Вопрос о взаимосвязи математики и философии

ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи - многие велиВнкие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия филосоВнфии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппаВнрата философии для проведения исследований в данной области; матемаВнтика же, несомненно, более всего среди точных наук поддается филоВнсофскому анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогВнрессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление.

Совместный путь математики и философии начался в Древней ГреВнции около VI века до н.э. Не стесненное рамками деспотизма, гречесВнкое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия. В этой работе я попытался просВнледить за процессом формирования, развития и взаимного влияния матеВнматики и философии Древней Греции, а также привести различные точки зрения на движущие силы и результаты этого процесса.

Известно, что греческая цивилизация на начальном этапе своего развития отталкивалось от цивилизации древнего Востока. Каково же было математическое наследство, полученное греками?

Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что в Древнем Египте были сильно отрасли математики, связанные с реВншением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н.э.) наВнчинался с обещания научить "совершенному и основательному исследоваВннию всех вещей, пониманию их сущностей, познанию всех тайн". ФактиВнчески излагается искусство вычисления с целыми числами и дробями, в которое посвящались государственные чиновники для того, чтобы уметь решать широкий круг практических задач, таких, как распределение заВнработной платы между известным числом рабочих, вычисление количества зерна для приготовления такого-то количества хлеба, вычисление поВнверхностей и объемов и т.д. Дальше уравнений первой степени и просВнтейших квадратных уравнений египтяне, по-видимому, не пошли. Все соВндержание известной нам египетской математики убедительно свидетельВнствует, что математические знания египтян предназначались для удовВнлетворения конкретных потребностей материального производства и не могли сколько-нибудь серьезно быть связанными с философией.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались заВндачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившиеся документы показывают, что, основываясь на 60-ричной системе счислеВнния, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имеВнлись таблицы квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила суммирования прогрессий. Замечательные результаты были получены в области числовой алгебры. Хотя вавилоняне и не знали алгебраической символики, но решение задач проводилось по плану, задачи сводились к единому "нормальному" виду и затем решались по общим правилам, приВнчем истолкование преобразований "уравнения" не связывалось с конкВнретной природой исходных данных. Встречались задачи, сводящиеся к решению уравнений третьей степени и особых видов уравнений четверВнтой, пятой и шестой степени.

Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная эволюция знаний. Эти же черты обнаружиВнваются и в философии, мифологии, религии Востока. Как писал по этому поводу Э.Кольман, "в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения".

Анализ древнегреческой математики и философии следует начать с милетской математической школы, заложившей основы математики как доВнказательной науки.

Милетская школа

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских предсВнтавлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э.; основными деятелями ее являлись Фалес (ок. 624-547 гг. до н.э.), Анаксимандр (ок. 610-546 гг. до н.э.) и Анаксимен (ок. 585-525 гг. до н.э.). Рассмотрим на примере милетской школы основные отличия греческой науки от догреческой и проанализируем их.

Если сопоставить исходные математические знания греков с достиВнжениями египтян и вавилонян, то вряд ли можно сомневаться в том, что такие элементарные положения, как равенство углов у основания равноВнбедренного треугольника, открытие которого приписывают Фалесу МиВнлетскому, не были известны древней математике. Тем не менее, гречесВнкая математика уже в исходном своем пункте имела качественное отлиВнчие от своих предшественников.

Ее своеобразие заключается прежде всего в попытке систематичесВнки использовать идею доказательства. Фалес стремится доказать то, что эмпирически было получено и без должного обоснования использоваВнлось в египетской и вавилонской математике. Возможно, в период наиВнболее интенсивного развития духовной жизни Вавилона и Египта, в пеВнриод формирования основ их знаний изложение тех или иных математиВнческих положений сопровождалось обоснованием в той или иной форме. Однако, как пишет Ван дер Варден, "во времена Фалеса египетская и вавилонская математика давно уже были мертвыми знаниями. Можно было показать Фалесу, как надо вычислять, но уже неизвестен был ход расВнсуждений, лежащих в основе этих правил".

Греки вводят процесс обоснования как необходимый компонент маВнтематической действительности, доказательность действительно являетВнся отличительной чертой их математики. Техникой доказательства ранВнней греческой математики как в геометрии, так и в арифметике первоВнначально являлась простая попытка придания наглядности. Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметике было доказательВнство при помощи камешков, в геометрии - путем наложения. Но сам факт наличия доказательства говорит о том, что математические знания воспринимаются не догматически, а в процессе размышления. Это, в свою очередь, обнаруживает критический склад ума, уверенность (может быть, не всегда осознанную), что размышлением можно установить праВнвильность или ложность рассматриваемого положения, уверенность в сиВнле человеческого разума.

Греки в течении одного-двух столетия сумели овладеть математиВнческим наследием предшественников, накопленного в течении тысячелеВнтий, что свидетельствует об интенсивности, динамизме их математичесВнкого познания. Качественное отличие исследований Фалеса и его послеВндователей от догреческой математики проявляется не столько в конкВнретном содержании исследованной зависимости, сколько в новом способе математического мышления. Исходный материал греки взяли у предшестВнвенников, но способ усвоения и использования этого материала был ноВнвый. Отличительными особенностями их математического познания являВнются рационализм, критицизм, динамизм.

Эти же черты характерны и для философских исследований милетсВнкой школы. Философская концепция и совокупность математических полоВнжений формируется посредством однородного по своим общим характерисВнтикам мыслительного процесса, качественно отличного от мышления предшествующей эпохи. Как же сформировался этот новый способ восприВнятия действительности? Откуда берет свое начало стремление к научноВнму знанию?

Ряд исследователей объявляет отмеченные выше характеристики мыслительного процесса "врожденными особенностями греческого духа". Однако эта ссылка ничего не объясняет, так как непонятно, почему тот же "греческий дух" по прошествии эпохи эллинизма теряет свои качестВнва. Можно попробовать поискать причины такого миропонимания в социВнально-экономической сфере.

Иония, где проходила деятельность милетской школы, была достаВнточно развитой в экономическом отношении областью. Поэтому именно она прежде прочих вступила на путь низвержения первобытно-общинного строя и формирования рабовладельческих отношений. В VIII-VI вв. до н.э. земля все больше сосредотачивалась в руках крупной родовой знаВнти. Развитие ремесленного производства и торговли еще в большей мере ускоряло процесс социально-имущественного расслоения. Отношения межВнду аристократией и демосом становятся напряженными; со временем эта напряженность перерастает в открытую борьбу за власть. Калейдоскоп событий во внутренней жизни, не менее изменчивая внешняя обстановка формируют динамизм, живость общественной мысли.

Напряженность в политической и экономической сферах приводит к столкновениям в области религии, поскольку демос , еще не сомневаясь в том, что религиозные и светские установления вечны, так как даны богами, требует, чтобы они были записаны и стали общедоступными, ибо правители искажают божественную волю и толкуют ее по-своему. Однако нетрудно понять, что систематическое изложение религиозных и мифолоВнгических представлений (попытка такого изложения была дана Гесиодом) не могло не нанести серьезного удара религии. При проверке религиозВнных измышлений логикой первые, несомненно, показались бы конгломераВнтом нелепостей.

"Таким образом, материалистическое мировоззрение Фалеса и его последователей не является каким-то загадочным, не от мира сего поВнрождением "греческого духа". Оно является продуктом вполне опредеВнленных социально-экономических условий и выражает интересы историВнчески-конкретных социальных сил, прежде всего торгово-ремесленных слоев общества"-пишет О.И.Кедровский.

На основании всего вышеперечисленного еще нельзя с большой увеВнренностью утверждать, что именно воздействие мировоззрения явилось решающим фактором для возникновения доказательства; не исключено ведь, что это произошло в силу других причин: потребностей произВнводства, запросов элементов естествознания, субъективных побуждений исследователей. Однако можно убедиться, что каждая из этих причин не изменила принципиально своего характера по сравнению с догреческой эпохой непосредственно не приводит к превращению математики в докаВнзательную науку. Например, для удовлетворения потребностей техники было вполне достаточно практической науки древнего Востока, в спраВнведливости положений которой можно было убедиться эмпирически. Сам процесс выявления этих положений показал, что они дают достаточную для практических нужд точность.

Можно считать одним из побудительных мотивов возникновения доВнказательства необходимость осмысления и обобщения результатов предВншественников. Однако и этому фактору не принадлежит решающая роль, так как, например, существуют теории, воспринимаемые нами как очеВнвидные, но получившие строгое обоснование в античной математике (например, теория делимости на 2).

Появление потребности доказательства в греческой математике поВнлучает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействие миВнровоззрения на развитие математики. В этом отношении греки сущестВнвенно отличаются от своих предшественников. В их философских и матеВнматических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разуВнма, критическое отношение к достижениям предшественников, динамизм мышления. У греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживаюВнщего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появлеВнние новой, мировоззренческой функции науки. Фалес и его последоватеВнли воспринимают математические достижения предшественников прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них

- нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. ОтВндельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в наВнтурфилософскую систему и здесь выполняют роль антипода мифологичесВнким и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элеВнментов философской системы была недостаточной в силу общности их хаВнрактера и скудности подтверждающих их фактов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельВнными положениями можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических полоВнжений.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА

На основании данного выше исследования милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математиВнческого познания только при радикальном изменении социально-экономиВнческих условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том, влияет ли изменение философской основы жизни общества на развиВнтие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеВнологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попыВнтаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на проВнтяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н. э. и прошел в своем развитии ряд этапов. Вопрос о их временной длительВнности сложен и до сих пор не решен однозначно. Основоположником шкоВнлы был Пифагор Самосский (ок. 580-500 до н.э.). Ни одна строка, наВнписанная Пифагором, не сохранилась; вообще неизвестно, прибегал ли он к письменной передаче своих мыслей.Что было сделано самим ПифагоВнром, а что его учениками, установить очень трудно. Свидетельства о нем древнегреческих авторов противоречивы; в какой-то мере различные оценки его деятельности отражают многообразие его учения.

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифаВнгорейский образ жизни") и теоретическую (определенная совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определенное душевВнное состояние и лишь потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиВнозными течениями у пифагорейцев были специфические представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы соВнвершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выВнполнение определенного морального кодекса, "пифагорейский образ жизВнни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и научныВнми исследованиями.

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практиВнческой. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство освобождения души из круга рождений, а их результаты стреВнмились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешаны с мистикой, религиозными и мифолоВнгическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.

Основными объектами научного познания у пифагорейцев были матеВнматические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспомВнним знаменитое "Число есть сущность всех вещей"). Видное место отвоВндилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях. Пифагорейцами была построена значительная часть планиВнметрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки докаВнзывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорейВнцам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников.

Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этиВнческие, социальные и религиозные понятия получили математическую окВнраску. Науке о числах и других математических объектах отводится осВнновополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически маВнтематика объявляется философией. Как писал Аристотель, "..у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что сущестВнвует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды.. У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств.. НаприВнмер, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаВнев точно также. "

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейсВнкой и милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как первоВнсущность мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических объектов. Кроме того, математика превращена пифагоВнрейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец, пифагорейцы ограничивают область математичесВнких объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие глобальные расхождения в понимании приВнроды математических объектов у школ, существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою мудрость, по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока? Впрочем, Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельносВнти, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая деяВнтельность этих школ носила существенно различный характер.

Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой математики: "Так называемые пифагорейцы, занявшись математиВнческими науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей." Подобна точка зрения не лишеВнна основания хотя бы в силу применимости математических положений для выражения отношений между различными явлениями. На этом основаВннии можно, неправомерно расширив данный момент математического позВннания, прийти к утверждению о выразимости всего сущего с помощью маВнтематических зависимостей, а если считать числовые отношения универВнсальными, то "число есть сущность всех вещей". Кроме того, ко времеВнни деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь историВнческого развития; процесс формирования ее основных положений терялся во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к суВнществующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.

В советской философской науке проблема появления пифагорейской концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций марксистско-ленинской философии. Так, О.И.Кедровский пишет: "..ВыВнработанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных социальных слоев общества. Это были ..предстаВнвители аристократии, теснимые демосом.. Для них характерно стремлеВнние уйти от тягот земной жизни, обращение к религии и мистике". Эта точка зрения, как и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейсВнкого учения следует связывать в первую очередь не с вырождением аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев извратить саму природу процесса математического познания, лишив математику таких важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удерВнжать прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвяВнщенных. Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий принцип "число есть сущность всех вещей", открыв, что отношение диаВнгонали и стороны квадрата не выражается посредством целых чисел.

Таким образом,уже в исходном пункте своего развития теоретиВнческая математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мироВнвоззрения - материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что наряду с влиянием мировоззрения на развитие математиВнческого познания имеет место и обратное воздействие.

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия доВнстаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представиВнтелями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в.  до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные сисВнтемы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть тольВнко бытие, небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие;

3)Бытие и небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку. Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множественВнность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказательВнств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения; например, "движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до полоВнвины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.".

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения "здравого смысла", выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на сосВнтавные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструиВнровать исходные положения, которые он взял за основу своей концепВнции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке фундаментальные философские представления существенно опираВнлись на математические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяВнженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлеВнний с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему маВнтематических знаний. Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого несомненно истинными, в свете зеноновских постВнроений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности, соотношение между непрерывным и прерывВнным и т.п. Они обратили внимание математиков на непрочность фундаВнмента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.

Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль матемаВнтики в формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогВнрессии. На этом основании советский историк математики Э. Кольман сделал предположение, что "именно на математический почве суммироваВнния таких прогрессий и выросли логико-философские апории Зенона". Однако такое предположение, по-видимому, лишено достаточных основаВнний, так как оно слишком жестко связывает учение Зенона с математиВнкой при том, что имеющие исторические данные не дают основания утВнверждать, что Зенон вообще был математиком.

Огромное значение для последующего развития математики имело повышение уровня абстракции математического познания, что произошло в большой степени благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой проявления этого процесса было возникновение косвенного доказательВнства ("от противного"), характерной чертой которого является доказаВнтельство не самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким образом был сделан шаг к становлению математики как дедуктивной науВнки, созданы некоторые предпосылки для ее аксиоматического построеВнния.

Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным толчком для принципиально новой постановки важнейших методоВнлогических вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения качественно новой формы обоснования математических знаний.

ДЕМОКРИТ

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существоВнвания математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разреВншались противоречия, выявленные Зеноном ?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абсВнтракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается пряВнмой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;бесконечную делимость, посВнкольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практиВнчески упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее быВнло построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу реВншил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит бал, по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочинеВнний, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не устаВнновил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других".

Вводной частью научной системы Демокрита была "каноника", в коВнторой формулировались и обосновывались принципы атомистической филоВнсофии. Затем следовала физика, как наука о различных проявлениях быВнтия, и этика. Каноника входила в физику в качестве исходного раздеВнла, этика же строилась как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается различие между "подлинно сущим" и тем, что существует только в "общем мнении". Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно сущее, пустота (небытие) есть таВнкая же реальность, как атомы (бытие). "Великая пустота" безгранична и заключает в себе все существующее, в ней нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и возможным ее движеВнние. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам, размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной тверВндости и отсутствия в них пустоты и "по величине неделимы". Атомам самим по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие котоВнрого определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и в конечном итоге является причиной всех изменений в мире.

Задача научного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемые явления свести к области "истинного сущего" и дать им объяснение исВнходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто посВнредством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: "Демокрит не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естестВнвоиспытателем". Содержание исходных философских принципов и гносеоВнлогические установки определили основные черты научного метода ДеВнмокрита:

а) В познании исходить от единичного;

б) Любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ) и объяснимы исходя из них (синтез);

в) Различать существование "по истине" и "согласно мнению";

г) Явления действительности - это отдельные фрагменты упорядоВнченного космоса, который возник и функционирует в результате дейсВнтвий чисто механической причинности.

Математика по праву должна считаться у Демокрита первым раздеВнлом собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В самом деле, атомы качественно однородны и их первичные свойства имеВнют количественный характер. Однако было бы неправильно трактовать учение Демокрита как разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит хотя и сохраняет идею господства в мире математической закономерносВнти, но выступает с критикой априорных математических построений пиВнфагорейцев, считая, что число должно выступать не законодателем приВнроды, а извлекаться из нее. Математическая закономерность выявляется Демокритом из явлений действительности, и в этом смысле он предвосВнхищает идеи математического естествознания. Исходные начала материВнального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как матеВнматические объекты, и в соответствии с этим математике отводится видное место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах вещей. Однако включение математики в основание мировоззренческой системы потребовало ее перестройки, приведения математики в соотВнветствие с исходными философскими положениями, с логикой, гносеолоВнгией, методологией научного исследования. Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией математического атомизВнма, оказалась существенно отличной от предыдущих.

У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки) выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости, линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процедуВнрой математического атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики (плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки (линии), линий - на мельчайшие зернышки (атомы). Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далее неделим. Теперь длина линии опВнределяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в теВнле. Число атомов в конечном объеме пространства не бесконечно, хотя и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак, главным отличием учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание им бескоВннечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности теВноретических построений математики, не сводя их к чувственно восприВннимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения ПротаВнгора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему, что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительносВнти же этот участок настолько мал, что не поддается чувственному анаВнлизу, а относится к области истинного познания.

Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит проводит ряд конкретных математических исследований и достигает выВндающихся результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Кроме того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немалоВнважную роль в доказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пиВнрамиды. Нельзя с уверенностью сказать, пользовался ли он при решении этой задачи методами анализа бесконечно малых. А.О.Маковельский пиВншет: "Демокрит вступил на путь, по которому дальше пошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечно малого, ДеВнмокрит не сделал последнего решительного шага. Он не допускает безгВнраничного увеличения числа слагаемых, образующих в своей сумме данВнный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, не поддающееся исВнчислению вследствие своей огромности число этих слагаемых".

Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о построении теоретической математики как системы. В зародышеВнвой форме она представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая затем была развита в методологическом плане ПлаВнтоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.

ПЛАТОНОВСКИЙ ИДЕАЛИЗМ

Сочинения Платона (427-347 гг. до н.э.) - уникальное явление в отношении выделения философской концепции. Это высокохудожественное, захватывающее описание самого процесса становления концепции, с сомВннениями и неуверенностью, подчас с безрезультатными попытками разреВншения поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многоВнчисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона каВнкой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так как приходится реконструировать мысли Платона из отдельных высказыВнваний, которые настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою противоположность.

Платон неоднократно высказывал свое отношение к математике и она всегда оценивалась им очень высоко: без математических знаний "человек с любыми природными свойствами не станет блаженным", в своВнем идеальном государстве он предполагал "утвердить законом и убедить тех, которые намереваются занять в городе высокие должности, чтобы они упражнялись в науке счисления". Систематическое широкое испольВнзование математического материала имеет место у Платона, начиная с диалога "Менон", где Платон подводит к основному выводу с помощью геометрического доказательства. Именно вывод этого диалога о том, что познание есть припоминание, стал основополагающим принципом плаВнтоновской гносеологии.

Значительно в большей мере, чем в гносеологии, влияние матемаВнтики обнаруживается в онтологии Платона. Проблема строения материВнальной действительности у Платона получила такую трактовку: мир веВнщей, воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно сущестВнвующего; вещи непрерывно возникают и погибают. Истинным бытием облаВндает мир идей, которые бестелесны, нечувственны и выступают по отноВншению к вещам как их причины и образы, по которым эти вещи создаютВнся. Далее, помимо чувственных предметов и идей он устанавливает маВнтематические истины, которые от чувственных предметов отличаются тем, что вечны и неподвижны, а от идей - тем, что некоторые матемаВнтические истины сходна друг с другом, идея же всякий раз только одВнна. У Платона в качестве материи началами являются большое и малое, а в качестве сущности - единое, ибо идеи (они же числа) получаются из большого и малого через приобщение их к единству. Чувственно воспринимаемый мир, согласно Платону, создан Богом. Процесс построеВнния космоса описан в диалоге "Тимей". Ознакомившись с этим описаниВнем, нужно признать, что Создатель был хорошо знаком с математикой и на многих этапах творения существенно использовал математические поВнложения, а порой и выполнял точные вычисления.

Посредством математических отношений Платон пытался охарактериВнзовать и некоторые явления общественной жизни, примером чего может служить трактовка социального отношения "равенство" в диалоге "ГорВнгий" и в "Законах". Можно заключить, что Платон существенно опирался на математику при разработке основных разделов своей философии: в концепции "познание - припоминание", учении о сущности материального бытия, об устройстве космоса, в трактовке социальных явлений и т.д. Математика сыграла значительную роль в конструктивном оформлении его философской системы. Так в чем же заключалась его концепция матемаВнтики?

Согласно Платону, математические науки (арифметика, геометрия, астрономия и гармония) дарованы человеку богами, которые "произвели число, дали идею времени и возбудили потребность исследования всеВнленной". Изначальное назначение математики в том, чтобы "очищался и оживлялся тот орган души человека, расстроенный и ослепленный иными делами", который "важнее, чем тысяча глаз, потому что им одним соВнзерцается истина". "Только никто не пользуется ею (математикой) праВнвильно, как наукою, влекущей непременно к сущему". "Неправильность" математики Платон видел прежде всего в ее применимости для решения конкретных практических задач. Нельзя сказать, чтобы он вообще отриВнцал практическую применимость математики. Так, часть геометрии нужна для "расположения лагерей", "при всех построениях как во время самих сражений, так и во время походов". Но, по мнению Платона, "для таких вещей ..достаточна малая часть геометрических и арифметических выкВнладок, часть же их большая, простирающаяся далее, должна ..способсВнтвовать легчайшему усвоению идеи блага". Платон отрицательно отзыВнвался о тех попытках использования механических методов для решения математических задач, которые имели место в науке того времени. Его неудовлетворенность вызывало также принятое современниками понимание природы математических объектов. Рассматривая идеи своей науки как отражение реальных связей действительности, математики в своих исВнследованиях наряду с абстрактными логическими рассуждениями широко использовали чувственные образы, геометрические построения. Платон всячески старается убедить, что объекты математики существуют обоВнсобленно от реального мира, поэтому при их исследовании неправомерно прибегать к чувственной оценке.

Таким образом, в исторически сложившейся системе математических знаний Платон выделяет только умозрительную, дедуктивно построенную компоненту и закрепляет за ней право называться математикой. История математики мистифицируется, теоретические разделы резко противопосВнтавляются вычислительному аппарату, до предела сужается область приВнложения. В таком искаженном виде некоторые реальные стороны матемаВнтического познания и послужили одним из оснований для построения системы объективного идеализма Платона. Ведь сама по себе математика к идеализму вообще не ведет, и в целях построения идеалистических систем ее приходится существенно деформировать.

Вопрос о влиянии, оказанном Платоном на развитие математики, довольно труден. Длительное время господствовало убеждение, что вклад Платона в математику был значителен. Однако более глубокий анализ привел к изменению этой оценки. Так, О.Нейгебауэр пишет: "Его собственный прямой вклад в математические знания, очевидно, был раВнвен нулю.. Исключительно элементарный характер примеров математиВнческих рассуждений, приводимых Платоном и Аристотелем, не подтвержВндает гипотезы о том, что Эвдокс или Теэтет чему-либо научились у Платона.. Его совет астрономам заменить наблюдения спекуляцией мог бы разрушить один из наиболее значительных вкладов греков в точные науки". Такая аргументация вполне убедительна; можно также соглаВнситься и с тем, что идеалистическая философия Платона в целом сыграВнла отрицательную роль в развитии математики. Однако не следует забыВнвать о сложном характере этого воздействия.

Платону принадлежит разработка некоторых важных методологичесВнких проблем математического познания: аксиоматическое построение маВнтематики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, проВнцесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд друВнгих положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.

Критика, которой подвергались методология и мировоззренческая система Платона со стороны математиков, при всей своей важности не затрагивала сами основы идеалистической концепции. Для замены разраВнботанной Платоном методологии математики более продуктивной систеВнмой нужно было подвергнуть критическому разбору его учение об идеях, основные разделы его философии и как следствие этого = его воззрение на математику. Эта миссия выпала на долю ученика Платона - АристотеВнля.

СИСТЕМА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ АРИСТОТЕЛЯ

К.Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н.э.) "величайшим фиВнлософом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исВнследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методоВнлогической основой деятельности многих поколений математиков.

Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значиВнтельный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоВнения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познаваВнтельной деятельности, включающего два основных раздела: "образованВнность" и "научное знание дела". Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению методологических проблем матеВнматики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математичесВнкого материала в качестве иллюстраций общих методологических положеВнний можно составить представление о том, каков был его идеал построВнения системы математических знаний.

Исходным этапом познавательной деятельности, согласно АристотеВнлю, является обучение, которое "основано на (некотором) уже ранее имеющемся знании.. Как математические науки, так и каждое из прочих искусств приобретается (именно) таким способом". Для отделения знаВнния от незнания Аристотель предлагает проанализировать "все те мнеВнния, которые по-своему высказывали в этой области некоторые мыслитеВнли" и обдумать возникшие при этом затруднения. Анализ следует провоВндить с целью выяснения четырех вопросов: "что (вещь) есть, почему (она) есть, есть ли (она) и что (она) есть".

Основным принципом, определяющим всю структуру "научного знания дела", является принцип сведения всего к началам и воспроизведения всего из начал. Универсальным процессом производства знаний из наВнчал, согласно Аристотелю, выступает доказательство. "Доказательством же я называю силлогизм, - пишет он, - который дает знания". ИзложеВннию теории доказательного знания полностью посвящен "Органон" АрисВнтотеля. Основные положения этой теории можно сгруппировать в раздеВнлы, каждый из которых раскрывает одну из трех основных сторон матеВнматики как доказывающей науки: "то, относительно чего доказывается, то, что доказывается и то, на основании чего доказывается". Таким образом, Аристотель дифференцированно подходил к объекту, предмету и средствам доказательства.

Существование математических объектов признавалось задолго до Аристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они наВнходятся в чувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их суВнществующими отдельно. Согласно Аристотелю:

1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как "находиться в том же самом месте два тела не в состоянии";

2. "Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обоВнсобленно".

Аристотель считал предметом математики "количественную опредеВнленность и непрерывность". В его трактовке "количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из котоВнрых ..является чем-то одним, данным налицо. То или другое количестВнво есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить". Множеством при этом называется то, "что в возможВнности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною - то, что делится на части непрерывные". Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как "оно относится к категории количества" и проявляется прежде всеВнго в непрерывном. "Что бесконечное существует, уверенность в этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин.; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так как необходимо, чтобы одно всегда граничило с друВнгим. Но больше всего -..на том основании, что мышление не останавВнливается: и число кажется бесконечным, и математические величины". Существует ли бесконечное как отдельная сущность или оно является акциденцией величины или множества? Аристотель принимает второй ваВнриант, так как "если бесконечное не есть ни величина, ни множество, а само является сущностью.., то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца". Невозможность математиВнческого бесконечного как неделимого следует из того, что математиВнческий объект - отвлечение от физического тела, а "актуально неделиВнмое бесконечное тело не существует". Число "как что-то отдельное и в то же время бесконечное" не существует, ведь "..если возможно пеВнресчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и бескоВннечное". Таким образом, бесконечность здесь в потенции существует, актуально же - нет.

Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель определяет непрерывность и прерывность. Так, "непрерывное есть само по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касаВнется его". Число как типично прерывное (дискретное) образование форВнмируется соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц. Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может образовать линию, так как "точкам, из которых было бы составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или каВнсаться друг друга". Но непрерывными они не будут: "ведь края точек не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части". Точки не могут и касаться друг друга, поскольку касаются "все предметы или как целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного".

Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходиВнмость его деления на всегда делимые части, установленные для величиВнны, Аристотель распространяет на движение, пространство и время, обосновывая (например, в "Физике") правомерность этого шага. С друВнгой стороны, он приходит к выводу, что признание неделимых величин противоречит основным свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметиВнки от геометрии.

"Началами.. в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал неВнобходимо принять, другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует приВннять); что единица и величина существует, также следует принять, другое - доказать". В вопросе о появлении у людей способности познаВнния начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона о врожВнденности таких способностей, но и не допускает возможности приобреВнтения их; здесь он предлагает следующее решение: "необходимо облаВндать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности в отношении точности". Но такая возможность, очеВнвидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают приВнрожденной способностью разбираться, которая называется чувственным восприятием. Формирование начал идет "от предшествующего и более изВнвестного для нас", то есть от того, что ближе к чувственному восприВнятию к "предшествующему и более известному безусловно" (таким являВнется общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из разных признаков.

Во-первых, он выделяет "начала, из которых (что-либо) доказываВнется, и такие, о которых (доказывается)". Первые "суть общие (всем начала)", вторые - "свойственные (лишь данной науке), например, чисВнло, величина". В системе начал общие занимают ведущее место, но их недостаточно, так как "среди общих начал не может быть таких, из коВнторых можно было бы доказать все". Этим и объясняется, что среди наВнчал должны быть "одни свойственны каждой науке в отдельности, другие

- общие всем". Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование объекта или наличие у неВнго некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные определения.

Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом постВнроения доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как данную, выделяют ее из ряда других наук. "То, что доказывается", можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доВнказывающий силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процесВнсов строится здание доказывающей науки в виде отдельно взятой теоВнрии. Из них же создается и наука как система теорий. Однако не всяВнкий набор доказательств образует теорию. Для этого он должен удовВнлетворять определенным требованиям, охватывающим как содержание доВнказываемых предложений, так и связи между ними. В пределах же научВнной теории необходимо имеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теВнории.

Хотя вопросы методологии математического познания и не были изВнложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философии матемаВнтики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе АрисВнтотеля с платоновым идеализмом; ведь "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, материВнализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познаВнния, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для АристоВнтеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.

Вместе с этим смотрят:

Вопросы по теории вероятностей
Выдающиеся личности в математике
Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Вычисление интеграла функции f(x)