Несобственный интеграл с несколькими особенностями

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ВаВа НЕСКОЛЬКИМИ Ва ОСОБЕННОСТЯМИ

Ва Дадим определение сначала несобственному интегралу

Ва Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] О [ a , w )

Тогда, если Ва существует: ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

То его величина обозначается Ва

Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f Ва на промежутке [ a , w )

Ва ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Если предел не существует или равен бесконечности, то Ва говорят,что данный интеграл Ва расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится

Если функция Ва f Ва неотрицательна Ва и Ва непрерывна Ва на промежутке [ a , b ) ( b может Ва быть Ва бесконечным), то несобственный Ва интеграл равен площади неограниченного открытого множества Ва G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ]

Если Ва функция ВаВа определена Ва на интервале Ва ( a , b ) Ва и неограниченна Ва в точках Ва a и b Ва и Ва при некотором выборе Ва точки с Ва ( a , b ) Ва существуют Ва несобственные Ва интегралы Ва на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c О ( a , b )

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки Ва с . Тогда

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

ВаВаВаВаВаВаВаВа Y

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f ( x )

Ва

Ва Ва ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа a k ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа c ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа l Ва b ВаВаВаВаВаВаВа X

Ва

Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями

Если функция f :< a , b > R Ва имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и Ва Т: Ва a = k 1< k 2<тАж< kn = b _ такое разбиение Ва < a , b >, что на каждом Ва из< ki , ki +1>, i =1 ё n , особой Ва точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :

то

сходится

Аналогично, интеграл расходится, значит

Ва

расходится

Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения

На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями

ВаВа Y

Ва

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f ( x )

Ва

Ва ВаВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВа a = k 1 ВаВаВаВаВаВа k 2тАжтАжтАж ki тАжтАж. kn -1 ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа kn = b (+ Ва в данном случае)

ВаВаВаВаВаВа

Ва

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1.

Ва Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием Влпредел не существуетВ» и Влпредел равен бесконечностиВ». Интеграл ВаВа расходится Ва при Ва b

На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от Ва 0 Ва д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел

Ва

ВаВаВа Y

Ва

ВаВаВаВа 1

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа + ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа + ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа + ВаВаВаВаВа b ? ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа b ? ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X

ВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа p ВаВаВаВаВаВа - ВаВаВаВаВаВаВа 2 p ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВа - ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа - ВаВаВаВа b ? ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа b ? ВаВаВаВа ( )

Пример 2

На концах отрезка Ва [0,2] Ва подынтегральная Ва функция определена. Ва Но Ва x =1 Ва является особой ВаВа точкой

Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие Ва интегралы:

Ва

Сначала Ва рассмотрим ВаВа

F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )] Ва не имеет предела Ва при Ва b 1 Ва значит исходный Ва интегралы Ва расходятся

Но следует заметить, что прежде чем исследовать Ва несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную Ва функцию, найти ее особые точки Ва и Ва построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке Ва [0,2] Ва выглядит Ва примерно Ва так

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВа Y

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 1

Ва

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВа 1 ВаВаВаВаВаВаВаВа 2 ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X

Ва

Ва Ва Ва

Пример 3

Ва

Интеграл Ва сходится Ва - Ва его Ва значение Ва стремится Ва к Ва -4

Предел: Ва

Ва

Ва Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

Ва

Ва Ва 1)Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f непрерывна на [ a , b ), и F - первообразная f .Тогда

Ва

Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )

Ва

2)Линейность несобственного интеграла

Ва

Если несобственные интегралы

Ва

Сходятся,то для любых чисел Ва m , n сходятся несобственный интеграл

Ва

3)Интегрирование по частям

Ва

Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке [ a , b ),то

Ва

Причем,если любые два из выражений

Ва

имеют Ва смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):

Ва

Причем

Ва

4)Замена переменной в несобственном интеграле

Ва

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда

Ва

При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:

Пример 6:

Ва

Монотонность несобственного интеграла

Ва

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех x О <a,b>,то

Ва

Рисунок 6,7:

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

ВаВаВаВаВа Y ВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Y

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа g ( x )

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа g(x) Ва ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f(x) Ва

Ва

ВаВаВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f(x) ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВа a b ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X

Следствие: f О R^<a,b>;|f| О R^<a,b>;

Ва

Рисунок 8:

Ва

ВаВаВаВаВа Y

Ва

Ва

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа | f |

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа + ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа + ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа + ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа +

ВаВаВаВаВаВаВа 0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВа a ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа - ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа -

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f

В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:

Пример7:

f = g =1/ Ц x на промежутке (0,1]

Ва

т.е. сходится, а для fg =1/ x

Ва

Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]

Несобственные интегралы от знакопостоянных функций

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1)

Ва

и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо Ва применять следующие методы:

Признак сравнения

Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения:

Пусть функции f(x) и g(x) Ва неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости

Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости

Ва

Для применения признака сравнения необходим набор тАЬэталонныхтАЭ функций. Основными являются степенные функции вида Ва

Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке [a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения

Ва

Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a, ) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)

Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:

Пример 8:

Ва

Пример 9:

Ва

Ва Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел

Ва

Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]:

Ва

Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо Ва отыскать функцию сравнения в виде:

Ва

Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a]

Ва

Пример 10

Ва

Видно, что интеграл расходится. На интервале [3;5) функция сравнения принимает следующий вид

Ва

Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен

При Ва x 0

Ln(1+x)~x

Sinx~x

Tgx~x

Arcsinx,arctgx~x

Нельзя забывать, что при x

Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - )

При x 0 Arccosx,arcctgx p /2

Теперь вспомним пример 8.1

Ва

Решим с помощью правила Лопиталя:

Пример 11

Полученный интеграл расходится

Признаки Абеля-Дирихле сходимости несобственных инегралов

Этот признак заключается в том, что если функции f ( x ) и g ( x ):[ a ; b ) R , то они удовлетворяют условиям:

а) Ва при x b g ( x ) локально монотонна и ограничена на [ a ; b )

Пример 12

Ва

Справедливо:

Если g(x) и f(x) удовлетворяют условиям на интервале [a;b):

Ва

a)g(x) локально монотонна при x b,g(x) 0

Дадим определение несобственного интеграла от знакопеременных функций

Если интеграл

сходится, от функции f ( x ) называется абсолютно сходящейся,

И наоборот, если интеграл сходится абсолютно, то он сходится

Аналогично для расходящегося интеграла. При условии, что интеграл Ва от |f(x)| расходится, а от f(x) тАУсходится, то несобственный интеграл сходится условно. Отметим, что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает Ва с Ва обычной. В таких случаях и применяется признак Абеля-Дирихле

Ва

Ва Ва Ва

Вместе с этим смотрят:

Обзор методов логического проектирования и минимизации
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Однополостный гиперболоид
Описанные и вписанные окружности