Например, если истинно суждение: «Всякая причина имеет следствие» (А), то противное ему суждение: «Ни одна причина не имеет следствия» (Е) будет ложно. Но если ложно суждение: «Все слушатели нашего курса раньше изучали логику» (А), то противное ему суждение «Ни один слушатель нашего курса раньше не изучал логику» (Е) будет неопределенным, т.е. оно может оказаться как истинным, так и ложным.

Умозаключения, основанные на этом отношении между суждениями, называются умозаключениями противности.

Отношение подпротивности (субконтрарности) имеет место между суждениями частноутвердительными и частно-отрицательными.

Подпротивные суждения не могут быть одновременно ложными (по крайней мере одно из них истинно), но могут быть одновременно истинными.

Но если одно из подпротивных суждений будет истинно, то другое будет неопределенным – оно может быть как истинным, так и ложным.

Например, при истинности суждения «Некоторые люди изучали логику» (J), будет истинно и подпротивное ему суждение: «Некоторые люди не изучали логику» (О). Но при истинности суждения «Некоторые атомы делимы» (J) подпротивное ему суждение: «Некоторые атомы неделимы» будет ложным.

Умозаключения данного вида называют умозаключениями подпротивности.

Отношение подчинения существует между суждениями А и J (общеутвердительными и частноутвердительными), а также между Е и О (общеотрицательными и частноотрицательными). При этом А по отношению J и Е по отношению к О будут называться подчиняющими, а J по отношению к А и О по отношению к Е – подчиненными суждениями.

Отношение подчинения состоит в том, что из истинности подчиняющего суждения обязательно следует истинность подчиненного суждения, но обратное необязательно, то есть при истинности подчиненного суждения подчиняющее будет неопределенным – оно может оказаться как истинным, так и ложным. Но если подчиненное суждение ложно, то подчиняющее суждение будет тем более ложным. Обратное опять-таки необязательно, т.е. при ложности подчиняющего суждения подчиненное может оказаться как истинным, так и ложным.

Например, при истинности подчиняющего суждения «Все капиталисты эксплуататоры» (А) подчиненное суждение «Некоторые капиталисты – эксплуататоры» (J) будет тем более истинным. Но при истинности подчиненного суждения «Некоторые люди хорошо знакомы с творчеством Л.Н. Толстого» (J) подчиняющее суждение: «Все люди хорошо знакомы с творчеством Л.Н. Толстого» (А) будет ложным.

При ложности подчиненного суждения: «Некоторые преступления не подлежат наказанию» (О) будет тем более ложно суждение: «Ни одно преступление не подлежит наказанию» (Е). Но при ложности подчиняющего суждения: «Нив одном современном государстве нет избирательного ценза» (Е) будет истинным подчиненное суждение: «В некоторых современных государствах нет избирательного ценза» (О).

Подобного типа умозаключения называются умозаключениями подчинения.

Отношения противоречия (контрадикторности) существуют между суждениями А и О (общеутвердительными и частноотрицательными) и между суждениями Е и J (общеотрицательными и частноутвердительными). В отношении противоречия находятся также единично-утвердительные и единично-отрицательные суждения («Данное S есть Р» и «Данное S не есть Р»). Отношение противоречия состоит в том, что из двух противоречащих суждений одно обязательно истинно, а другое – ложно. Два противоречивых суждения не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными.

«Данное S есть Р»и ® «Данное S не есть Р»л

«Данное S есть Р»л ® «Данное S не есть Р»и

«Данное S не есть Р»и ® «Данное S есть Р»л

«Данное S не есть Р»л ® «Данное S есть Р»и

Умозаключения, основанные на отношении противоречия называются отрицанием суждения.

С помощью отрицания суждения из исходного суждения образуется новое суждение, являющееся истинным, когда исходное суждение (посылка) ложно, и ложным, когда истинное суждение (посылка) истинно.

Так, отрицая истинное суждение: «Всякая агрессия преступна» (А), мы получим новое ложное суждение: «Некоторые агрессии не преступны» (О). Отрицая ложное суждение «Ни одно явление объективной действительности не изменяется (Е), мы получим истинное суждение «Некоторые явления объективной действительности подвержены изменениям» (J).

Заметим, что суждения типа А и Е (общеутвердительные и общеотрицательные) не являются отрицанием друг друга, так как могут встретиться случаи, когда они оба окажутся ложными, Исключением, как уже было сказано, являются единично-утвердительные и единично-отрицательные суждения, которые, хотя и относятся по объединенной классификации (по качеству и количеству) к общеутвердительным и общеотрицательным, являются отрицанием друг друга. Отрицая единичное суждение «Иванов – преступник», мы получим новое: «Иванов не является преступником», которое несовместимо с первым. Если первое суждение истинно, то второе ложно, и наоборот.

Одной из разновидностей дедуктивных умозаключений является разделительный силлогизм. Разделительными, или дизъюнктивными, силлогизмами называются такие, первая посылка которых есть разделительное (дизъюнктивное) суждение. Вторая посылка и вывод суть суждения разделительные или категорические.

Схема дизъюнктивного, или разделительного, суждения, образующего первую посылку дизъюнктивного силлогизма, имеет такой вид: S есть или А, или В, или С.

Каждое из суждений, входящее в данное разделительное суждение (S есть А, S есть В, S есть С), называется альтернативой. В данном разделительном суждении содержатся три альтернативы.

Существуют чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения.

В чисто-разделительном умозаключении обе (или все) посылки являются разделительными суждениями.

В традиционной логике принята следующая его структура:

S есть А, или В, или С.

А есть или А1, или А2.

S есть или А1, или А2, или В, или С.

Здесь из суждения «S есть А» образуются еще две альтернативы, которые составляют два члена новой дизъюнкции.

В разделительно-категорическом умозаключении одна посылка – разделительное суждение, другая – простое категорическое суждение. Это вид силлогизма имеет два модуса:

1. S есть А, или В, или С;

S не есть ни А, ни В .

Следовательно, S есть С.

В этом модусе разделительного силлогизма во второй посылке отрицается все, кроме одной, альтернативы; поэтому в выводе утверждается эта оставшаяся альтернатива. Так как в выводе мы приходим к утверждению, то модус называется утверждающим, и так как к этому утверждению мы пришли посредством отрицания альтернатив, кроме одной, то модус получает название модуса, утверждающего посредством отрицания или отрицающе–утверждающий (tollendo ponens).

Например:

Дом мог разрушиться в результате пожара, взрыва, непрочности конструкции, стихийного бедствия.

Дом разрушился ни в результате пожара, ни по причине непрочности конструкций, ни в результате стихийного бедствия.

Следовательно, дом разрушился в результате взрыва.

Но, данное заключение не достоверное, а вероятное, так как в первой разделительной предпосылке перечислены не все возможные причины разрешения дома (например, в результате провала земли и т.д.)

2. S есть или А, или В, или С;

S есть А.

Следовательно, S не есть ни В, ни С.

В этом модусе во второй посылке утверждается одна альтернатива; поэтому в выводе все оставшиеся альтернативы отрицаются. Этот модус по своему итогу оказывается отрицающим, а способ получения этого отрицания у него – утверждение. Вследствие этого полное наименование этого модуса такое: модус, отрицающий посредством утверждения или утверждающе - отрицающий (ponendo tollens).

Например:

Существительное может стоять в именительном, родительном, дательном, винительном, творительном, предложном падежах.

Существительное стоит в именительном падеже.

Следовательно существительное не стоит не в родительном, ни в дательном, ни в винительном, ни в творительном, ни в предложном падежах. )