Сетевые графики
СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИ
Такие крупные проекты, как строительство дома, разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета, изготовление станка и т.д. можно разбить на большое количество различных операций (работ). Одни операции могут выполняться одновременно, другие тАФ только последовательно: одна операция после окончания другой. Например, при строительстве дома можно совместить во времени внутренние отдеВнлочные работы и работы по благоустройству территории, однако возводить стены можно только после того, как будет готов фундамент
Основные задачи планирования работ по осуществлению некоторого проекта:
определение времени возможного окончания как всего проекта в целом, так и отдельных работ, образующих проект;
определение резервов времени для выполнения отдельных работ;
определение критических работ, то есть таких работ, задержка в выполнении которых ведет к задержке выполнения всего проекта в целом;
управление ресурсами, если таковые имеются и т.п
Пусть некоторый проект W состоит из работ V 1 ,.., V n ; для каждой работы V k известно, или может быть достаточно точно оценено время ее выполнения t ( V k ). Кроме того, для каждой работы V k известен, возможно пустой, список ПРЕДШ( V k ) работ, непосредственно предшествующих выполнению работы V k . Иначе говоря, работа V k может начать выполняться только после завершения всех работ, входящих в список ПРЕДШ( V k )
В список работ проекта W добавим две фиктивные работы s и p , где работа s обозначает начало всего проекта W. а работа p тАФ завершение работ по проекту W. При этом будем считать, что работа s предшествует всем тем работам v О W, для которых список ПРЕДШ(v) пуст, иначе говоря, для всех таких работ v О W Ва положим Ва ПРЕДШ(v)={s}. Ва Положим далее ПРЕДШ(s) = Ж , ПРЕДШ( p )={v О W: v не входит ни в один список ПРЕДШ(w)}, то есть считаем, что работе p предшествуют все те работы, которые могут выполняться самыми последними. Время выполнения работ s и p естественно положить равными нулю: ВаВа t(s)=t( p )=0
Весь проект W теперь удобно представить в виде сети G =( V , E , c ). Ориентированный взвешенный граф G =( V , E , c ) называется сетью. Сеть может быть представлена матрицей весов дуг, массивами смежностей СЛЕД или ПРЕДШ, или списками СЛЕД[ v ] или ПРЕДШ[ v ]. При этом записи в списках смежности состоят из трех компонент: поля имени узла, поля веса соответствующей дуги и поля ссылки на следующую запись), где сеть G =( V , E , c ) определим по правилам:
V = W , то есть множеством узлов объявим множество работ;
E ={( v , w ) : v О ПРЕДШ(w)}, то есть отношение предшествования задает дуги в сети;
c(v,w)=t(w)
Построенную сеть G часто называют сетевым графиком выполнения работ по проекту W. Легко видеть, что списки смежностей этой сети ПРЕДШ(v) совпадают с заданными для проекта списками предшествующих работ ПРЕДШ(v)
Очевидно, что сетевой график любого проекта не должен содержать контуров. Действительно, пусть узлы V k 1 , V k 2 ,.., V kr = V k 1 образуют контур в сети G. Это означает, что работа V k 2 не может наВнчаться раньше, чем будет завершена работа V k 1 , работа V k 3 тАФ раньше, чем завершится работа V k 2 , и т.д., и, наконец, V kr = V k 1 тАФ раньше, чем будет завершена работа V kr -1 . Но тогда никакая из работ V k 1 ,.., V kr никогда не сможет быть выполнена. А каждый реальный проект должен допускать возможность его завершения. Следовательно, в сетевом графике нет контуров
Отсутствие контуров в сети G позволяет пронумеровать работы проекта W таким образом, чтобы для каждой дуги ( V i , V j ) сети G выполнялось условие i < j , то есть каждая дуга идёт из узла с меньшим номером в узел с большим номером. ОсущестВнвить такую нумерацию узлов сети G можно с помощью алгоритма топологической сортировки. Поэтому в дальнейшем будем считать, что узлы в сети G топологически отсортированы
Конечной целью построения сетевой модели является получеВнние информации о возможных сроках выполнения, как отдельных работ, так и о возможном сроке выполнения всего проекта в цеВнлом. Обозначим через PB ЫП( v ) (соответственно PHA Ч( v )) наиболее ранний Ва возможный Ва срок Ва выполнения работы Ва v (соответственно наиболее ранний возможный срок начала работы v). Удобно считать, что PB ЫП( s )= PHA Ч( s )=0. Поскольку наВнчать выполнять работу v можно только после того, как будут выполнены все работы, предшествующие данной работе v, то получим следующие формулы для расчета значений PHA Ч( v ) и PB ЫП( w ) :
PHA Ч( v ) = МАКС{ PB ЫП( w ): w О ПРЕДШ(v)},
PBЫП(v)= PHAЧ(v) + t(v)
Значение PB ЫП( p ) дает наиболее ранний возможный срок завершения всего проекта в целом. Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики РНАЧ и РВЫП
Ва
Алгоритм 1.
Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v О V
Результаты: Наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ( v ), РВЫП( v ), v О V
Объявить возможные ранние сроки начала РНАЧ( v ) и выполнения РВЫП( v ) работ равными нулю. Текущей вершиной объявить первую вершину v k = v 1.
Всем вершинам v предшествующим текущей вершине v k , значение РНАЧ( v k ) присвоить максимум из значений РВЫП( v ) и РНАЧ( v k ). Значение РВЫП( v k ) положить равным значению РНАЧ( v k ) плюс время выполнения самой работы текущей вершины t ( v k )
Если имеется следующая вершина (работа) после текущей, то объявить ее текущей вершиной v k , иначе перейти в Шаг 5
Вернуться в Шаг 2
Выдать наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), v О V, конец работы алгоритма
Ва Пусть T тАФ плановый срок выполнения проекта W. Ясно, что Т должно удовлетворять неравенству Т >= РВЫП( V n +1 )
Через ПВЫП( v ) (соответственно ПНАЧ( v )) обозначим наиболее поздний допустимый срок выполнения (начала) работы v , то есть такой срок, который не увеличивает срок Т реализации всего проекта
Значения возможных и допустимых сроков выполнения работ позволяют определить резервы времени для выполнения той или иной работы. Полный резерв (иногда его называют суммарный) времени выполнения работ определяется по формуле:
PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v)
Значение PE 3 EPB ( v ) равно максимальной задержке в выполВннении работы v, не влияющей на плановый срок Т. Понятно, что справедливо и такое равенство: РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Через любую такую работу проходит некоторый макВнсимальный s- p -путь в сети G. Критические работы характеризуются тем, что любая задержка в их выполнении автоматически ведет к увеличению времени выполнения всего проекта
Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики ПВЫП и ПНАЧ
Алгоритм 2.
Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v О V , плановый срок окончания проекта тАУ Т
Результаты: Наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v )
Объявить для всех работ v О V значение наиболее позднего срока выполнения работ равным Т тАУ значению планового срока окончание проекта и вершину v p фиктивной работы p объявить текущей v k
Присвоить значение ПНАЧ текущей работы v k равным значению ПВЫП работы и вычесть время выполнения текущей работы
Присвоить значению ПВЫП(v) для всех работ v О ПРЕДШ(v) предшествующих текущей работе v k минимальное значение из значений ПВЫП выполнения роботы v или ПНАЧ выполнения текущей работы v k , если таковых нет перейти в Шаг 4
Если имеется предыдущая вершина (работа) к текущей, то объявить её текущей, иначе перейти в Шаг 6
Перейти в Шаг 2
Выдать наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v ), конец работы алгоритма
Проиллюстрируем работу приведенных алгоритмов на следующих примерах:
Пример 1 : Проект Ва гаража для стоянки автопогрузчиков
n
|
Наименование работы
|
Предшествующие работы
|
Время выполнения t ( v k )
|
1
|
Начало проекта (фиктивная работа)
|
Нет
|
0
|
2
|
Срезка растительного слоя грунта
|
1
|
5
|
3
|
Монтаж каркаса
|
2
|
30
|
4
|
Обшивка стен профнастилом
|
3
|
15
|
5
|
Кровля из профнастила
|
3
|
12
|
6
|
Заполнение проема воротами
|
4
|
5
|
7
|
Масляная окраска ворот и профнастила
|
5,6
|
10
|
8
|
Щебёночное основание под полы
|
7
|
3
|
9
|
Асфальтовое покрытие
|
8
|
3
|
10
|
Уборка строительного мусора после строит
|
7
|
3
|
11
|
Конец проекта (фиктивная работа)
|
9,10
|
0
|
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
|
Действия выполняемые шагом
|
1
|
Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равными нулю. Текущая вершина v k =1
|
2
|
Вершин предшествующей первой нет
РВЫП(1)=РНАЧ(1)+ t (1). { РНАЧ(1) стало равным 0 }
|
3
|
Текущая вершина v k =2
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0}
РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5}
|
3
|
Текущая вершина v k =3
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5}
РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 35}
|
3
|
Текущая вершина v k =4
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 35}
РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 50}
|
3
|
Текущая вершина v k =5
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 35}
РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47}
|
3
|
Текущая вершина v k =6
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 50}
РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 55}
|
3
|
Текущая вершина v k =7
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47}
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 55}
РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 65}
|
3
|
Текущая вершина v k =8
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 65}
РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 68}
|
3
|
Текущая вершина v k =9
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 68}
РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 71}
|
3
|
Текущая вершина v k =10
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 65}
|
3
|
Текущая вершина v k =11
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}
|
3
|
Переход в Шаг 5
|
5
|
Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ
|
Таблица результатов работы алгоритма
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
РНАЧ( v )
|
0
|
0
|
5
|
35
|
35
|
50
|
55
|
65
|
68
|
65
|
71
|
РВЫП( v )
|
0
|
5
|
35
|
50
|
47
|
55
|
65
|
68
|
71
|
68
|
71
|
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=71. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени Ва наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
|
Действия, выполняемые шагом
|
1
|
Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т
Текущая вершина v k =11
|
2
|
ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 71}
|
3
|
ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 71}
ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 71}
|
4
|
Текущая вершина v k =10
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 68}
|
3
|
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(7) стало равным 68}
|
4
|
Текущая вершина v k =9
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 68}
|
3
|
ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(8) стало равным 68}
|
4
|
Текущая вершина v k =8
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 65}
|
3
|
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(7) стало равным 65}
|
4
|
Текущая вершина v k =7
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 55}
|
3
|
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 55}
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 55}
|
4
|
Текущая вершина v k =6
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 50}
|
3
|
ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 50}
|
4
|
Текущая вершина v k =5
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 43}
|
3
|
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 43}
|
4
|
Текущая вершина v k =4
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 35}
|
3
|
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 35}
|
4
|
Текущая вершина v k =3
|
5
|
Переход в шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 5}
|
3
|
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
|
4
|
Текущая вершина v k =2
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
|
3
|
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
|
4
|
Текущая вершина v k =1
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
|
3
|
Переход в Шаг 4
|
4
|
Переход в Шаг 6
|
6
|
Конец работы алгоритма, выдача значений времени Ва наиболее позднего начала и выполнения работ
|
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=ПНАЧ( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы
|
РНАЧ
|
РВЫП
|
ПНАЧ
|
ПВЫП
|
Резерв
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
0
|
5
|
0
|
5
|
0
|
3
|
5
|
35
|
5
|
35
|
0
|
4
|
35
|
50
|
35
|
50
|
0
|
5
|
35
|
47
|
43
|
55
|
8
|
6
|
50
|
55
|
50
|
55
|
0
|
7
|
55
|
65
|
55
|
65
|
0
|
8
|
65
|
68
|
65
|
68
|
0
|
9
|
68
|
71
|
68
|
71
|
0
|
10
|
65
|
68
|
68
|
71
|
3
|
11
|
71
|
71
|
71
|
71
|
0
|
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=71
Пример 2 : Проект водоснабжения и наружной канализации при застройки квартала по ул. Токарей-Синяева в г. Екатеринбурге
n
|
Наименование работы
|
Предшествующие работы
|
Время выполнения t ( v k )
|
1
|
Начало проекта (фиктивная работа)
|
Нет
|
0
|
2
|
Разработка грунта экскаваторами с ковшом 0.5 м 3 с погрузкой на автомобили-самосвалы
|
1
|
16
|
3
|
Зачистка дна и стенок с выкидкой грунта
|
2
|
10
|
4
|
Монтаж водопроводных колодцев
|
1
|
32
|
5
|
Монтаж плит перекрытий из легкого бетона
|
3
|
21
|
6
|
Пробивка в бетонных стенах и полах отверстий
|
5
|
5
|
7
|
Оклейка плит рубероидом и гидроизолом на нефтебитуме в 1 слой
|
4,5
|
14
|
8
|
Заделка сальников при проходе труб через фундаменты или стены подвалов
|
5
|
10
|
9
|
Монтаж скоб
|
6
|
7
|
10
|
Устройство стяжек цементных
|
9
|
5
|
11
|
Конец проекта. (фиктивная работа)
|
7,8,10
|
0
|
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
|
Действия, выполняемые шагом
|
1
|
Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равным нулю
Текущая вершина v k =1
|
2
|
Вершин предшествующей первой нет
Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1)
|
3
|
Текущая вершина v k =2
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)}{РНАЧ(2) стало равным 0}
РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 16}
|
3
|
Текущая вершина v k =3
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)}{РНАЧ(2) стало равным 16}
РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 26}
|
3
|
Текущая вершина v k =4
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 0}
РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 32}
|
3
|
Текущая вершина v k =5
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 26}
РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47}
|
3
|
Текущая вершина v k =6
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 47}
РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 52}
|
3
|
Текущая вершина v k =7
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47
РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 61}
|
3
|
Текущая вершина v k =8
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(8)}{РНАЧ(8) стало равным 47}
РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 57}
|
3
|
Текущая вершина v k =9
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 52}
РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным }
|
3
|
Текущая вершина v k =10
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 59}
РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 64}
|
3
|
Текущая вершина v k =11
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 61}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало рвным 61}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 64}
РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 64}
|
3
|
Переход в Шаг 5
|
5
|
Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ
|
Таблица результатов работы алгоритма
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
РНАЧ( v)
|
0
|
0
|
16
|
0
|
26
|
47
|
47
|
47
|
52
|
59
|
64
|
РВЫП( v )
|
0
|
16
|
26
|
32
|
47
|
52
|
61
|
57
|
59
|
64
|
64
|
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=64. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени Ва наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
|
Действия, выполняемые шагом
|
1
|
Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т
Текущая вершина v k =11
|
2
|
ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 64}
|
3
|
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(7) стало равным 64}
ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(8) стало равным 64}
ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(9) стало равным 64}
|
4
|
Текущая вершина v k =10
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 59}
|
3
|
ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(10)} {ПВЫП(9) стало равным 59}
|
4
|
Текущая вершина v k =9
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 52}
|
3
|
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(6) стало равным 52}
|
4
|
Текущая вершина v k =8
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 54}
|
3
|
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(5) стало равным 54}
|
4
|
Текущая вершина v k =7
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 50}
|
3
|
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 50}
ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(4) стало равным 50}
|
4
|
Текущая вершина v k =6
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 47}
|
3
|
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 47}
|
4
|
Текущая вершина v k =5
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 26}
|
3
|
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 26}
|
4
|
Текущая вершина v k =4
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 18}
|
3
|
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(1) стало равным 18}
|
4
|
Текущая вершина v k =3
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 16}
|
3
|
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 16}
|
4
|
Текущая вершина v k =2
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
|
3
|
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
|
4
|
Текущая вершина v k =1
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
|
3
|
Переход в Шаг 4
|
4
|
Переход в Шаг 6
|
6
|
Конец работы алгоритма, выдача значений времени Ва наиболее позднего начала и выполнения работ
|
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы
|
РНАЧ
|
РВЫП
|
ПНАЧ
|
ПВЫП
|
Резерв
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
0
|
16
|
0
|
16
|
0
|
3
|
16
|
26
|
16
|
26
|
0
|
4
|
0
|
32
|
18
|
50
|
32
|
5
|
26
|
47
|
26
|
47
|
0
|
6
|
47
|
52
|
47
|
52
|
0
|
7
|
47
|
61
|
50
|
64
|
3
|
8
|
47
|
57
|
54
|
64
|
10
|
9
|
52
|
59
|
52
|
59
|
0
|
10
|
59
|
64
|
59
|
64
|
0
|
11
|
59
|
64
|
64
|
64
|
0
|
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=64
Пример 3 : Проект склада сажи и других материалов в помещение производственного цеха
n
|
Наименование работы
|
Предшествующие работы
|
Время выполнения t ( v k )
|
1
|
Начало проекта (фиктивная работа)
|
Нет
|
0
|
2
|
Монтаж металлоконструкций нижней обвязки каркаса
|
1
|
5
|
3
|
Устройство бетона под стойки
|
2
|
3
|
4
|
Монтаж стоек
|
3
|
10
|
5
|
Монтаж опорных столиков
|
4
|
5
|
6
|
Монтаж балок
|
2
|
7
|
7
|
Монтаж металлоконструкций ворот
|
6
|
7
|
8
|
Обшивка стен и кровли волнистым листом
|
6
|
12
|
9
|
Монтаж козлового крана
|
7
|
5
|
10
|
Устройство асфальтобетонных покрытий
|
8
|
5
|
11
|
Конец проекта (фиктивная работа)
|
5,9,10
|
0
|
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
|
Действия, выполняемые шагом
|
1
|
Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равным нулю
Текущая вершина v k =1
|
2
|
Вершин предшествующей первой нет
Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1)
|
3
|
Текущая вершина v k =2
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0}
РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5}
|
3
|
Текущая вершина v k =3
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5}
РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 8}
|
3
|
Текущая вершина v k =4
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)} {РНАЧ(4) стало равным 8}
РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 18}
|
3
|
Текущая вершина v k =5
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(5)} {РНАЧ(5) стало равным 18}
РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 23}
|
3
|
Текущая вершина v k =6
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(6)={РВЫП(2),РНАЧ(6)} {РНАЧ(6) стало равным 5}
РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 12}
|
3
|
Текущая вершина v k =7
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)} {РНАЧ(7) стало равным 12}
РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 19}
|
3
|
Текущая вершина v k =8
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 12}
РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 24}
|
3
|
Текущая вершина v k =9
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(9)} {РНАЧ(9) стало равным 19}
РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 24}
|
3
|
Текущая вершина v k =10
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(10)} {РНАЧ(10) стало равным 24}
РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 29}
|
3
|
Текущая вершина v k =11
|
4
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)} {РНАЧ(11) стало равным 24}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(10)}{РНАЧ(11) стало равным 29}
РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 29}
|
3
|
Переход в Шаг 5
|
5
|
Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ
|
Таблица результатов работы алгоритма
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
РНАЧ( v )
|
0
|
0
|
5
|
8
|
18
|
5
|
12
|
12
|
19
|
24
|
29
|
РВЫП( v)
|
0
|
5
|
8
|
18
|
23
|
12
|
19
|
24
|
24
|
29
|
29
|
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=29. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени Ва наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
|
Действия выполняемые шагом
|
1
|
Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т
Текущая вершина v k =11
|
2
|
ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 29}
|
3
|
ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 29}
ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 29}
|
4
|
Текущая вершина v k =10
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 24}
|
3
|
ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(8) стало равным 24}
|
4
|
Текущая вершина v k =9
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 24}
|
3
|
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(7) стало равным 24}
|
4
|
Текущая вершина v k =8
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 12}
|
3
|
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(6) стало равным 12}
|
4
|
Текущая вершина v k =7
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 17}
|
3
|
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 12}
|
4
|
Текущая вершина v k =6
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 5}
|
3
|
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
|
4
|
Текущая вершина v k =5
|
5
|
Переход в шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 24}
|
3
|
ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(4) стало равным 24}
|
4
|
Текущая вершина v k =4
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 14}
|
3
|
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 14}
|
4
|
Текущая вершина v k =3
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 11}
|
3
|
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
|
4
|
Текущая вершина v k =2
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
|
3
|
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
|
4
|
Текущая вершина v k =1
|
5
|
Переход в Шаг 2
|
2
|
ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
|
3
|
Переход в Шаг 4
|
4
|
Переход в Шаг 6
|
6
|
Конец работы алгоритма, выдача значений времени Ва наиболее позднего начала и выполнения работ
|
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы
|
РНАЧ
|
РВЫП
|
ПНАЧ
|
ПВЫП
|
Резерв
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
0
|
5
|
0
|
5
|
0
|
3
|
5
|
8
|
11
|
14
|
3
|
4
|
8
|
18
|
14
|
24
|
10
|
5
|
18
|
23
|
24
|
29
|
5
|
6
|
5
|
12
|
5
|
12
|
0
|
7
|
12
|
19
|
17
|
24
|
7
|
8
|
12
|
24
|
12
|
24
|
0
|
9
|
19
|
24
|
24
|
29
|
5
|
10
|
24
|
29
|
24
|
29
|
0
|
11
|
29
|
29
|
29
|
29
|
0
|
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 6, 8, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=29
Список используемой литературы:
Ва
1. Асанов М. О. ВлДискретная оптимизацияВ», УралНАУКА, Екатеринбург 1998
Вместе с этим смотрят:
Симметричные криптосистемыСимметрия и асимметрияСистема философии математики АристотеляСтруктура аффинного пространства над телом