Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

   Основная часть:    

            

Применение графиков в решении уравнений.

I)Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х  является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую       у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

 

Проверим это. Вычислим дискриминант:

                        D=(-1)2-4=-3<0,

А поэтому уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение: x2-2x+1=0

Рисунок 3.

Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).         

  II) Системы уравнений.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 тАУ2 тАУпарабола, уравнения х2 +у2=4 тАУ окружность, и т.д.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого тАУ многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.

    Пример1:решить систему тМа x2 +y2 =25    (1)

                                                тМаy=-x2+2x+5  (2) 

Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):

Построим в одной системе координат графи)

                            х2 +у2=25  и у=-х2+2х+5    

Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5),   В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

                х1тЙИ-2,2 , у1тЙИ-4,5;                   х2тЙИ0,  у2тЙИ5;

                х3тЙИ2,2 ,  у3тЙИ4,5;                     х4тЙИ4,  у4тЙИ-3.

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье тАУ приближёнными.

III)Тригонометрические уравнения:

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.

Рисунок5.

Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u  y=1-cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2ПАп,где пРДZ и х=ПА/2+2ПАk,где kРДZ(Обязательно проверить это вычислениями).   Рисунок 6.

Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет  2 решения: х=ПАп, пРДZ u x=2ПАk/3, где kРДZ.(Проверить это вычислениями) 

        

                   Применение графиков в решении неравенств.

1)Неравенства с модулем.

Пример1.

Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.

На интеграле(-1;-тИЮ) по определению модуля имеем                 |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству тАУ2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

На интеграле (1;+тИЮ) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо.     Ответ:(-2;2)

II)Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенствотИЪа+х+тИЪа-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения  гораздо больше усилий, чем неравенство тИЪ1+х + тИЪ1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u  y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при тАУb/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a|  расположена под прямой y=b.

Ответ:Если b<=2|a| , то решений нет,

             Если b>2|a|, то x тВм(-b/2;b/2).

  III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2ПА. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

                        sin x<a, sin x<=a.

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2ПА. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке  решений числа вида 2ПАп, пРДZ.

          Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-ПА/2;3ПА/2]. Рассмотрим его левую часть тАУ отрезок [-ПА/2;3ПА/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-ПА/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если тАУПА/2<=x<= -ПА/6, то sin x<=sin(-ПА/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же тАУПА/6<х<=ПА/2 то sin x>sin(-ПА/6) = тАУ1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [ПА/2;3ПА/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7ПА/6. Следовательно, если ПА/2<=x<7ПА/, то sin x>sin(7ПА/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для  x РД[7ПА/6;3ПА/2] имеем sin x<= sin(7ПА/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-ПА/2;3ПА/2] есть интеграл (-ПА/6;7ПА/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2ПА значения х из любого интеграла вида: (-ПА/6+2ПАn;7ПА/6 +2ПАn),nРДZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .

Ответ: -ПА/6+2ПАn<x<7ПА/6+2ПАn, где nРДZ.

Рисунок 10.

Вместе с этим смотрят:

Роль математики в современном естествознании
Роль математических методов в экономическом исследовании
Свойства равногранного тетраэдра
Связь критерия Попова с методами Ляпунова