Вынужденные колебания
Реферат
На тему ВлВынужденные колебанияВ»
Студента I тАУго курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001
Вначале рассмотрим затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе всегВнда имеется сила трения (для механической систеВнмы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
. (1.1)
Где r тАФ постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обусловВнлен тем, что сила F и скорость v направлены в проВнтивоположные стороны.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид
. (1.2)
Применим следующие обозначения
, 
(1.3)
Тогда
(1.4)
Где ПЙ0 тАФ собственная частота колеВнбательной системы.
Будем искать решение уравнения в виде
(1.5)
Найдём первую и вторую производные
Подставим выражения 
в уравнение (1.5)
Сократим на 
(1.6)
Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэфВнфициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. β<ПЙ0 тАФ треВнние мало). Введя обозначение 
, придем к уравнению
Решением этого уравнения будет функция 
Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем
(1.7)
Здесь A0 и О± тАФ постоянные, значения которых завиВнсят от начальных условий, ПЙ тАФ величина, определяеВнмая формулой
.
Скорость затухания колебаний определяется веВнличиной 
, которую называют коэффиВнциентом затухания.
Для характеристики колебательной системы употребляется также величина
называемая добротностью колебательной сиВнстемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Вынужденные колебания.
Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, измеВнняющейся со временем по гармоническому закону:
(2.1)
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид
Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид:
(2.2)
Здесь β тАФ коэффициент затухания, ПЙ0 тАФ собственная частота колебательной системы, ПЙ тАФ частота вынуВнждающей силы.
Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид
(2.3)
Где 
.
Попробуем найти частное решение (2.2) в виде 
(2.4)
где 
тАФ неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.
(2.5)
(2.6)
Развернем 
и 
по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) 
:
Сгруппируем члены уравнения:
(2.7)
Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosПЙt и sinПЙt в обеих частях уравнения будут одиВннаковыми.
(2.8)
(2.9)
Найдём значения A и 
при которых функция (2.4) удовлетворяет уравнеВннию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом
(2.10)
Из (2.9) следует, что
(2.11)
Подставим значения A и 
в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):
(2.12)
Общее решение имеет вид
Первое слагаемое играет заВнметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошестВнвии достаточного времени им можно пренебречь, соВнхранив в решении только второе.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказыВнвается особенно отзывчивой на действие вынуждаюВнщей силы при данной частоте. Это явление называетВнся резонансом, а соответствующая частота тАФ резонансной частотой.
Для того чтобы определить резонансную частоту ПЙрез, нужВнно найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по ПЙ и приравняв производную нулю:
Решения этого уравнения ПЙ=0 и 
, но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответстВнвует максимуму знаменателя, а 
не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).
(2.13). Следовательно 
(2.14)
Зависимость амплитуВнды вынужденных колебаВнний от частоты коВнлебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра β. Чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что β2 > ПЙ0) выражение для реВнзонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается тАФ с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.
Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при β<<ПЙ0) амплитуда при резонансе 
Если разделить это выражение на смещение x0 из положеВнния равновесия под действием постоянной силы F0, равное 
. В результате получим, что
где 
- логарифмический декремент затухания.
Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резоВннансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
Лит-ра:
И. В Савельев тАЬКурс общей физикитАЭ.
P.S.
Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему ВлСложение колебанийВ».
Вместе с этим смотрят:
Вязкость газов в вакуумной техникеВязкость при продольном теченииГазовые лазерыГалилей и его взгляды