Метод касательных. Решения нелинейных уравнений
МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ. РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПАСКАЛЬ 7.0
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона)
2. Решение нелинейного уравнения аналитически
3. Блок схема программы
4. Программа на языке PASCAL 7.0
5. Результаты выполнения программы
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
- Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
- Математическая формулировка задачи.
- Разработка алгоритма решения задачи.
- Написание программы на языке программирования.
- Подготовка исходных данных .
- Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
- Отладка программы.
- Тестирование программы.
- Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80
На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения
Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона)
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f тАЩ и f тАЭ
Так как f тАЩ(x) № 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :
x = x тАУ ( f (x) / f тАЩ(x)) (1)
Решая его методом итераций можем записать :
x n+1 = x n тАУ ( f (x n ) / f тАЩ(x n )) (2)
Если на отрезке [a;b] f тАЩ(x) * f тАЬ(x) > 0, то нул тАУ евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f тАШ(x) > 0 и f тАЬ(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :
y = f (b) + f тАЩ(b) * (x тАУ b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f тАЩ(x) № 0, решаем его относительно x. Получим :
x = b тАУ (f (b) /f тАШ(b))
Нашли абсциссу x 1 точки c 1 пересечения касательной с осью ox :
x 1 = b тАУ (f (b) тАУ f тАЩ (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b 1 (x 1 ; f (x 1 )).Найдем абсциссу x 2 точки с 2 пересечения касательной с осью Ox :
x 2 = x 1 тАУ (f (x 1 ) / ( f тАЩ(x 1 ))
Вообще :
x k+1 = x k тАУ ( f (x k ) / f тАЩ(x k )) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x k ) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k ; f (x k0 ) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x 0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f тАЩ, f тАЭ, сохраняющих свои знаки в интервале, за х 0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f тАЩ(х 0 ) * f (х 0 ) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :
|c-x k-1 | РИ | f (x k+1 )/m| , где m = min f тАЩ(x) на отрезке [a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+1 -x k | РИ e влечет выполнение неравенства |c-x k-1 | РИ e .
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :
|c-x k-1 | РИ e .
Ва
Ва Ва
2. Решение нелинейного уравнения аналитически
Определим корни уравнения х 3 + 0,1х 2 + 0,4х тАУ 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х 3 + 0,1х 2 + 0,4х тАУ 1,2
f тАШ (x) = 3х 2 + 0,1х + 0,4
f (тАУ1) = тАУ2,5 < 0 f (0) = тАУ1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0
x
|
- ТР
|
-1
|
0
|
+1
|
+ ТР
|
sign f (x)
|
-
|
-
|
-
|
+
|
+
|
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ]
Приведем уравнение к виду x = j (x) , так , чтобы | j тАШ (x) | <1 при 0 РИ x РИ +1.
Так как max | f тАЩ(x) | = f тАЩ(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2
Тогда j (x) = x тАУ ( f (x) / R) = x тАУ 0,5 х 3 тАУ 0,05 х 2 тАУ 0,2 х + 0,6 = тАУ 0,5 х 3 тАУ 0,05 х 2 + 0,8 х + 0,6.
Пусть х 0 = 0 , тогда х n+1 = j (х n ).
Вычисления расположим в таблице
n
|
х n
|
х 2 n
|
х 3 n
|
j ( х n ).
|
f (x)
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0,85
|
-0,17363
|
2
|
0,85
|
0,7225
|
0,614125
|
0,9368125
|
0,08465
|
3
|
0,9368125
|
0,87761766
|
0,822163194
|
0,89448752
|
-0,04651
|
4
|
0,89448752
|
0,800107923
|
0,715686552
|
0,917741344
|
0,024288
|
5
|
0,917741344
|
0,842249174
|
0,772966889
|
0,905597172
|
-0,01306
|
6
|
0,905597172
|
0,820106238
|
0,74268589
|
0,912129481
|
0,006923
|
7
|
0,912129481
|
0,83198019
|
0,758873659
|
0,908667746
|
-0,0037
|
8
|
0,908667746
|
0,825677072
|
0,750266124
|
0,910517281
|
0,001968
|
9
|
0,910517281
|
0,829041719
|
0,754856812
|
0,909533333
|
-0,00105
|
10
|
0,909533333
|
0,827250884
|
0,752412253
|
0,910057995
|
0,000559
|
11
|
0,910057995
|
0,828205555
|
0,753715087
|
0,909778575
|
-0,0003
|
12
|
0,909778575
|
0,827697055
|
0,753021048
|
0,909927483
|
0,000159
|
13
|
0,909927483
|
0,827968025
|
0,753390861
|
0,909848155
|
-8,5E-05
|
14
|
0,909848155
|
0,827823665
|
0,753193834
|
0,909890424
|
4,5E-05
|
15
|
0,909890424
|
0,827900583
|
0,753298812
|
0,909867904
|
-2,4E-05
|
16
|
0,909867904
|
0,827859602
|
0,753242881
|
0,909879902
|
1,28E-05
|
17
|
0,909879902
|
0,827881437
|
0,753272681
|
0,90987351
|
-6,8E-06
|
18
|
0,90987351
|
0,827869803
|
0,753256804
|
0,909876916
|
3,63E-06
|
19
|
0,909876916
|
0,827876002
|
0,753265263
|
0,909875101
|
-1,9E-06
|
20
|
0,909875101
|
0,827872699
|
0,753260756
|
0,909876068
|
1,03E-06
|
График функции y = х 3 + 0,1х 2 + 0,4х тАУ 1,2
3. Блок схема программы
4. Программа на языке PASCAL 7.0
program metod_kasatel;{Название программы}
uses Crt ; {Модуль дисплейных функций}
var {Блок описаний переменных}
xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 : real ;
function f1(x1: Real ): Real ; {Основная функция}
begin
f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;
end ;
function f2(x4:Real): Real ; {Производная от основной функции}
begin
f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4тАУ1.2;
end ;
begin {Начало основного тела программы}
Clrscr ; {Очистка экрана перед выполнением программы}
a:=0;b:=1;c:=0.00000001;
Writeln (' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран}
Writeln (' Погрешность с=',c);
Readln ; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
xn:=b;
xn1:= f1(xn);
y0:=f2(b);
while ABS (y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}
begin {Тело цикла}
xn:=xn1;
xn1:=f1(xn);
y0:= f2(xn1);
{Печать промежуточного результата}
Writeln ('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);
Readln ; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
end ; {Конец тела цикла}
Writeln ('Конечные значения'); {Печать полученного результата}
Writeln (' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);
Readln ; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
end . {Конец основного тела программы}
5. Результаты выполнения программы
От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
Погрешность с= 1.0000000000E-08
От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
Погрешность с= 1.0000000000E-08
xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02
xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02
xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02
xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02
xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03
xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03
xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03
xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03
xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04
xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04
xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04
xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05
xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05
xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05
xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05
xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06
xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06
xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06
xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06
xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07
xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07
xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07
xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08
xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08
xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08
xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08
xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09
Конечные значения
xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
- Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. тАУ Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/ тАУМ.: Высш. шк. , 1991. тАУ 400 с.
- Абрамов С.А., Зима Е.В. тАУ Начала программирования на языке Паскаль. тАУ М.: Наука, 1987. тАУ112 с.
- Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. тАУ М.: Высш. шк., 1990 тАУ 479 с.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. тАУ Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. тАУ 2-е изд. тАУ М.: Просвещение, 1990. тАУ 416 с.
- Марченко А.И., Марченко Л.А. тАУ Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 тАУ К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. тАУ 496 с.
Вместе с этим смотрят:
Метод математической индукцииМетод прогонкиМетод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентовМетода последовательных уступок