Двойной интеграл в полярных координатах
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos φ, y = r sin φ. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки ΔSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и φ = φi (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Δrj = rj+1 - rj,
Δφi = φi+1 - φi
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки ΔSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjΔφi и Δrj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
ΔSi = rj Δφi Δrj (3)
Что касается ячеек ΔSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij ∃ Sij для простоты выберем вершину ячейки ΔSij с полярными координатами rj и φi. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos φi, yij = rj sin φi.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos φi, rj sin φi) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек ΔSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины φi и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oφr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosφ, r sinφ)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Δφi и Δri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dφ dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(φ), r1(φ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [α,β]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,φ) = rf(r cosφ, r sinφ)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам φ и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: φ=0,
φ=π/4, r cosφ=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем
Вместе с этим смотрят:
Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственностиДекартДесятично-двоичный сумматорДесятичные дроби