересечь реку. Единственная лодка очень мала и может перевезти либо одного мужчину, либо двух мальчиков. Сколько раз лодка должна пересечь реку, чтобы перевезти всех?
* Крысу обучают проходить лабиринт таким образом, чтобы при каждом шаге приближаться к сыру. Сколько возможных путей есть в этом лабиринте?
* Разместите числа от 1 до 19 в 19 кружках таким образом, чтобы любые три числа, находящиеся на одной прямой, в сумме давали тридцать. Одна цифра должна быть в центре круга.
* Сколькими способами можно прочитать слово "радар" на приведенном ниже рисунке? Можно двигаться в любом направлении.
Рассуждения
- И задом наперед, совсем наоборот, - подхватил Траляля. - Если бы это было так, это бы еще ничего, а если бы ничего, оно бы так и было, но так как это не так, так оно и не этак! Такова логика вещей!
Льюис Кэрролл, математик и писатель
УПРАЖНЕНИЕ.
Большому Бену требуется тридцать секунд, чтобы пробить шесть часов. За сколько секунд Большой Бен пробьет двенадцать часов?
Иногда решение задачи кажется очевидным, но на самом деле это совсем не так. Ответ на приведенную выше задачу - шестьдесят шесть секунд. Когда Большой Бен бьет шесть часов, то от первого удара до последнего проходит пять интервалов. Интервал составляет шесть секунд (одну пятую часть от тридцати). Когда Большой Бен бьет двенадцать, то от первого удара до последнего проходит одиннадцать интервалов. Поскольку длина интервала равна шести секундам, то всего требуется одиннадцать раз по шесть секунд, или шестьдесят шесть секунд, чтобы пробить двенадцать.
Попробуйте свои силы в задачах на дедукцию - там, где нужно порассуждать.
* На трех жестяных банках с печеньем перепутаны этикетки "Овсяное печенье", "Шоколадное печенье" и "Миндальное печенье". Банки закрыты, так что вы не можете заглянуть внутрь. Вы можете взять только одно печенье из одной банки, а затем правильно расположить этикетки. Из какой банки нужно взять печенье?
* У фермера было 6 кусков цепи по 5 звеньев в каждом, из которых он хотел сделать одну замкнутую цепь, состоящую из 30 звеньев. Учитывая, что разрезать одно звено стоит 8 центов, а вновь соединить его - 18 центов, скажите, сколько денег может сэкономить фермер, если новую замкнутую цепь можно купить за полтора доллара?
* Полночь. Отключили электричество. В вашем комоде лежат двадцать два зеленых носка и тридцать пять фиолетовых. Сколько носков нужно взять, чтобы с гарантией получить совпадающую пару?
* В Курдистане стоимость денег определяется длиной серебряного бруска. Рабочему потребовалось пятнадцать дней, чтобы починить дом заказчика, причем в конце каждого дня он требовал по одному дюйму серебра. Хозяин дома, у которого был брусок серебра длиной пятнадцать дюймов, придумал гениальный способ заплатить, разрезав кусок только четыре раза. Как это сделать?
* Ваш эксцентричный дядя Джейк - нумизмат. У него есть двадцать четыре монеты, которые на первый взгляд ничем не отличаются, но только одна из них золотая, остальные сделаны из более тяжелого сплава. Он сажает вас перед аналитическими весами и говорит, что золотая монета - ваша, если вы сможете ее найти. Как найти более легкую монету?
* Вы идете по дороге в Типперери и доходите до развилки. Там вы встречаете двух человек. Вам известно, что один из них всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Но вы не знаете, кто именно лжец, а кто правдолюбец. Чтобы узнать дорогу, вы можете задать только один вопрос только одному человеку. Какой это должен быть вопрос?
Без предвзятости
УПРАЖНЕНИЕ.
Соедините девять точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая руки.
Пытаясь решить эту задачу, вы можете поставить себе несколько условий, которые ограничат область возможных решений. Одно из наиболее распространенных ограничений состоит в том, что линии нельзя продолжать за пределы воображаемого квадрата. Отбросьте это ограничение, и вы сможете решить задачу очень легко.
Отбросив следующие ограничения, вы сможете найти еще несколько вариантов решения:
Чтобы решить приведенные ниже задачи, нужно мыслить вне некоторых общепринятых допущений.
* Из шести спичек постройте четыре равносторонних треугольника. Спички нельзя ни гнуть, ни ломать.
* Сдвинув только одну из четырех спичек, сделайте квадрат. Спички нельзя ни гнуть, ни ломать.
* В монастыре висят две веревки из редкостного шелка. Вор-акробат хочет украсть как можно больше веревки. Веревки весят на расстоянии одного метра друг от друга и закреплены в середине потолка, высота которого составляет двадцать метров. Вор знает, что если он спрыгнет или упадет с высоты более пяти метров, то он не сможет выйти из монастыря. Поскольку стремянку принести невозможно, ему остается только лезть по веревке. После длительных размышлений он придумал, как украсть веревки почти на всю длину. Как это можно сделать?
По наитию
К загадкам, которые я очень люблю, я могу отнести те, где ответы возникают как озарение. Мартин Гарднер, математик и страстный любитель головоломок, называет такие загадки загадками типа "Ага!".
Попробуйте сделать несколько логических кульбитов.
* Джейн ехала в такси. По пути она так много болтала, что шофер занервничал. Он сказал Джейн, что очень сожалеет, но не слышит ни слова - поскольку его слуховой аппарат не работает, он глух как пробка. Джейн замолчала, но, когда доехала до места, поняла, что водитель над ней подшутил. Как она догадалась?
* Злой ростовщик предложил молодой женщине простить долг, если она согласится на простое пари. Ей нужно сунуть руку в мешок и достать один из двух камней. Если камень белый - долг будет прощен. Если черный - женщина должна выйти за него замуж. Но она заметила, что ростовщик положил в мешок два черных камня. Что она сделала?
* Фрэнк спал в каюте стоящего на якоре океанского лайнера. В полночь вода была на шесть футов ниже иллюминатора и поднималась на один метр в час. Считая, что эта скорость удваивается каждый час, скажите, за какое время вода достигнет иллюминатора?
* Две колеи рельсов идут параллельно, за исключением того места, где они проходят тоннель. Тоннель слишком узок, чтобы вместить две колеи, и по всей длине тоннеля дорога становится одноколейной. Однажды днем один поезд вошел в тоннель с южного конца, а другой - с северного. Оба состава шли в противоположных направлениях с предельной скоростью, но крушения не произошло. Почему?
* Разделите на бумаге число двенадцать на две равные части так, чтобы половина этого числа была семь.
* Женщину арестовали по обвинению в убийстве. Ее судили, признали виновной и приговорили к смерти. Тем не менее приговор так никогда и не сможет быть приведен в исполнение. Почему?
* 137 человек записались для участия в соревнованиях по теннису, проводимых по олимпийской системе. Для игр первого круга все игроки должны разбиться на пары, но, поскольку 137 - нечетное число, одному игроку не хватает партнера, и ему разрешается перейти в следующий круг без игры. Разбиение игроков на пары производится в каждом круге, и каждый раз один из игроков, оставшись без партнера, переводится в следующий круг. Сколько игр будет сыграно, прежде чем определится чемпион, если программа соревнований составлена с таким расчетом, чтобы свести число встреч до минимума?
* Женщина заходит в комнату и берет стакан воды. Выпив воду, она задерживает дыхание на полминуты. Краем глаза она видит, как в зеркале отражается некто, готовый нанести ей удар. Она визжит, человек опускает руку, и они смеются. Что произошло?
* Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?
* В магазине хозяйственных товаров покупатель спросил:
- Сколько стоит один?
- Двадцать центов, - ответил клерк.
- Сколько стоит двенадцать?
- Сорок центов.
- Хорошо, дайте мне девятьсот двенадцать.
- С вас причитается шестьдесят центов.
Что покупал посетитель?
* Предположим, что кто-нибудь предлагает вам заключить пари на следующих условиях: ваш партнер ставит 1 доллар и утверждает, что если вы дадите ему 5 долларов, то он даст вам сдачи 100 долларов. Выгодно ли заключать такое пари?
Полезные советы
Задачи - это полоса препятствий для интеллектуала. Они дают вам возможность испытать свое мастерство и прямо подталкивают вас к тому, чтобы быть всегда в форме. Ответьте на вызов!
СОВЕТ 1.
Прежде чем приняться за поиск решения, постарайтесь убедиться, что вы правильно поняли условие задачи. Спросите себя, в какой форме может существовать решение.
СОВЕТ 2.
Преобразуйте имеющуюся информацию в более приемлемую для вас форму. Постарайтесь упростить задачу, изложив ее своими словами. Разделите задачу на составные части.
СОВЕТ 3.
Обработайте информацию. Нарисуйте иллюстрации, сравните задачу с другими, проверьте допущения. Будьте готовы искать решения во всех направлениях. Говоря попросту, вам предстоит рыскать на ощупь в темноте.
Сформулировать задачу проще часто бывает намного существеннее, чем найти само решение.
Постановка новых вопросов, выявление новых возможностей, взгляд на старые проблемы под иным углом зрения - все это требует творческого воображения и дает огромные преимущества в науке.
Альберт Эйнштейн, физик
Игры ума. Давайте дурачиться
Игры и забавы
Интеллект - это способность смотреть на вещи с разных точек зрения
и при этом окончательно не рехнуться.
Дуглас Адамс, писатель
Однажды, когда режиссер Стивен Спилберг обдумывал декорации для своего фильма "Ближние контакты третьего рода", он почувствовал, что ему необходимо отдохнуть. Была поздняя ночь, однако это не помешало Спилбергу подняться на вершину Голливуд-Хилла, чтобы полюбоваться огнями Лос-Анджелеса. Внезапно, без всякой видимой причины, он сделал стойку на голове прямо на крыше своей машины и огляделся. То, что он увидел, послужило толчком для идеи оформления фильма - городской пейзаж с этой точки зрения выглядел как сияющее огнями днище летающей тарелки.
Очень часто новые идеи приходят к нам во время отдыха или игры. Возьмите за правило время от времени устраивать себе перерывы в работе. Лучшие идеи волшебным образом возникают именно тогда, когда вы менее всего этого ожидаете. Вот некоторые упражнения, которые способствуют развитию нетрадиционного стиля мышления.
Балансирование по краю стены
Забавный способ заставить свой ум работать в новом направлении заключается в том, чтобы задать себе вопрос: "А что если...", за которым следует описание некой гипотетической неожиданной ситуации или условия.
* А что если бы небо было всегда темным? Как бы тогда эволюционировало человечество? Может быть, мы воспринимали бы вместо зрительных образов ультразвуковые? Если так, то какими были бы эти образы? Могли бы мы видеть внутреннее строение горла, легких, желудка? А какая была бы мода? Возможно, большее значение имели бы отражательные свойства ткани, а не ее цвет? Если бы нашим основным органом был сонар - ультразвуковой локатор, то какую форму приняли бы книги? Как люди открыли бы существование облаков, атома, красного цвета?
* А что если время потечет вспять? Изменится ли от этого наше восприятие дурного и хорошего? Подумайте, ведь в этом случае пожарные окажутся плохими парнями, потому что они подъезжают к дому, поливают его водой, пока он не загорится, а затем "сматываются со страшной скоростью". И наоборот, поджигатель - хороший человек, ведь он подходит к огню, когда пожарные уезжают, и смотрит, как огонь становится все меньше и меньше, пока совсем не исчезнет в луже керосина. Затем поджигатель заточает огонь в спичечную головку и относит керосин на заправочную станцию, откуда его отправляют на нефтеперегонный завод.
* Что если бы мы могли концентрировать свое внимание дольше? Если бы могли сосредоточиться не на несколько минут, а на несколько часов, то, может быть, рекламные ролики стали бы гораздо длиннее? Не покажется ли тогда роман "Война и мир" слишком коротким? А как, по-вашему, общаться с занудами стало бы легче или еще утомительнее?
* Что если бы люди жили по шестьсот лет? В каком возрасте они заводили бы детей? Как это повлияло бы на работу страховых компаний и моргов? Больше или меньше было бы желающих прыгать с парашютом и заниматься прочими рискованными вещами? Были бы люди более заинтересованы в долгосрочном финансовом планировании?
* Что было бы, если полов было не два, а три? Как изменилась бы семья? Что происходило бы в барах и других излюбленных местах встреч? Изменилась бы дискриминация по признаку пола? Что носили бы представители третьего пола? Какой пол был бы наиболее могущественным?
* Что если бы юмор объявили вне закона? Какое правонарушение было бы более серьезным - плохой анекдот или хороший? А может быть, в таком случае люди вовсе потеряли бы чувство юмора? Или же появились бы подпольные школы, где людей учили бы шутить? А может быть, смех вообще стал бы казаться признаком патологии.
* Что если бы люди сами стали ощущать ту боль, которую они причиняют другим людям и животным? Были бы тогда войны? Или скачки? Как, по-вашему, может быть, большинство людей стали бы при таких обстоятельствах вегетарианцами? И рыбная ловля превратилась бы в пережиток прошлого? А каким способом тогда люди могли бы сбросить избыток агрессивности?
Другой способ заставить свой ум работать в новом направлении заключается в том, чтобы отчетливо представить себе, каково было бы испытать ощущения, которые вы никогда не испытывали и (вероятнее всего) не испытаете:
* Что если бы вы принадлежали к противоположному полу?
* А каково быть клеткой мозга?
* Молекулой ДНК?
* Протоном?
* Последней фразой в великом романе?
* Индийским океаном?
* Голубем, устраивающимся в сквере на ночлег?
* Ураганом?
* Сигаретой?
* Каково это - полюбить и утратить?
* Каково быть змеей, пожирающей свой хвост?
* Галлюциногенным наркотиком?
* Широким простором?
* Вечностью?
* Каково быть Богом?
Мысленные манипуляции
Ниже показана фигура, которая носит название "куб Некера".
Она была использована психологом XIX века, чтобы продемонстрировать, насколько наше восприятие находится под влиянием наших мыслей. Когда вы посмотрите на этот куб, вы можете увидеть его одним из двух способов - нижний левый квадрат является либо передним, либо задним. Если продолжать смотреть на куб, то он как бы вывернется наизнанку. Посмотрите на куб в течение некоторого времени и обратите внимание на то, как изменяется у вас восприятие перспективы.
Изучите куб Некера и проверьте, можете ли вы по своей воле менять его грани. Заставьте куб показаться вам сначала в одной перспективе, затем - в другой. Выворачивайте его вперед и назад. Когда вы достигнете определенного совершенства, представьте себе эту фигуру как плоский двухмерный рисунок, затем как куб слева, затем как куб справа. Если вы чувствуете в себе силы, постарайтесь представить себе этот куб слева и справа одновременно. Поверьте, вы испытаете истинное удовлетворение, когда окажетесь способными воспринять обе точки зрения одновременно. Скажите, что вам потребовалось сместить в своем мозге, чтобы достичь такого результата?
Лента Мебиуса
Математики полагают, что лента Мебиуса - односторонняя.
Однако какая забава, право, - разрезать ее и разъединить.
Аноним
Одна из наиболее изящных математических фигур - лента Мебиуса, кольцо с перегибом. Возьмите полоску бумаги и соедините ее концы, повернув на пол-оборота. Если вы разрежете ее вдоль средней линии, то получите одно кольцо вдвое длиннее исходного и с полным оборотом. Еще более удивительный результат получается, если разрезать ленту Мебиуса на три части. Начните резать на расстоянии одной трети ширины от края ленты и обойдите кольцо дважды. Вы получите сцепленные ленты, одна из которых будет иметь ту же длину, что и исходное кольцо, и ширину, равную одной трети ширины кольца, а другое будет в два раза длиннее, с двумя полными оборотами.
Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Лента конвейера, соединенная по этому принципу, изнашивается равномерно с обеих сторон, равно как и перекрученный таким образом приводной ремень.
Несравненный Ходжа Насреддин
У каждого народа есть персонаж, являющийся неиссякаемым источником необычного, парадоксального, алогичного. На Среднем Востоке очень популярны истории про Ходжу Насреддина. Это короткие анекдоты о человеке, который, по мнению обывателей, часто поступает очень глупо. На первый взгляд эти истории не имеют большого смысла, но если вы подумаете над ними, то наверняка уловите некий подтекст.
* Ходжа Насреддин нес домой только что купленный кусок печенки. В другой руке он держал рецепт пирога с печенкой, который дал ему приятель. Вдруг откуда ни возьмись налетел коршун и утащил печенку. "Ну и дурак, - крикнул ему вслед Насреддин. - Мясо я всегда достану, а рецепт-то остался у меня!"
* Ходжа Насреддин шел по улице в полночь. Стражник спросил его: "Что ты ходишь так поздно, почтеннейший?" Насреддин ответил: "У меня сон пропал, вот я и ищу его".
* Жена Насреддина ворвалась в его комнату и закричала: "Ходжа, твой осел пропал!" Насреддин спокойно взглянул на нее и ответил: "Слава Аллаху, что я не был на нем в тот момент, а то бы и я пропал".
* Монах сказал Насреддину: "Я так самоотвержен, что никогда не думаю о себе, а только о других". Насреддин ответил: "А я настолько непредвзят, что могу смотреть на себя как на другого человека. Так что приходится подумать и о себе".
* Когда деревенский судья был в отлучке, Насреддин исполнял его обязанности. Однажды в суд вбежал чужестранец и закричал: "На меня напали из засады и ограбили! Кто-то у самой деревни похитил мою одежду, мою саблю и даже мои сапоги. Вор где-то здесь, в деревне. Я требую правосудия!" Насреддин посмотрел на человека и сказал: "Я вижу, вор не украл твою исподнюю рубаху, не так ли?" Чужестранец, смущенный, ответил: "Нет, не украл". Ходжа Насреддин подумал с минуту, затем сказал: "В таком случае вор не из нашей деревни. Здесь все делают основательно. Ничем не могу тебе помочь".
Коан
В дзэн-буддизме очень ценится все, что показывает несостоятельность логики и ограниченность рационального мышления (равно как и других видов мышления). Дзэн часто определяют как духовное учение без священного писания, лежащее по ту сторону слов, учение, которое обращается непосредственно к духовной сущности человека и ведет к озарению. Одним из традиционных методов обучения по системе дзэна является "коан" - вопросы-загадки, которые наставники задают для того, чтобы привести ученика в особое состояние "всепонимания", или понимания без слов. Своей нелогичностью коан разрывает цепь привычных ассоциаций, выбивает ученика из обыденного ритма, нарушая движение его мысли по инерции.
* Человек шел через поле и встретил голодного тигра. В испуге он подбежал к обрыву, ухватился за лозу и повис - так, чтобы тигр не смог его достать. Дрожа, он взглянул вниз и увидел второго тигра, который также был готов сожрать его. Только лоза давала ему защиту. Тут две мыши - черная и белая - принялись малу-помалу перегрызать лозу. Глядя, как истончается гибкая ветвь, человек заметил крохотную земляничку. Одной рукой сжимая лозу, другой он сорвал ягоду и съел ее. Какой она оказалась сладкой!
* Два послушника смотрели на флаг, развевающийся на ветру, и обсуждали, что происходит. "Это флаг движется", - говорил один. "Нет, ты не прав, - возразил второй. - Это ветер движется". Учитель, услышав их спор, приблизился к ним и сказал: "Вы оба неправы. Движется ваша мысль".
* Знаменитый учитель дзэна вошел в город, неся на плече холщовый мешок. Два послушника, увидев, насколько прост этот человек, подошли к нему с вопросами. "В чем смысл дзэна?" - спросил один. Учитель резко опустил мешок на землю - это был его молчаливый ответ. "Тогда скажите, - спросил второй, - в чем состоит реализация дзэна?" Странник тут же поднял мешок на плечо и ушел.
Интересные мысли
Что есть разумное? Неважно.
А что важно? Немыслимое.
Т. Х. Кей, богослов
Записывайте высказывания, которые столкнут вас с наезженной колеи мышления, - это могут быть шутки, афоризмы, парадоксы, причудливые заявления, исходящие из совершенно разных источников. Ищите мысли, которые вызывают озарения, даже если вы не совсем понимаете, что это такое - озарение. Писатель-фантаст Станислав Лем обладает удивительным даром говорить, казалось бы, очевидные вещи с необычайным глубокомыслием. Вот некоторые из его высказываний:
* Иногда надо замолчать, чтобы вас услышали.
* Выход обычно там же, где и вход.
* Находясь на вершине, вы находитесь на краю бездны.
* Первое условие бессмертия есть смерть.
* Нередко темные окна являются ясным доказательством.
* Бывает и такое, что колокол раскачивает звонаря.
* Момент осознания недостаточности своего дарования есть первое озарение гения.
* За каждым углом вас ждет новое направление.
* Вопросительный знак - это усталый восклицательный.
* В пустом запечатанном конверте лежит тайна.
* Даже его невежество энциклопедично.
* Подумайте, прежде чем задумываться!
Удивительно просто
Найдите путь от пункта "Старт" до пункта "Финиш". Следуйте строго по направлению каждой стрелки, пока не достигнете следующей. Дойдя до двойной стрелки, можете идти в любом из двух возможных направлений.
Порочный круг
В этой книге нет ошибок кроме данного утверждения.
Редактор
Парадокс - это утверждение, которое само себе противоречит. Один из первых и, возможно, лучших парадоксов был записан Эвбулидом, греческим философом, жившим в VI веке до н. э. В этом парадоксе критянец Эпименид утверждает, что все критяне - лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Если он лжет, то он говорит правду. Так кто же Эпименид - лжец или нет?
Другой греческий философ Зенон Элейский составил серию парадоксов о бесконечности - так называемые "апории" Зенона. Одна из наиболее знаменитых - это апория "Дихотомия" (разделение на два). Смысл ее состоит примерно в следующем: если заяц должен пробежать одну милю, то он сначала должен пробежать половину расстояния, то есть половину мили, затем половину оставшегося расстояния, то есть четверть мили, затем половину оставшегося, то есть одну восьмую, и так далее до бесконечности. Заяц должен пробежать бесконечный ряд конечных расстояний. Поскольку бесконечная последовательность по определению не имеет конца, он так никогда и не преодолеет это расстояние.
То, что сказал Платон, есть ложь.
Сократ
Сократ говорит только правду.
Платон
Парадокс Рассела
Философ Бертран Рассел был известен своей нелюбовью к парадоксам. Он потратил довольно много усилий на то, чтобы разъяснять и развенчивать их. Мимоходом он сформулировал один парадокс, который теперь носит его имя. Он заключается примерно в следующем:
Класс есть собрание каких-то определенных вещей. Например, чайная ложка относится к классу чайных ложек. Но класс чайных ложек сам по себе не является чайной ложкой и, следовательно, не является, членом самого себя. Класс всех классов также есть класс. Значит, класс всех классов является членом самого себя. Класс чайных ложек относится к классу, который не является членом самого себя. Следовательно, существует класс таких классов, которые не являются членами самих себя. И тут возникает вопрос: является ли класс тех классов, которые не являются членами самих себя, членом самого себя? Если является, то он не обладает указанным свойством и не является членом самого себя. А если он не является членом самого себя, то он обладает указанным свойством и должен быть членом самого себя. Каждое предположение ведет к противоречию.
Рассел провел немало бессонных ночей, размышляя над своим парадоксом. Он написал: "Каждое утро я сижу над чистым листом бумаги. Весь день, с коротким перерывом на обед, я смотрю на него. Похоже, что вся моя жизнь так и пройдет перед пустым листом бумаги".
Можете ли вы четко выразить парадокс Рассела? Можете ли вы представить себе, какое значение имеет этот парадокс?
Спраутс
Математик Джон Конуэй изобрел очень простую игру, которая называется "спраутс" (побеги). Игровое поле представляет собой группу из 16 точек, расположенных квадратом: четыре на четыре. Два игрока ходят по очереди, соединяя точки между собой прямыми или кривыми линиями. На этой линии ставится новая точка. По правилам игры линии не могут пересекаться, и в точке может сходиться не более трех линий. Выигрывает тот, кто сделает последний ход.
В игре создается множество затейливых красивых узоров. Некоторые игроки рисуют короткие прямые черточки, другие - длинные волнистые линии. Одни предпочитают делать дальние ходы, другие - держаться поближе к исходной точке. Таким образом, игра "спраутс" может оказаться и эстетическим опытом, и полем боя двух интеллектов.
Го
"Го" - древняя игра, изобретенная в Китае более четырех тысяч лет назад. Правила "го" очень просты. На игровой доске, размером 19 на 19 клеток, два игрока по очереди перемещают черные и белые камешки, ставя их на пересечение линий. Целью игры является захват как можно большей территории и камней противника. Если, например, группа белых камней полностью окружена черными, то белые камни считаются "мертвыми" и удаляются с поля.
Научиться играть в "го" легко, гораздо труднее научиться играть хорошо. Для того чтобы преуспеть, нужно уметь мыслить зрительными образами. Понятия, которыми оперируют настоящие мастера, это: "живые группы", "мертвые группы", "жизненное пространство", "слабая позиция", "сильная позиция", "линии коммуникации" и "захват территории противника".
Игра в "го" требует вовлечения различных типов мышления, начиная от визуальной стратегии на начальных этапах игры и до логической тактики в стадии завершения. В XVII веке в Японии в "го" играли самураи, чтобы обучиться военному искусству. В наше время эта игра популярна не только в Японии, но и в Китае и Корее. Ее любят за красоту, за риск, за то, что она дает возможность проявить инициативу и требует умения приносить жертвы.
Полезные советы
Интеллектуальный атлет, без сомнения, знает, что юмор поднимает дух и освежает разум. Возьмите за правило время от времени играть роль Шута.
СОВЕТ 1.
Периодически смотрите на вещи вверх тормашками. Встаньте, согнитесь и поглядите между коленями. Вы не только увидите мир в новой перспективе, но и получите приток свежей крови к голове.
СОВЕТ 2.
Ищите идеи причудливые, необычные, поразительные, взятые с потолка, противоречащие здравому смыслу, глубокомысленные и забавные. Храните их в памяти и извлекайте тогда, когда они могут понадобиться.
СОВЕТ 3.
Если вы чувствуете, что на вас давят обстоятельства, если вы воспринимаете все чуть-чуть слишком серьезно, если ваша мысль движется по наезженной колее - передохните.
Есть вещи настолько серьезные, что остается только посмеяться над ними.
Нильс Бор, физик
Взгляд в прошлое. Память
Оглянись
Давайте вспомним кое-что.
Когда начнете вспоминать, обратите внимание на качество воспоминаний.
Насколько они живые и ясные?
Быстро ли проявляются?
Дайте время воспоминаниям полностью оформиться в вашем мозге.
Вспомните, когда вы в последний раз ходили плавать.
Вспомните имя и отчество вашей первой школьной учительницы.
Вспомните, о чем говорится во второй главе этой книги.
Вспомните название столицы Канады.
Вспомните запах чеснока.
Вспомните, почему небо голубое.
Вспомните, как прошел ваш двенадцатый день рождения.
Вспомните, когда ваша память срабатывала безотказно.
Вспомните, чему равен квадратный корень из шестнадцати.
Вспомните, во что вы были одеты вчера.
Вспомните форму дубового листа.
Вспомните свои самые ранние воспоминания.
Вспомните, когда вы начали выполнять это упражнение.
Время идет
Память - страж всему и сокровищница всего.
Цицерон, оратор
Одним из наиболее ранних воспоминаний детского психолога Жана Пиаже является история его похищения. Пиаже хорошо помнит, как на него напали двое мужчин и как потом няня несла его в машину. Няня отбила Жана от похитителей и доставила домой. В благодарность семья подарила отважной женщине золотые часы. Спустя двадцать пять лет няня призналась, что сама сочинила всю эту историю, чтобы получить вознаграждение. Но тем не менее Пиаже ясно помнил событие, которого на самом деле никогда не было.
Психологи считают, что воспоминания являются не записью происшедших событий, а их своеобразной реконструкцией. Поскольку Пиаже в детстве множество раз слышал историю о похищении, картина в его сознании стала такой живой, как если бы это событие действительно произошло.
Если вы попытаетесь вспомнить, как вы были в бассейне в последний раз, то скорее всего представите себя плывущим. Вы ощутите поддержку воды, брызги на лице. И все же в воображении вы переживаете все иначе, чем было на самом деле. Вы вспоминаете то, что сами себе рассказали.
Почему мы хорошо помним одно и забываем другое? Почему со временем одни воспоминания тускнеют, теряют свежесть, аромат, а другие остаются столь живыми, как если бы события произошли только вчера? Почему мы легко вспоминаем персонажей романа, прочитанного пять лет назад, и не можем вспомнить, как зовут нашего вчерашнего собеседника?
Анатомия памяти
Психологи утверждают, что существуют три определенные стадии запоминания. Посмотрите на следующий ряд букв:
П В Ц В З С И
Взгляните на буквы снова. И сразу же закройте глаза. Вы заметите, что форма букв оставляет след в памяти. Даже если этот след различим всего лишь мгновение - самое большее секунду, - он все же играет роль в процессе запоминания. Сразу же после того, как вы что-то увидели, услышали, почувствовали, имеет место хрупкое, кратковременное продолжение восприятия. Для зрительных образов оно имеет наименьшую длительность, для звуковых - несколько более продолжительно, для осязательных - может длиться несколько секунд. Это продолжение восприятия называется сенсорной регистрацией. Сенсорная регистрация обеспечивает непрерывность нашего восприятия - мир не исчезнет неожиданно, если мы вдруг моргнем.
Теперь посмотрите на буквы еще раз и затем попробуйте воспроизвести их в памяти, сначала повторяя звуки, а потом представляя себе форму букв. Когда вы делаете это, вы используете так называемую кратковременную память. Кратковременная память находится на "переднем крае" нашего сознания. В отличие от сенсорной регистрации, которая происходит бессознательно и невольно, кратковременная память фокусируется по вашему желанию.
Долговременная память, без сомнения, является самым главным компонентом всей системы памяти. Это долгосрочное хранилище информации, которое содержит конкретные воспоминания (вашу первую поездку на велосипеде, сведения о том, где вы живете, знание языка...) и различные абстрактные понятия, например систему жизненных ценностей. Без долговременной памяти мы постоянно балансировали бы на тонкой грани настоящего, как бы все время пробуждаясь ото сна.
Для того чтобы какая-то информация была зафиксирована в вашей памяти, она должна пройти все три стадии. Хотя некоторые данные автоматически переходят из кратковременной памяти в долговременную - например, события, имеющие большое значение или сильно эмоционально окрашенные, но в большинстве случаев этого не происходит. И чтобы улучшить память, нужно научиться передавать информацию из кратковременной памяти в долговременную.
Для того чтобы запомнить слова, имена, числа, перечень того, что нужно купить и сделать, необходимо закодировать эту информацию в кратковременной памяти. Это можно сделать разными способами. Чем основательнее вы размышляете о чем-либо, тем больше у вас появляется путей для последующего доступа к этой информации, тем больше образуется ассоциаций и тем легче оказывается вызвать данную информацию из памяти. Память становится более богатой, гибкой, быстродействующей, если снабдить ее шаблонами, зацепками, образами, ассоциациями.
Главное не в том, как достать, а в том, как положить.
Линда Периго Мур, писатель
Что самое важное?
Предполагать, что человек может помнить все - то же самое, что предполагать, что он может удержать в своем организме все то, что когда-то съел.
Артур Шопенгауэр, философ
Люди, как правило, склонны запоминать то, что им интересно. Поэтому модельер легко запоминает оттенки цветов, банкир наизусть знает курсы обмена валют, астроном с первого взгляда распознает очертания созвездий. В перечисленных случаях рассматриваемый предмет имеет для данного человека определенный смысл. Поскольку мы запоминаем информацию, имеющую для нас существенное значение, мы можем "расширить" рамки своей памяти, решив, что определенная информация действительно является важной. Естественно, мы обратим больше внимания на то, что важно для нас, и таким образом создадим стимул для запоминания.
Вы можете мне возразить, сказав, что мы не можем знать заранее, что окажется важным и поэтому заслуживает внимания, а что нет. Да, это так, но все же иногда мы способны адекватно судить о том, какая информация может пригодиться нам в будущем. Вот три приема, которые помогут вам решить этот вопрос:
* СПРОСИТЕ СЕБЯ: "Что произойдет, если я этого не запомню? Имеет ли это какое-либо значение?" Если нет - то не стоит и запоминать.
* СПРОСИТЕ СЕБЯ: "Как скоро у меня может возникнуть необходимость в этой информации?" Если окажется, что она понадобится вам в ближайшее время, то у вас будет дополнительный стимул для запоминания.
* СПРОСИТЕ СЕБЯ: "Что еще зависит от того, запомню я эту информацию или нет? Истинная ценность объекта определяется относительно ценности других объектов".
Для решения вопроса о том, стоит ли запоминать какую-то информацию, определите ее значение. Если вы считаете, что информация действительно важна для вас и для других людей, если знание ее может сыграть большую роль в самое ближайшее время, то эта информация должна стоять первой в списке приоритетов. Если вы даете информации высокий приоритет, то тем самым вы поощряете себя к запоминанию.
Для того чтобы память была в хорошей форме, полезно тренировать свое внимание. Например, в следующий раз, когда вы будете убирать ключи от дома или от машины, не просто бездумно бросьте их куда попало, а положите их во вполне определенное место. Если вы кладете ключи на стол, то осмотрите его. Спросите себя, светлая или темная поверхность у стола. Гладкая или шершавая? Посмотрите на ключи. Как они легли - веером или стопкой? А кольцо - лежит ли оно на поверхности стола или расположено под углом к ней? Прикоснитесь к ключам и к столу. Каковы они на ощупь? Включите все свои чувства. Ощущаете ли вы запах? Окружающий воздух - сухой или влажный? Вы не можете предсказать, какой намек впоследствии включит аппарат воспоминания. Первое время, для того чтобы составить полное впечатление, вам может потребоваться не один десяток секунд. Позднее это будет занимать лишь мгновение.
Аналогично, когда вы в следующий раз будете с кем-нибудь разговаривать, обращайте самое пристальное внимание буквально на все. Самая распространенная причина того, что мы забываем, о чем нам говорили, заключается в том, что мы на самом деле не слушаем. Либо наши мысли где-то витают, либо мы сосредоточиваемся только на том, что хотим сказать сами. Быть хорошим слушателем - значит сосредоточить все свое внимание на том, что говорит собеседник. Помните высказывание: "Самая лучшая беседа та, во время которой вы сосредоточиваетесь на смысле разговора, а не на словах".
Запоминание имени человека требует тех же навыков, что и запоминание того, куда вы положили тот или иной предмет, или запоминание сказанного. Если вы встретили человека, имя которого хотите запомнить, обратите на этого человека самое пристальное внимание, воспринимайте его всеми органами чувств. Прислушайтесь к звуку его имени. Звучит ли оно твердо, как Дик или Грег? Или мягко и нежно, как Мишель? Может быть, оно длинное и растянутое, как Дженнифер? Или короткое и компактное - Тим? Когда вы впервые произносите имя человека, говоря: "Привет, Фрэнк!" или "Тебя зовут Корнелл?", прочувствуйте на языке звук этого имени.
Спросите себя, подходит ли имя его обладателю? Чтобы решить этот вопрос, приглядитесь к человеку. Производит ли он (она) впечатление сильного и крепкого человека, а быть может, напротив, - слабого и хрупкого? Жесткого или мягкого? Какое у этого человека телосложение? Какие у него волосы, глаза, кожа? Прислушайтесь к звукам его голоса так же, как к его имени. Когда вы пожимаете друг другу руки, прочувствуйте его рукопожатие, фактуру ладони.
Обратите внимание на запах духов или лосьона.
Установите связь между собственным восприятием человека и звучанием его имени. Не кажется ли вам, что Тим - это высокий и лысый мужчина с мягким, лирическим голосом и твердым рукопожатием, а Крис - это низенькая черноволосая женщина с круглым лицом?
СОВЕТ.
Если вы хотите запомнить кого-то, обратите на него внимание.
Зацепки
- Этой ужасной минуты я не забуду никогда в жизни, - сказал Король.
- Забудешь, - заметила Королева, - если не запишешь в записную книжку.
Льюис Кэрролл, математик и писатель
Можете ли вы вспомнить буквы, которые видели несколько страниц назад? Если вы пытались запомнить буквы механически, то сейчас скорее всего вы их уже не вспомните. Однако если вы попытались найти зацепку, шаблон, значение, постарались произнести буквы вслух, то, возможно, сообразили, что эту последовательность можно закодировать какой-нибудь фразой, например: "Паяц в цирке веселит зрителей смешными историями". В этом случае для вас не составит труда вспомнить буквы.
В 1968 году психолог Александр Лурия исследовал удивительную память одного русского журналиста, фигурировавшего в его записках как "С.". С помощью воображения и ассоциаций С. мог легко запоминать длиннейшие списки имен и чисел. Для того чтобы запомнить, например, список продуктов, он представлял, что идет по улице Горького и помещает каждый продукт из списка в определенное место на пути. Яйца он мог положить под фонарем, бутылку молока - в фонтане, 300 граммов масла - на дереве. Когда ему надо было вспомнить список, он как бы медленно шел по улице, осматривался и подбирал предметы, которые видел. Он совершал ошибки только тогда, когда умудрялся положить что-либо в трудноразличимое место - яйца на фоне белой стены или конфеты в тени дома.
Эта техника запоминания имеет название "лоци", она использовалась еще ораторами Древней Греции. Следуя данной методике, необходимо тщательно, вплоть до мелочей, запомнить окружение. Это может быть ваша улица, дорога на работу, кухня, спальня. Затем вы помещаете тот объект, который хотите запомнить, в определенное место. Если вам нужно запомнить список продуктов, включающий молоко, яйца, мясо, артишоки, то вы можете мысленно разложить эти предметы по одному - пакет молока в кровать, коробку яиц на шкаф, артишоки у телефона и так далее. Пусть эти предметы будут большими и заметными. Чем более нелепо выглядит картина, тем лучше вы ее запомните.
<< Пред. стр. 5 (из 9) След. >>
Список литературы по разделу