<< Пред.           стр. 4 (из 4)           След. >>

Список литературы по разделу

 Коэффициент полного сопротивления (см. формулу (1.29)) равен:
 .
 Подставляя значение Rx, получаем
 .
  Сравнение с экспериментом показало, что в последней формуле лучше взять коэффициент не 0.072, а 0.074, т.е.
  .
 Сравнение коэффициентов полного сопротивления при турбулентном и ламинарного пограничных слоях показывает, что при одинаковых числах Re коэффициент полного сопротивления при турбулентном погранслое намного больше, чем при ламинарном (Сft>Cfл ).
 Например, при Re=106 ; , т.е. .
 Отсюда следует важный практический вывод: для уменьшения сопротивления трения обтекаемого тела необходимо добиться увеличения участка ламинарного пограничного слоя (рис. 12) и уменьшения участка турбулентного, т.е. необходимо затягивать как можно дальше ламинарное обтекание профиля{8].
 
  Связь между коэффициентом сопротивления трения при турбулентном погранслое и общим коэффициентом сопротивления трения обтекаемого тела Cf можно выразить как , откуда .
 Это выражение можно записать по другому:
 , где .
 Толщина ламинарного пограничного слоя или
 .
 Отсюда .
 Величина хкр, а следовательно и ?л кр определяется из выражения для числа , которое является известным.
 
 2) Логарифмический профиль скоростей для турбулентного пограничного слоя, полученный по аналогии с турбулентным движением в трубе имеет вид.
 .
 Закон сопротивления, соответствующий логарифмическому профилю скоростей, довольно сложен. Коэффициент местного сопротивления трения в данном случае выражается зависимостью:
 .
 Коэффициент полного сопротивления трения:
 , где .
 
 
 
 2.7. Математическое моделирование обтекания турбулентным потоком
 профиля произвольной формы
  Отсутствие строгих теоретических основ турбулентного движения привело к появлению значительного количества полуэмпирических методов расчета турбулентного пограничного слоя на профиле. Изложим так называемый однопараметрический метод расчета[3]. Он выгодно отличается своей простотой и глубокой связью с методом такого же расчета ламинарного пограничного слоя.
  В турбулентном погранслое так же, как и в ламинарном, вводится формпараметр. Уравнение импульсов здесь имеет такой же вид, как и для ламинарного пограничного слоя. Допуская, что кривые зависимостей H(f) и ?(f) подобны в ламинарном и турбулентном пограничных слоях, получим простое решение задачи.
  В отличие от ламинарного слоя, в котором формпараметр f и параметр ? имели вид:
 
 где ,
 для турбулентного пограничного слоя в целях большей независимости решения от числа Re вводится более общий вид указанных величин:
 
 где G(Re**) - некоторая функция от Re**, вид которой будет получен далее.
  Выразим уравнение импульсов (1.26) через f и ? следующим образом:
 , где .
 Умножив это уравнение на G(Re**), получим:
 . (2.39)
 Преобразуем первое слагаемое, представив его через производную от произведения G(Re**)??**.Тогда:
 
 
 
 .
 Введем величину, , по своей структуре слабо зависящую от Re**, и перепишем предыдущее уравнение в виде:
 ,
 или .
 Найдем отсюда член
 
 и подставим его в уравнение импульсов (2.39). Тогда
 .
 Отсюда
 или
 . (2.40)
 Раскрывая производную в левой части, получим:
 
 .
 Подставляя это выражение в уравнение (2.40), получим:
 
 или
 где (2.41)
 Это уравнение ничем не отличается от своего ламинарного аналога (дифференциального уравнения формпараметра (1.31)), которое являлось основным для расчета ламинарного пограничного слоя на крыловом профиле произвольной формы. Различие заключается лишь в виде функциональной зависимости F(f). Если в выражении (2.41) для турбулентного погранслоя положить m=1, то оно совпадает с выражением для F(f) ламинарного пограничного слоя (см. уравнение (1.30)).
  Величина G(Re**) принимается обратно пропорциональной местному коэффициенту сопротивления трения пластины, для которой , и, следовательно, значение формпараметра
 .
 Из формулы найдем
 .
 Таким образом, можно принять.
 При этом видно, что численное значение коэффициента пропорциональности здесь несущественно, т.к. изменение этого коэффициента вызовет изменение G(Re**), а следовательно ? и f, но не повлияет на функцию m, определяющую вид F(f). Следовательно, можно воспользоваться любым эмпирическим законом сопротивления для турбулентного слоя на пластине. Из многих опытов с длинными пластинами Фолкнер получил чисто эмпирический закон сопротивления в виде:
  .
 Воспользовавшись этим законом, получим:
 .
 Следовательно, формпараметр f и параметр ? будут иметь вид:
 ,
 .
 Функция m при выбранном G(Re**) равна:
 .
 Это соотношение получается следующим образом: из формулы очевидно, что
 .
 Тогда , и функция
 .
 Линеаризуем функцию F(f), положив, как и для пластины, и (из опытных данных).
  Принимая эти значения ? и H, найдем для F(f) линейное представление F(f)=a-bf, аналогичное представлению функции F(f) для ламинарного погранслоя, но с другими величинами постоянных a и b, равными для турбулентного погранслоя a=7/6 и b=4.7?4.8.
  Тогда уравнение импульсов для турбулентного погранслоя (2.41) можно представить в виде:
  ,
 не отличающемуся по виду от соответствующего уравнения для ламинарного пограничного слоя и имеющего лишь другие численные значения для коэффициентов a и b.
  Решением этого линейного дифференциального уравнения первого порядка является интеграл (решение в виде простой квадратуры):
 .
 Если турбулентный погранслой возникает с начальной точки профиля т.е. ламинарный участок отсутствует, то С=0 (так как при х=0, ??=0) и
 .
 Так как в числитель и знаменатель в правой части равенства входит скорость, то , следовательно, начальная точка (х=0), в которой скорость равна нулю, есть особая точка. Раскрывая неопределенность, получим
 .
 Покажем это. Раскрытие неопределенности вида осуществляем по правилу Лопиталя, которое гласит, что для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно малых при X?а, можно рассматривать отношение их производных . Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к этому же пределу стремится и отношение .
  Согласно правилу Лопиталя:
  .
 Пои наличии участка ламинарного пограничного слоя в интервале абсцисс (0  .
 Здесь индексом "кр" обозначены соответствующие величины в точке перехода ламинарного погранслоя в турбулентный. Значение формпараметра
 .
 Приняв , получим окончательное выражение для формпараметра f(x) при наличии ламинарного участка:
 
 Согласно принятому условию смыкания ламинарного и турбулентного пограничных слоев, величина в точке перехода должна быть рассчитана по теории ламинарного пограничного слоя. Пользуясь последней формулой, определяют f(x), после чего можно найти Re** по формуле
 ,
 а затем
 .
 Для проверки: .
 Зная Re**, можно найти , после чего, учитывая, что в принятом приближении ?=1, найдем напряжение трения на стенке из формулы:
 .
 При ?=1
 И, наконец, находим местный коэффициент трения Сf,x из соотношения
 
 аналогичного формуле для пластины, но при Re**, рассчитанном для заданного распределения скорости внешнего потока . Определив таким образом ?w или Сf,x в функции от x и просуммировав по поверхности крыла проекции элементарных сил трения ?wdx на направление набегающего потока, определим полное сопротивление трения крыла.
  Может представить интерес определение толщины вытеснения ?*. В принятом приближении эта величина равна:
 .
  Таким образом, все параметры потока, в том числе полное сопротивление трения, могут быть определены. Надо подчеркнуть, что изложенный выше эмпирический подход, во многом опирающийся на аналогию с задачей о турбулентном пограничном слое на пластине, т.е. на случай постоянства скорости на внешней границе пограничного слоя, при своей простоте не уступает по точности результатов расчета другим, более совершенным методам.
 Так как при безотрывном обтекании профиля сопротивление будет определяться почти полностью трением, то, очевидно, в этом случае для уменьшения сопротивления необходимо увеличивать участок ламинарного пограничного слоя. Иначе обстоит дало с плохо обтекаемыми телами, для которых характерно отрывное обтекание. Отрыв турбулентного погранслоя происходит позже, чем ламинарного, затягивание точки отрыва турбулентного слоя существенно влияет на уменьшение величины полного сопротивления плохо обтекаемых тел (таких, как шар или поперечно обтекаемый цилиндр), поскольку при отрыве потока сопротивление возрастает.
 
 На рис. 13 показана кривая коэффициента сопротивления шара в зависимости от числа Re набегающего потока. Видно, что при достижении критического числа Рейнольдса (Reкр) происходит падение коэффициента сопротивления. Это явление называется кризисом обтекания плохо обтекаемых тел, сущность которого состоит в следующем.
 Сопротивление плохо обтекаемых тел определяется прежде всего сопротивлением давления, которое зависит от величины области отрыва, а именно, чем больше область отрыва, т.е. чем раньше отрывается поток, тем больше сопротивление. При докритических числах Рейнольдса отрывается ламинарный слой и точка отрыва в этом случае расположена пол углом ? ? 80°. При увеличении числа Re до критического, т.е. при Re=Reкр точка перехода ламинарного погранслоя в турбулентный совпадает с точкой отрыва. Таким образом, при значениях Re?Reкр отрывается уже не ламинарный пограничный слой, а турбулентный. При этом точка отрыва расположена при ? ?110?-120?. Причиной такого затянутого отрыва турбулентного пограничного слоя по сравнению с ламинарным является то обстоятельство, что наличие турбулентных пульсаций приводит к более интенсивному обмену энергией между пограничным слоем и внешним потоком, в результате чего кинетическая энергия частиц жидкости в пограничном слое увеличивается. Причина отмеченного явления резкого уменьшения сопротивления шара видна из кривых распределения давлений по его поверхности (см.рис.14).
 
 
 
 
 S - точка отрыва потока
 Т - точка перехода ламинарного погранслоя в турбулентный
 1. Ламинарный отрыв:
 
 Сх=0,47
 2. Турбулентный отрыв
 Re=4,2?105; Cx=0,14
 3. Идеальное распределение давлений При значениях Re?Reкр (Reкр?2?105)наблюдается резкое возрастание максимального разрежения и смещение вниз по потоку точек отрыва пограничного слоя S, что свидетельствует об улучшении обтекания шара. Наличие при турбулентном обтекании более обширных и глубоких зон разряжения объясняет уменьшение коэффициента сопротивления, так как при более полном охвате поверхности шара потоком, распределение давлений приближается к тому идеальному, при котором, согласно парадоксу Даламбера, сопротивление давления должно равняться нулю. Таким образом, величина области отрыва меньше при числах Re?Reкр. Этим и объясняется резкое уменьшение сопротивления плохо обтекаемого тела при достижении или превышении критического значения числа Рейнольдса. Величина Reкр сильно зависит от степени турбулентности набегающего потока, причем большей степени турбулентности соответствует меньшее значение Reкр. Кризис обтекания можно вызвать искусственно и при докритических числах Re, если искусственно турбулизировать пограничный слой.
  Таким образом, для уменьшения сопротивления плохо обтекаемых тел надо уменьшать величину ламинарного участка с тем, чтобы отрывался турбулентный слой, (точка отрыва у которого расположена далее по потоку).
 
 
  2.8 Профильное сопротивление
  Расчет турбулентного пограничного слоя лежит в основе определения сопротивления тела при его движении в вязкой жидкости. Полное сопротивление (его называют еще лобовым) складывается из профильного сопротивления и индуктивного сопротивления. Индуктивное сопротивление обусловлено конечностью размаха тела (неплоским характером обтекания), вследствие чего местная подъемная сила может давать отличную от нуля проекцию на направление общего набегающего потока.
  Профильное сопротивление состоит из сопротивления трения и сопротивления давления. Сопротивление трения определяется как проекция на направление движения главного вектора касательных сил, приложенных со стороны жидкости к поверхности тела, а сопротивление давления - соответственно аналогичной проекцией главного вектора нормальных сил. Во многих случаях даже при безотрывном обтекании сопротивление трения не составляет основную часть профильного сопротивления. Поэтому во многих задачах при безотрывном обтекании необходимо знать профильное сопротивление, т.е. сопротивление трения плюс сопротивление давления.
  Рассмотрим чуть подробнее вторую составляющую профильного сопротивления. Согласно общему для ламинарного и турбулентного пограничных слоев представлению, вне области пограничного слоя поток может рассматриваться как движущаяся безвихревым образом идеальная, т.е. лишенная вязкого трения, жидкость. При достаточной тонкости погранслоя и известном его свойстве передавать без изменения по сечениям слоя на поверхность тела давление внешнего (по отношению к пограничному слою) потока - главный вектор нормальных сил, согласно парадоксу Даламбера, должен быть равен нулю, а следовательно, и сопротивление давления не должно отличаться от нуля. Это было бы близко к действительности, если бы пограничный слой не возмущал внешний безвихревой поток. На самом же деле линии тока вследствие подтормаживающего влияния стенки оттесняются от поверхности тела на величину ?* , называемую толщиной вытеснения и равную смещению действительной линии тока относительно линии тока безвихревого обтекания тела идеальной жидкостью на внешней границе пограничного слоя. На поверхности обтекаемого тела (у=0) смещение линии тока исчезает, у обоих сравниваемых потоков (действительного и идеального) общая нулевая линия тока совпадает с поверхностью тела. При удалении от поверхности врыла смещения действительных линий тока по отношению к идеальным возрастают, и на границе пограничного слоя ( у=?) эта величина смещения достигает своего максимального значения.
  Такое искажение картины течения приводит к нарушению идеального распределения давлений по поверхности тела. Таким образом, пограничный слой не только управляется внешним потоком, но и оказывает на него обратное влияние, которое проявляется особенно сильно на тех участках пограничного слоя, где слой наиболее толст, например, вблизи точки отрыва или в конце тела.
  Как показывают опыты, сопротивление давления хорошо обтекаемого крылового профиля при наличии на его поверхности полностью ламинарного или полностью турбулентного пограничного слоя убывает с ростом числа Re, т.к. при этом толщина погранслоя уменьшается и внешний поток приближается к безвихревому обтеканию профиля идеальной жидкостью.
  Выражение коэффициента профильного сопротивления Схр крылового профиля в безграничном плоском потоке жидкости через толщину потери импульса на бесконечности имеет вид [9];
 ; (2.42)
 где b -хорда крылового профиля; Rx - профильное сопротивление.
 Эта формула непосредственно не может быть использована ввиду невозможности определения толщины потери импульса на бесконечности за обтекаемым телом. Поэтому выведем приближенную связь этой величины с толщиной потери импульса на задней кромке крылового профиля, допускающей простое теоретическое и непосредственное экспериментальное определение.
 Для установления указанной связи применим к следу за обтекаемым телом интегральное соотношение пограничного слоя. Так как в следе ?w =0 ввиду отсутствия стенки, то интегральное соотношение Кармана для нашего случая примет вид:
 .
  Делим это уравнение на ?** и интегрируем его по х вдоль следа от задней кромки (индекс "к") до бесконечно удаленного сечения вниз по потоку (индекс "?"), получаем:
  .
 Для вычисления последнего интеграла необходимо знать зависимость от "Х" в следе. Ряд исследований показал, что H(x) зависит от формы профиля и его обтекания. Наиболее простой является линейная зависимость Н от х, для которой
 .
  После подстановки найденного значения в интеграл последнее уравнение будет иметь вид:
  или .
 Освобождаясь от логарифмов, запишем .
 Подставляя полученное выражение в формулу (2.42), получим:
 . (2.43)
 Так как на бесконечности за телом поле скоростей будет выравниваться, можно считать, что будет всегда малой величиной, и, пренебрегая в достаточном удалении от задней кромки крыла второй степенью малой добавки , найдем:
 .
 Так как , то разделив на , получим
 .
 Подставив эти выражения в формулу для , получим
 .
 Таким образом и тогда Н?=1. Значение Нк на задней кромке меняется от 1.3-1.4 для продольно обтекаемой пластины и 1.8 - 2.0 - для толстых профилей. Обычно берут Нк=1.4 и тогда формула (2.43) для коэффициента профильного сопротивления будет иметь окончательный вид:
 .
 Эта известная формула Сквайра и Юнга, дающая хорошее совпадение расчетов с опытными материалами для широкого класса обтекаемых профилей.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
 1. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя. M.: Наука, 1969. 742 с.
 2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика сплошных сред. М.: Госиздат технико-теоретической литературы, 1954. 795 с.
 3. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987. 840с.
 4. Седов Л.И., Механика сплошной среды. Т.I,II. М.: Наука, 1984.
 5. Шлихтинг Г., Возникновение турбулентности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 302 с.
 6. Бай Ши-И. Турбулентное течение жидкостей и газов. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 344 с.
 7. Дж. Дейли, Харлеман. Механика жидкости. М.: Энергия, 1971. 400с.
 8. Шахов В.Г., Основы теории пограничного слоя. Учеб. пособие. Куйбышев: КуАИ, 1989. 128 с.
 9. Повх И.Л., Техническая гидромеханика. Л.: Машиностроение,1976. 502с.
 10. Брэдшоу П., Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974, 278с.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Содержание
 
 ВВЕДЕНИЕ 1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИКОСТИ....................................
 1.1. Понятие о пограничном слое............................................................
 1.2. Ламинарный и пограничный слой в несжимаемой жидкости........
 1.3. Математическая модель движения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое........................................................
 1.4. Интегральные соотношения для ламинарного пограничного слоя....................................................................................................
 1.5. Математическое моделирование обтекания ламинарным потоком профиля произвольной формы.........................................
 1.6. Математическое моделирование ламинарного течения несжимаемой жидкости в трубах.....................................................
  2. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.............................
 2.1. Переход ламинарного течения в турбулентное..................................
 2.2. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости.............
 2.3. Математическая модель осредненного турбулентного движения ...
 2.4. Двухслойная схема пристенной турбулентности................................
 2.5. Математическое моделирование турбулентного течения несжимаемой жидкости в трубах..........................................................
 2.6. Математическая модель турбулентного пограничного слоя на пластине...................................................................................................
 2.7. Математическое моделирование обтекания турбулентным потоком профиля произвольной формы.............................................
 2.8. Профильное сопротивление.................................................................
  БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................
 
 
 
 
 
 
  ИГОРЬ СТЕПАНОВИЧ ЗАГУЗОВ,
  КОНСТАНТИН АНАТОЛЬЕВИЧ ПОЛЯКОВ
  Математическое моделирование течений вязкой жидкости
  вблизи твердых поверхностей
 
 
 
 
  УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
 
 
 
 
  Редакторы - Н.А. Волынкина
  Компьютерная верстка, макет - И.С. Колышева
  Корректор - Н.В. Голубева
 
 
 
 
 
 
 
 Подписано в печать Формат 60х84 1/16.
 Бумага белая тонкая. Печать оперативная.
 Объем печ. л., уч. - изд. л. Тираж 150 экз. С.
 Заказ №
 Издательство "Самарский университет", 443011, г. Самара, ул. акад. Павлова 1.
 МАО ПО "Сам Вен", 443099, г. Самара, ул. Венцека, 60
 
 ??
 
 ??
 
 ??
 
 ??