Многочлен (полиномом) от матрицы
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +тАж а АРЖ+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) тАУ нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.
Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .
Разложение тИЖ 3-его порядка по элементам первой строки : тИЖ=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица АРЗ№ удовл. рав. А АРЗ№= АРЗ№ А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой, если её detтЙа0.
Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: АРЗ№=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (А"Е) - метод Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрице А. (А|E)"(E|AРЗ№).
Ах=В уА=В
х=АРЗ№В у=ВАРЗ№
Ранг матрицы
В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1тЙдSтЙдmin(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,тЙа0.
Если все миноры =0, то ранг =0.
Свойства ранга
1.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа R транспонир. матр. = R исходн.
2.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и тЙа0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.
Матричная запись линейной ситемы
А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), сєд=(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
|a11 a12 . b1 . a1m|
тИЖ=|кооф.| , тИЖk=| a21 a22 . b2 . a2m|
|тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.|
| am1 am2 . bm .amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=тИЖ1/тИЖ , х2=тИЖ2/тИЖтАжтАжтАж
Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл. преобраз. матр.
ВЕКТОЫ
Коллинеарн. вект. тАУ лежащ. на || прямых или на одой прямой.
Равные вект. тАУ коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы ↑↓ и имеющие равные длины.
Св. векторы тАУ т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов О±, ОІ, Оі образованных ими с коорд. осями.
|r|=тИЪ(xВІ+yВІ+zВІ) x=|r|cosО± y=|r|cosОІ тАж тАж => cosО±=x/тИЪ( xВІ+yВІ+zВІ)
Единичный вектор e=(cosα,cosβ,cosОі)
Коорд. лин. комбинации векторов
Даны n векторов. Лин. комб. a=О±1*a1+О±2*a2+тАж+О±n*an x= О±1*x1+О±2*x2+тАж+О±n*xn y=тАж
Деление отрезка в данном отношении
X=(x1+тДУx2)/(1+тДУ) тАУ в отношении тДУ.
Скалярн. произведение векторов
ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos ПЖ=пр a b , |a|cosПЖ=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (О±a)b=О±(ab)
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правойтАж
Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sinО± ;2)[a*b]тФґa и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.
[a*b]=0 < = > a комплан. b
Свойства: 1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]
2.Сочетательности относительно скалярн. множ. [(О±a)*b]=О±[a*b]
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
|i j k |
[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+тАж тАж
|x2 y2 z2| |y2 z2|
Смешанное произведение векторов
Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.
V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и Вл+В», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
|x1 y1 тАж|
abc=|x2 тАж тАж| < = > abc-комплан.
|x3 тАж тАж| |x2-x1 y2-y1 тАж |
V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 тАж тАж |
|x4-x1 тАж тАж |
Линейная завис. Векторов
a1,a2,тАжan тАУ наз. лин. завис. векторов, если сущ. О±1,О±2 тАжО±n, таких что: О±1*a1+О±2*a2+тАж+О±n*an=0
Теорема 1. a1,a2,тАж,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. а и b лин. завис < = > они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 тАУ не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c тАУ лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=О±1*е1+О±2*е2+О±3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис тАУ любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯтАж
F(x,y)=0 тАУ ур-е линии в общем виде
F(ПБ,ПЖ)=0 тАУ тАж в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ПБ, то ПБ= ПБ(ПЖ).
x=f(t) \
y= ПЖ (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ПБ= ПБ(ПЖ), параметрически ур-я записываются x= ПБ(ПЖ)*cos ПЖ y= ПБ(ПЖ)*sin ПЖ
Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат AxРЖ+CyРЖ+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:
хРЖ/aРЖ+yРЖ/bРЖ=1 тАУ эллипс тАУ геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=тИЪ(aРЖ+bРЖ)
Эпсиктриситетом эл. наз. Оѕ=тИЪ(1-(b/a)РЖ) Директрисами эл. наз. прямые x=a/Оѕ и x=--a/Оѕ
хРЖ/aРЖ+yРЖ/bРЖ=0 тАУ удовл. коорд. ед. т. (0,0)
хРЖ/aРЖ+yРЖ/bРЖ=-1 тАУ неудовл. коорд. ни одной т.
в сл. А*С>0 линии элипсического типа
хРЖ/aРЖ -- yРЖ/bРЖ=1 или --хРЖ/aРЖ + yРЖ/bРЖ=1 тАУ гиперболы тАУ геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const \
F1(-c,0), F2(c,0), c=тИЪ(aРЖ+bРЖ) , Оѕ=c/a, Ассимптоты : у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы : x=-a/Оѕ и x=a/Оѕ |
Равносторонние Г. тАУ с равными полуосями. /
хРЖ/aРЖ -- yРЖ/bРЖ=0 тАУ пара пересекающихся прямых / - линии гиперболического типа
уРЖ=2px тАУ парабола - геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и директрисы \
Симметрин. относит. ох : уРЖ=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |
oy : xРЖ=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |
yРЖ=bРЖ - пара || прямых > - линии параболического типа
yРЖ=0 тАУ пара совпавших прямых /
yРЖ=--bРЖ - неудовл. коорд. ни одной т.
Если С=0, АтЙа0, то (1) приводится хРЖ=2qy
Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,тАж,тАж -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я тИй прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной: y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали : y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(угла м/у 2-я тИй прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2тЙаx1,y2тЙаy1) | || < = >A1/A2=B1/B2 , тФґ A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2тАФx1)*t y=y1=(y2тАФy1)*t , t тВм R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 : d=(A*x0+B*y0+C)/тИЪ(AРЖ+BРЖ)
Ур-е окружности : (x-a)РЖ+(y-b)РЖ=RРЖ
Упрощ. общее ур-е второй степени: AxРЖ+2Bxy+CyРЖ+Dx+Ey+F=0
При повароте коорд осей на О± для которого ctg2О±=(AтАФ C)/2B
x=xтАЩ cos О± тАУyтАЩ sin О±
y=xтАЩ sin О± +xтАЩ cos О±
Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при xтЖТa , если для любого Оѕ>0 сущ. Оґ>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< Оґ, выполняется условие |f(x)-b|<Оѕ
Вместе с этим смотрят:
Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поляНеевклидовы пространстваНекоторые функции высшей математикиНеопределенные бинарные квадратичные формы