Уравнение движения автоколебательной системы
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Ва
Введение
Ва
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Ва Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" Ва автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать ВаВа случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову"
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, ВаВаВа с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре
В Вз 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; Вз 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в Вз 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в Вз 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль
Ва
Вз 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
Ва
Ва
Ва При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Ва
Рассмотрим случай, когда ВаВа m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
Начальные условия Ва выберем так:
F 2 - степенной ряд по b 1 b 2 , m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):
Ва
Сравнивая коэффициенты при Ва ВаВа b 1 b 2 , m Ва получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3)
Ва
Ва
Решая задачи Коши, получим:
Ва
Ва
Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы
Ва
Ва Ва Введем обозначения Ва ; для остальных функций аналогично
Тогда (6) запишется в виде:
Ва
Ва
Если в этой системе можно b 1 b 2 Ва представить в виде функции Ва m так, чтобы b 1 b 2 , m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых Ва m служит неравенство 0 Якобиана.
Ва
Ва Ва В нашем случае:
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых Ва m и любых f . Искомое периодическое решение может быть найдено в виде
Ва
Вз 2 Исследование устойчивости периодического решения
Ва
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф( t ) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x Ва и x '
Ва
Воспользуемся тем фактом, что Ф ( t ) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:
Ва
Ва Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде Ва Ва функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и Ва x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом
; аналогичным образом можно показать, что ВаВа (11)
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по Ва m
Ва
Ва
будем искать в виде: ВаВа Ва (12)
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:
Ва
Начальные условия для А о , В о , тАж. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим
Ва
Для В ' о и В о аналогично. Для остальных Ва же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:
Ва
(14)
Ва
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
Ва
(15)
Ва
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
Ва
Ва
S 1 , S 2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф ( t ). a 1 , a 2 - характеристические показатели
Если все ВаВа ВаВа , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого Ва приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения: Ва
Ва
Ва =0 (16) Ва Полагаем Ва ;
Ва
Ва
Ва
Тогда определитель будет:
Ва
Ва
Ва
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R e ( a ), Ва или что все равно ч l ч . Если ч l ч < 1 имеет место устойчивость ч l ч Ва = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч l ч > 1 имеет место неустойчивость
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р 2 ; q < р 2 ; В первом случае Ва l -комплексные; РЕ l 2 РЕ = q ; (20) если q <1; устойчивость q >1 - неустойчивость
Случай второй - l - действительные: Ва ; (21) устойчивость соответствует Ва p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) Ва (12)
Ва
(22)
Если принять во внимание (15)
Ва
(22 a )
Ва
(23)
Ва
Мы видим, что при достаточно малом m и w № n ; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной Ва q Ва и следовательно знаком b , если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость
В нашем случае b имеет вид:
ВаВаВаВа (23 a )
Ва
Вз 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда l = m l о ; w 2 = 1+ a о m , (24) ( a о , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a о № 0)
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
Ва
Ва (25)
Ва
При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
Ва
Ва (27);
Ва
Начальные условия возьмем как и раньше:
Ва
Ва
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая Ва коэффициенты при b 1 b 2 , m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A , B , C , D , E , F . ВаВа Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27)
Ва
Ва (29)
Ва
Запишем условия периодичности для (27):
Ва
Делим на m :
Ва
ВаВа ( 30 a )
Ва
Необходимым условием существования периодического решения является:
Ва
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :
Ва
Ва
(31)
Ва
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. Вз 1)
Ва
Ва
D , Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить Ва b 1, b 2 , в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в Вз 1 представить в виде ряда
Ва
(33)
Ва
P , Q -определяются формулами (31) (32)
Ва
Ва Вз 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Ва
Аналогично тому, как мы это делали в Вз 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33)
Ва
Ва
Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами Вз 2, приняв :
ВаВа
Из формул (22) Ва ВаВа Ва (34) , тогда Ва D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:
Ва
Ва
Ва (36)
Ва
;
Тогда, зная функцию f , мы можем вычислить Ва D в виде функции Ва P , Q и a о
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
Ва
Ва ; Ва (37)
Ва
Опираясь на результаты исследования, полученных в Вз 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )
Ва
1) Ва p 2 - q < 0 Ва
2) Ва p 2 - q > 0 Ва
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0
Во втором случае Ва (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а Ва D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, ВаВа D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) )
Ва
Ва
Вз 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р о sin w 1 t
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
Ва (39)
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
(40)
S -крутизна характеристики, К - напряжение насыщения Ва
Далее, вводя обозначения:
Получим дифференциальное уравнение для х:
ВаВа (41)
Ва
А: (случай далекий от резонанса)
Для него применяем результаты Вз 1, полагая
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
Если w > 1, т.е. w о > w 1 , то разность фаз равна 0, если Ва w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b ( b < 0). Ва
Ва
(42)
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы
Ва
В: Ва (область резонанса , Вз 3, 4)
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t ВаВаВа ( P , Q - const )
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q , т.е. соотношение (31) для нашего случая
Ва
Ва
Или преобразовав их, получим следующее:
Ва
Ва
Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, Ва в близости Ва к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :
Ва
Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, ВаВа D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37)
(46)
Ва
Ва
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). Ва В заключение выпишем формулы для вычисления a о, соответствующего ВаВаВа ширине захватывания для рассматриваемого случая
Ва
1)
a 0 - является общим корнем уравнений
Ва
Ва
2)
Ва
Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания Ва до другой выражается следующим образом: D w = a о w 2 о ( MS - c r ). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) l 2 о << 1; ВаВа D w = w о Р о / V о g
б) для очень сильных сигналов ВаВа ( V о g - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы)
Ва
Ва Список литературы
Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956
Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956
Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892
Вместе с этим смотрят:
Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волнаФилософские проблемы математикиФормирование познавательных интересов в обученииФормулы по алгебре