Проекции точки
It`s help you! By Taras, Stavropol.
На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)
ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Сущность метода ортогонального проеВнцирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикуВнлярные плоскости лучами, ортогональныВнми (перпендикулярными) к этим плоскоВнстям.
Одну из плоскостей проекций H распоВнлагают горизонтально, а вторую V тАФ вертикально. Плоскость H назыВнвают горизонтальной плоскостью проекВнций, V тАФ фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называВнется осью координат и обозначается OX. Плоскости проекций делят пространстВнво на четыре двугранных угла тАФ четверти.
Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видиВнмыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые располоВнжены в пределах той же первой четверти.
При построении проекций необходимо поВнмнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перВнпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.
На рисунке показаны точка А и ее ортоВнгональные проекции а1 и а2.
Точку а1 называют горизонтальВнной проекцией точки А, точку а2 тАФ ее фронтальной проекцией. Каждая из них является основанием перпендикуВнляра, опущенного из точки А соответВнственно на плоскости H и V.
Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпендиВнкулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи Аа1 и Аа2 определяВнют плоскость, перпендикулярную плоскоВнстям проекций и линии их пересечения тАФ оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 аx и а1 аx,, которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке аx.
Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a1 и a2, расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересечеВннием перпендикуляров, восставленных из точек a1 и a2 к плоскостям H и V.
Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае докаВнзанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относиВнтельно оси остается справедливым.
Чтобы получить плоский чертеж, состояВнщий из указанных выше проекций, плосВнкость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками на рисунке. В результате пеВнредняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H тАФ с верхней полуплоВнскостью V.
Проекционный чертеж, на котором плосВнкости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным обВнразом одна с другой, называется эпюВнром (от франц. еpure тАУ чертеж). На рисунке показан эпюр точки А .
При таком способе совмещения плоскоВнстей H и V проекции a1 и a2 окажутся расположенными на одном перпендикуляВнре к оси OX. При этом расстояние a1ax тАФ от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a2ax тАФ от фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H.
Прямые линии, соединяющие разноиВнменные проекции точки на эпюре, услоВнвимся называть линиями проекциВнонной связи.
Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находитВнся данная точка. Так, если точка В распоВнложена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекВнции окажутся лежащими над осью OX.
Если точка С находится в третьей четВнверти, то ее горизонтальная проекция поВнсле совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная тАФ под осью OX. НаВнконец, если точка D расположена в четВнвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX. На рисунке покаВнзаны точки М и N, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, друВнгая же проекция ее оказывается лежаВнщей на оси OX. Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с коВнторой совпадает сама точка, пишется заВнглавная буква без индекса.
Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четВнвертой четверти на одинаковом расстояВннии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последВнняя расположена на оси OX.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в проВнстранстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность тоВнчек, то можно утверждать, что и две ортоВнгональные проекции предмета (при налиВнчии буквенных обозначений) вполне опреВнделяют его форму.
Однако в практике изображения строиВнтельных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необВнходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью тАФ сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.
Модель трех плоскостей проекций покаВнзана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается букВнвой W и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозВнначают их заглавными буквами или цифВнрами с индексом 3 (aз, bз, cз, .. 1з, 2з, 33..).
Плоскости проекций, попарно пересекаВнясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систеВнму прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. СисВнтема знаков, указанная на рисунке, соВнответствует Влправой системеВ» координат.
Три плоскости проекций делят проВнстранство на восемь трехгранных углов тАФ это так называемые октанты. НумераВнция октантов дана на рисунке.
Как и прежде, будем считать, что зриВнтель, рассматривающий предмет, находитВнся в первом октанте.
Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результаВнте вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней поВнлуплоскостью V, а задняя полуплоскость H тАФ с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90В° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя полуплоВнскость W тАФ с левой полуплоскостью V.
Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY показана дважВнды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY на эпюре совмеВнщается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX.
В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (тАФ ОX, тАФ ОY, тАФ ОZ) указываться не будут.
ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определеВнния ее положения в пространстве или на поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоуВнгольных декартовых координат х, у и z.
Координату х называют абсциссой, у тАФ ординатой и z тАФ аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от данВнной точки до плоскости W, ордината у тАФ до плоскости V и аппликата z - до плосВнкости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. КаВнкая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точВнка А, все координаты которой положительВнны, находится в первом октанте
Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора
ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k тАФ единичные векторы, направВнленные соответственно вдоль координатВнных осей х, у, z (рисунок), то
ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ, ОАУ, ОАг тАФ координаты вектоВнра ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрезВнки, соответственно равные 5, 4 и 6 единиВнцам длины. На этих отрезках ( Оax , Оay , Оaz ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, протиВнвоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко замеВнтить, что для определения точки А достаВнточно построить только три ребра паралВнлелепипеда, например Оax , axa1 и a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образуВнют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соВнответствующей координатой точки.
Однако построение параллелепипеда поВнзволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.
Лучами, проецирующими точку на плосВнкости H, V, W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.
Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоскоВнсти, определяется только двумя координаВнтами.
Так, горизонтальная проекция a1 опреВнделяется координатами х и у, фронтальная проекция a2 тАФ координатами х и z, проВнфильная проекция a3 тАФ координатами у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заВнданию точки тремя координатами.
На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a1 и a2 окажутся на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a2 и a3 тАФ на одном перВнпендикуляре к оси OZ.
Что касается проекций a1 и a3 , то и они связаны прямыми a1ay и a3ay , перпендикулярными оси ОY. Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отреВнзок a1ay не может быть продолжением отрезка a3ay .
Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполняВнют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок Оax = х (в нашем случае х = 5), затем через точку ax провоВндят перпендикуляр к оси ОX, на котором с учетом знаков откладываем отрезки axa1 = у (получаем a1 ) и axa2 = z (получаем a2 ). Остается построить профильную проекцию точки a3 . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a3 проводят прямую a2az ⊥ OZ.
Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси ОZ должна находиться a3 ?
Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого aza3 = Oay = axa1 = y заключаем, что исВнкомое расстояние aza3 равно у. Отрезок aza3 откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.
Проследим за тем, какие изменения проВнизойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.
Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикулярВнной плоскости V. При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V. Постоянными будут остаВнваться координаты х и z , а проекция точВнки, определяемая этими координатами, т. е. a2 не изменит своего положения.
Что касается проекций a1 и a3 , то перВнвая начнет приближаться к оси ОX, втоВнрая тАФ к оси ОZ. На рисунках новому положению точки соответствуют обозначеВнния a1 (a11 a21 a31 ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций (a12и a32) будут лежать на осях.
Переместившись из I октанта во II, точВнка начнет удаляться от плоскости V, коВнордината у станет отрицательной, ее абсоВнлютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H, на эпюре окажется выше оси ОX, а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W, на эпюре будет слева от оси ОZ. Как всегда, отрезок az a33 = у.
На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения коВнординатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит черВнтеж.
В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображеВнние предмета, а не его положение относиВнтельно плоскостей проекций.
Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельноВнго переноса (рисунок). Их обычно перемеВнщают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказаВнлись над плоскостью H и перед плоскоВнстью V. Так как положение оси X12 оказыВнвается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были распоВнложены на вертикальных прямых.
Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок тЦіx характериВнзует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, тЦіx указывает, насколько точка А расположеВнна левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком тЦіy, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстояВнние, равное тЦіy.
Наконец, отрезок тЦіz показывает превыВншение точки А над точкой В.
Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя приВнзнать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполВннению чертежей, но и к решению различВнных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи проВнстранственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет отноВнсительно декартовых осей координат. УкаВнзанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометВнрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.
Вместе с этим смотрят:
Прямая, параллельная плоскостиПьер де ФермаРазвитие математики в России в XVIII-XIX-ом столетияхРазвитие продуктивного мышления на уроках математики