8.2. Состав населения и показатели его движения
В фиксированный момент времени t состав населения некотрой замкнутой территории характеризует распределение его общей численности по выделенным группам. При этом в одну группу объединяют индивидуумов, обладающих какими-либо общими признаками. Например, в исследованиях закономерностей динамики половозрастного состава населения, его естественного движения в качестве таких признаков обычно выделяют пол и возраст человека, которые в значительной степени определяют особенности процессов рождаемости и смертности. Обозначим через хтк(1:) число лиц к-го пола, находящихся в момент t в возрасте от (т тАФ 1)т до mt лет, т.е. тех, кому на рассматриваемый момент времени уже исполнилось mt лет и еще не исполнилось mt лет, где т тАФ порядковый номер группы; b тАФ длина интервала, выраженная в годах. Пусть m принимает целые значения: m = I, 2, М; к = 1 соответствует мужчинам, а к = 2 тАФ женщинам. Тогда общая численность населения в момент t, т.е. x(t), окажется разбитой на группы с численностями XmK(t) так, что каждый человек может входить только в одну группу, определенную его полом и возрастом. Общее количество групп определяется числом возможных сочетаний тк.
В соответствии с этим общую численность населения территории можно определить путем суммирования численностей половозрастных групп:
Если т равен одному году, совокупность xmк(t) имеет вид одногодичных половозрастных групп населения. Если т = 5 годам, данная совокупность распределяет мужчин и женщин по пятилетним возрастным группам, где в первую возрастную группу входят лица в возрасте 0тАФ4 года, во вторую тАФ 5тАФ 9 лет и т.д. В последнюю возрастную группу m входят лица старше какого-либо определенного возраста, например 100 лет.
В исследованиях социального движения группы образуются на основе выделения одного или нескольких социальных признаков. Примерами таких признаков являются регион проживания, уровень образования, место работы (отрасль), профессия и т.п. Присвоим каждому социальному признаку свой номер F = 1, а каждый уровень r-го социального признака соответственно обозначим Nr = 1, Nr. В социальную группу п включим лиц, обладающих на рассматриваемый момент времени набором значении социальных признаков n1,n2...nr, который выразим в виде вектора n = (n1,n2,...,nr). Общее количество различных векторов социальных признаков, определяющее, количество различных социальных групп, составит
Обозначим численность n-й группы населения в момент t через -1, N. Поскольку каждый человек может входить только в одну социальную группу, то для обшей численности населения имеет место равенство:
Если r =1 совокупность численностей групп xn(t) образует одномерную группировку населения согласно значениям n1 = 1,N. Если г принимает какие- либо два значения, например 1 и 2, xn(t) образует двумерную группировку, и т. д. Например, если r =1 является признаком региона проживания, совокупность численностей xn(t) характеризует распределение населения по регионам проживания. Если r2 = 2 признак образования, при n = (n1,n2) совокупность xn(t) характеризует распределение населения по регионам проживания и уровню образования.
Если в основу группировки положить одновременно и социальные, и половозрастные признаки, то сформированные на их основе группы населения называют социально-половозрастными. Обозначим численность такой группы в момент t как Xmkn(t) Очевидно, что общее число таких групп равно
R x M x N.
В этом случае общая численность населения равна сумме численностей всех социально-половозрастных групп:
Для описания процесса изменения численностей групп, который происходит в результате межгрупповых переходов индивидуумов, в демографии используются определенные показатели. Особенности естественного движения характеризуют показатели долгожития, рождаемости и смертности, которые часто называют ВлвероятностямиВ», хотя этот термин и не совеем удачно выражает их содержание. По сути и способу оценки данные показатели выражают ВлчастостьВ» соответствующего демографического события. Так, вероятность дожития до момента для населения образованной на момент t mk-й половозрастной группы определяется как отношение числа членов этой группы, доживших до этого момента, к численности группы на момент t:
где Zm,m+1,k тАФ число членов m-й возрастной группы, доживших
момента t+ri т. е. перешедших в следующую (т+1) возрастную группу.
Часто вместо двух вероятностей родить bm1, и bm2: рассматривают одну 
в этом случае для разделения новорожденных по полу используют коэффициент О равный доле девочек среди новорожденных. Тогда
На практике данные показатели в каждом конкретном регионе обычно оцениваются по другой методике, поскольку население меняется в интервале (t,t+l) не только под действием смертности и рождаемости, но и миграции. В связи с этим трудно проследить изменения конкретной совокупности людей, включенных в тк-ю группу на момент t, в течение рассматриваемого интервала. Поэтому вместо вероятностей используют другие измерители интенсивности тАФ коэффициенты соответствующих событий. Коэффициент смертности, например, рассчитывается как соотношение числа умерших к средней численности группы, которая, в свою очередь, на практике может бытьоценена как сумма ее численностей на начало и конец периода, деленная на 2,
т. е 
Таким образом, коэффициент измеряет интенсивность процесса в среднем за интервал
Для построения моделей воспроизводства населения удобнее использовать показатели движения населения, определяемые как ВлвероятностиВ», поэтому в дальнейшем используются только эти характеристики. Коэффициенты соответствующих событий можно интерпретировать как оценки этих вероятностей.
Аналогичным образом определяется вероятность социального перехода из группы r в группу n в интервале как отношение числа членов группы t, совершивших межгрупповой переход, к численности группы в начале периода:
Поскольку при рассмотрении социального движения в чистом виде население совершает переходы только в рамках выделенной системы групп, а смертность и миграция здесь не учитываются, то данные параметры удовлетворяют следующему соотношению:
Аналогичным образом можно определить систему показателей естественного движения в интервале (t,t+l), когда эти процессы рассматриваются одновременно, т. е. каждый индивидуум за данный интервал времени может либо умереть, либо перейти в следующую возрастную группу, либо у него может родиться ребенок. Интенсивность таких переходов по всей совокупности социально-половозрастных групп населения выражает следующая система показателей:
вероятность умереть для индивидуума, входящего на момент t в социально-половозрастную группу гmк:
тАв обратная ей вероятность дожить до момента t+1:
тАв вероятность для женщины, входившей на момент t в rm-ю социальноВнвозрастную группу, родить ребенка к-го пола, вошедшего на момент (t+1) в п-ю социальную группу:
В таком случае для всех половозрастных групп данные вероятности будут удовлетворять соотношению 
При определении перечисленных вероятностей были использованы следующие обозначения:
- число умерших из rmk-й социально-половозрастной группы;
- число перешедших из rmk-й группы в п, m + 1,
- число детей А:-го пола, родившихся у женщин rmk - и
вошедших на момент (t+1) в n-ю социальную группу.
На основе рассмотренных показателей можно сформировать разные варианты моделей движения населения. С помощью выше представленных в математической форме показателей модель динамики половозрастного состава (естественного движения) может быть представлена в виде следующей системы, уравнений:
Первое уравнение системы описывает рождаемость; второе - динамику численности произвольной возрастной от второй до предпоследней; м+1 = 2,. .., М-1; третье тАФ динамику численности последней возрастной группы М с учетом того, что она пополняется переходящими в нее членами предпоследней группы, а ее члены, оставшиеся в живых, в ней же и остаются.
Модель воспроизводства населения, в широком смысле, описывающая динамику его социально-половозрастного состава, может быть представлена в виде следующей системы уравнений:
