Пространство без бесконечности

А, действительно, если Вселенная не бесконечна…

Может такое быть?

Оказывается, может.

И даже не в том понимании, что она занимает часть пространства. Вселенная может занимать и всё пространство, но это пространство не имеет мест в математике обозначаемых знаком ∞ (бесконечность).

Чтобы понять это, нам предстоит сделать всего три шага.

Сначала изобразим такое пространство в общих контурах, а затем начнём прорисовывать все детали.

Итак, шаг первый.

Одномерное пространство.

В обыденном понимании оно представляется нам чем-то типа числовой прямой.

На прямой отметим начало отсчёта – точку О и от неё в одну сторону со знаком плюс (+), в другую со знаком минус (-), через равные интервалы, называемые единицей измерения, сделаем разметку +1, +2, +3, …,+ ∞ и, соответственно, -1, -2, -3, …, - ∞. То есть и с одной, и с другой стороны стоят знаки ∞ – это одномерное бесконечное пространство.

Здесь задаём наш вопрос: «Может ли существовать одномерное пространство, не содержащее ∞?»

Оказывается, может.

В первоначальной зарисовке будем приводить лишь те примеры, которые нам будут необходимы и достаточны для понимания сути и дальнейшего логического описания следующих шагов. При этом постараемся избегать ввода каких-либо новых определений.

Начертим окружность.

Это тоже одномерное пространство.

Но как не размечайте такое пространство, если за единицу измерения возьмём определённую конечную величину, то знак ∞ нигде в таком пространстве поставить не удастся.

Данная окружность – локальный пример одномерного пространства, не содержащего знака ∞.

Шаг второй.

Двухмерное пространство.

На плоскости проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Разметим их точно также, как и прямую на первом шаге, за точку отсчёта каждой взяв точку пересечения. Таким образом определим двухмерное бесконечное пространство.

Здесь опять задаём наш вопрос: «Может ли существовать двухмерное пространство, не содержащее ∞?»

Оказывается, тоже может.

Возьмите в руки глобус.

Как не размечайте его поверхность, знак ∞ поставить нигде не удастся.

Данная сфера – локальный пример двухмерного пространства, не содержащего ∞.

Переходим к третьему шагу.

Через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых проводим третью прямую, перпендикулярную двум первым. Разметим её точно также, как и на первых двух шагах. Получим трёхмерное бесконечное пространство, точнее способ его отображения – декартову систему координат.

Задаём первоначальный вопрос: «Может ли существовать пространство, не содержащее знака ∞?»

Оказывается, может.

Локального примера, подобного примерам на первых двух шагах, здесь привести не удастся.

Эти локальные примеры были приведены лишь для того, чтобы получить способ отображения такого пространства в декартовой системе координат, который позволит определить способ счёта идеально-определённого пространства – пространства, не содержащего знака ∞, в глобальном понимании.

Перейдём к способу отображения идеально-определённого пространства в декартовой системе координат.

Вернёмся к одномерному пространству.

Как можно отобразить окружность на прямой?

На окружности отметим любую точку и примем её за начало отсчёта, обозначив точно также, как и на прямой – О (с нулевым значением). От точки О отмеряем половину окружности в любую сторону и эту отметку обозначаем точкой М (то есть ОМ – половина окружности в любую сторону). От точки О в одну сторону со знаком (+), в другую со знаком минус (-), точно с такими же одинаковыми интервалами по длине как и на прямой делаем разметку. При этом точка М получает два значения +m и –m.

Такая разметка определяет и способ счёта одномерного идеально-определённого пространства (не содержащего ∞).

Чтобы отобразить окружность на прямой, разорвём окружность в точке М и, совместив точки О окружности и прямой, развернём полуокружности ОМ на прямую. Получим отрезок прямой [-m,+m], который и отобразит окружность на прямой и определит способ счёта одномерного идеально-определённого пространства на прямой.

То есть при движении по окружности от точки О в плюсовую сторону мы достигнем точки М со значением +m, которая на прямой будет иметь одновременно значение –m, и при дальнейшем движении уйдём в отрицательную область отрезка [-m,+m], а при дальнейшем движении вернёмся в точку О на прямой.

Отображение окружности на прямой носит достаточно простой характер – без искажений. Единственным усложнением является раздвоение значения точки М, что, собственно, особенно и не мешает жить.

Интересней получается при отображении сферы на плоскость.

Давайте вспомним уроки географии.

Есть глобус, сферическая поверхность которого отображает земную поверхность без особых искажений.

Есть так называемые карты мира – отображение сферической поверхности на плоскости. Мне вспоминаются по урокам географии два основных способа отображения: первый способ – два полушария в виде двух кругов, второй способ – что-то вроде эллипса, на котором «забабахана» сразу вся сферическая поверхность.

В ЦУПе на прямоугольном экране изображена вся поверхность Земли примерно по второму способу, при этом окружность (орбита спутника) отображается в виде какой-то зигзаги.

Понятно, отобразить сферу на плоскости без каких-либо искажений не удаётся.

Мы выбираем такой способ отображения сферы на плоскость, который даёт нам ключ к способу счёта идеально-определённого пространства.

Для наглядности за начало координат выберем Северный полюс.

По нулевому меридиану начнём движение от Северного полюса к Южному.

Отобразим это движение на плоскости.

Получим отрезок прямой, соединяющий Северный полюс с Южным.

Вернёмся на Северный полюс.

На этот раз начнём движение в противоположную сторону по меридиану (уже 180-му) к Южному полюсу.

Получим отображение этого меридиана на плоскости в виде отрезка, соединяющего Северный полюс с Южным в противоположную сторону. Южный полюс при этом «раздвоится». По сути, мы отобразили окружность на прямую.

Далее тем, у кого не хватает воображения, рекомендуется взять в руки карандаш и листок бумаги.

Если мы точно таким же образом пройдём по всем возможным меридианам, то Южный полюс отобразится у нас на плоскости в виде окружности с центром – Северным полюсом и радиусом равным длине меридиана.

Точка Южный полюс на сфере отобразится в виде окружности на плоскости.

Северный полюс взят за начало координат лишь для наглядности.

Понятно, что за начало координат на сфере может быть взята любая точка.

Продольных искажений (вдоль меридианов) при таком отображении быть не может (как при отображении окружности на прямую), а вот широты будут выглядеть как концентрические окружности, длины которых увеличиваются по мере удаления от Северного полюса.

При этом Южный полюс, как упоминалось, будет отображён в виде окружности.

Исходя из такой «картинки», при необходимости можно вычислить коэффициент поперечных искажений, а лучше коэффициент поправки для любой из широт.

Таким образом, если окружность на прямой отображается в виде отрезка без каких-либо линейных искажений, то сфера на плоскости отобразится в виде круга с соответствующими поперечными искажениями.

Имея координаты на круге отображения, мы будем иметь координаты и на сфере и таким образом получаем точный способ счёта такого пространства.

Окружность и сфера – локальные примеры одномерного и двухмерного идеально-определённого пространства.

Теперь мы подготовлены к третьему решающему шагу – определению трёхмерного идеально-определённого пространства в глобальном понимании (пространства, не содержащего знака ∞).

Чтобы не было никаких брожений в мозгах, надо чётко уяснить, что все определения, в том числе прямой, окружности, сферы, даны нам в декартовой системе координат. И, хотя отображение идеально-определённого пространства в декартовой системе координат имеет искажения, именно декартова система координат даёт нам возможность точного счёта идеально-определённого пространства (не содержащего ∞). )