Евклид - жизнь и сочинения

ЕВКЛИД: ЖИЗНЬ И СОЧИНЕНИЯ

Спросите своего коллегу, или знакомого, или ученика: тАЬКакая древняя книга оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации?тАЭ. Не думаю, что ответы будут отличаться большим разнообразием, но вряд ли кто-нибудь вспомнит о тАЬНачалахтАЭ Евклида. А ведь именно по этой книге ( или по её обработкам ) учились все творцы современной математики: Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и ПонтрягинтАж Всех не перечислишь

Нельзя сказать, что в течение многих веков не появлялись другие своды математических знаний, но все они забывались и вновь вытеснялись тАЬНачаламитАЭ Евклида. С 1482 г. она издавалась более 500 раз на самых различных языках

Можно с уверенностью утверждать, что все современные так называемые точные науки выросли из древнегреческой науки, т.е. из тАЬНачалахтАЭ Евклида тАУ самого древнего свода математических знаний, дошедшего до нашего времени

Так кто же был Евклид? Исследователь, энциклопедист, методист? Увы, о жизни этого знаменитого учёного сохранилось крайне мало сведений. Годы его жизни относят к промежутку времени приблизительно между 365 и 300 гг. до н.э

Известно, что Евклид был приглашён в Александрию царём ПтолемеемВаI Сотером для организации математической школы и преподавал там математику. Известно, что он учился в платоновской Академии в Афинах

Итак, какие же труды Евклида нам известны?

Кроме тАЬНачалтАЭ до нас дошли, хотя и в сильно искажённом виде, трактаты тАЬОптикатАЭ и тАЬКатоптрикатАЭ. В тАЬОптикетАЭ Евклид формулирует и доказывает правило тАЬугол падения равен углу отражениятАЭ, а в тАЬКатоптрикетАЭ он выводит, опираясь на это правило, законы отражения от выпуклых и вогнутых зеркал. В этих трактатах содержится первое в истории изложение геометрической оптики. Кроме того, Евклиду принадлежит сочинение по математической астрономии тАЬЯвлениятАЭ, ему также приписывается сочинение тАЬСечение канонатАЭ по теории музыки

Во всех этих произведениях Евклид сначала постулирует некоторые свойства исследуемых объектов ( например, то, что свет распространяется по прямой ) и необходимые математические сведения, а затем на этой основе дедуктивно строит излагаемую теорию

Евклиду принадлежат сочинения о конических сечениях ( т.е. эллипсе, гиперболе, параболе ) и тАЬО поверхностных местахтАЭ, которые до нас дошли

В арабском переводе нам известно сочинение Евклида тАЬО делении фигуртАЭ

Но главным трудом Евклида, несомненно, являются тАЬНачалатАЭ ( в 13 книгах ). Он собрал и систематизировал современную ему математику, строго дедуктивно изложив её в этом объёмном труде

Ниже описаны наиболее интересные, с точки зрения современной математики, достижения Евклида и его предшественников, изложенные в тАЬНачалахтАЭ

Теорема Евклида

Предложение, о котором идёт речь, изложено в IX книге тАЬНачалтАЭ. Оно формулируется так:

множество простых чисел бесконечно

Доказательство очень просто: если бы множество всех простых чисел было конечным, то, перемножив их все и добавив единицу, мы получили бы новое число, которое не делится ни на одно из известных простых чисел и, следовательно, простое

Алгоритм Евклида

Всем известен алгоритм Евклида нахождения общей меры отрезков. Он состоит в следующем

Пусть есть два отрезка неравной длины A и В, причём, например, А больше В. Отложим отрезок В на отрезке А столько раз, сколько получится(Варис. 1 )

Тогда А=n 0 B + C 1 , где C 1 < В

Теперь берём отрезки В и C 1 и повторяем с ними ту же операцию: В=n 1 C 1 + C 2 , где C 2 < C 1 ( рис. 2 )

С 1

В В В

n 0 раз

( рис. 1 )

С 1 С 1 С 2

n 1 раз

( рис. 2 )

Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудь получим нулевой отрезок-остаток C m = n m+1 C m+1 + 0 отрезок C m+1 окажется общей мерой отрезков А и В, либо процесс откладывания отрезков никогда не закончится

В последнем случае говорят, что отрезки А и В несоизмеримы ( т.е. не имеют общей меры ). Числа n 0 , n 1 , тАж называются тАЬнеполными частнымитАЭ

Если обнаружена общая мера величин А и В и она равна некоторой величине D, то А= О»D , B =Ој D и отношение А и В есть отношение О» к Ој

Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно для чисел ( т.е. натуральных чисел ) и отдельно для отрезков ( величин )

Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находить общую меру ( НОД ) двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и тАЬокруглятьтАЭ рациональные числа

Теория отношений Евдокса

В тАЬНачалахтАЭ изложена другая теория отношений, созданная Евдоксом. Она отвечала на вопрос: как можно сравнивать отношения чисел и что происходит с ними в результате арифметических операций?

Два отношения a/b и c/d считаются равными, если для любых натуральных чисел М, N выполняются условия:

aM > bN cM > dN,

aM = bN cM = dN,

aM < bN cM < dN

Такой подход к сравнению отношений был революционным прорывом в построении теории действительного числа ( пока только для рациональных положительных чисел )

Ва

Теория иррациональностей

Видимо, именно алгоритм Евклида привёл пифагорейца к установлению несоизмеримости стороны и диагонали квадрата ( т.е. иррациональности числа тИЪ2 ). Это открытие существенно повлияло на дальнейшее развитие и математики, и философии. Оно показало, что ложен основной принцип пифагорейцев тАЬвсё есть числотАЭ. Они считали, что всякую величину можно выразить числом ( натуральным ) или отношением чисел, но оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражалась отношением чисел

Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, что квадратные корни из квадратных чисел рациональны, а из неквадратных тАУ иррациональны. Кроме того, кубические корни из кубических чисел рациональны, а из некубических тАУ иррациональны

Более того, он классифицировал некоторые типы иррациональностей, которые можно построить с помощью циркуля и линейки

Геометрическая алгебра

Важным достижением античной математики стало создание так называемой геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещё у вавилонян

Мы знаем, что в Древней Греции не было возможности записывать буквами алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большие проблемы возникали при операциях с натуральными числами. Античные математики обошли эту проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второй степени на геометрический язык. Все построения были планиметрическими

Видимо, именно алгебраическими потребностями объясняется столь бурное развитие планиметрии в античности

Платоновы тела

В последней, XIII книге тАЬНачалтАЭ описываются построение и свойства правильных многогранников тАУ тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра

И Евклид не просто описал правильные многогранники, но и исследовал их свойства. Он нашёл отношения длин рёбер всех правильных многогранников к диаметру описанной около многогранника сферы

Более того, он предложил способы построения правильных многогранников, вписанных в сферу данного диаметра

Учение о гармонии

Ещё пифагорейцы знали, что если высоты звука относятся как небольшие целые числа, то сочетание звуков будет приятным, гармоничным. Так, отношение высот 1:2 даёт музыкальный интервал, называемый октавой, отношение 2:3 тАУ даёт квинту, 3:4 кварту. Для того чтобы повысить на квинту звук, например, колеблющейся струны, надо уменьшить её длину на 1/3, заставив звучать оставшиеся 2/3 струны, при этом частота колебаний струны увеличится в 1/(2/3) раза. А для повышения звука на кварту надо извлечь звук из 3/4 струны, т.е. частота колебаний будет в 4/3 раза выше частоты колебаний основного тона. Исходя из этого, можно построить музыкальную шкалу

Первым точными расчётами музыкальной шкалы стал Архит Тарентский. Евклид продолжил его традицию и изложил учение о гармонии в тАЬСечении канонатАЭ и тАУ частичноВатАУ в тАЬНачалахтАЭ

Ва

Ва Ва Ва

Ва

Список используемой литературы

Научно-теоретический и методический журнал тАЬМатематика в школетАЭ №4Ва2001. Издательство тАЬШкола-ПресстАЭ

Вместе с этим смотрят:

Женщины-математики
Задания по численным методам
Задача оперативного планирования производства
Законы логики