Кольцевой орбитальный резонанс

Кирилл Бутусов

В 1978 г. нами была опубликована работа ВлЗолотое сечение в Солнечной системеВ» [1], где было показано, что в Солнечной системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987..) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843..), см. табл. 1, где n тАУ числа Люка и Фибоначчи, а δ% тАУ отклонение от резонансного значения nT в %.

Таблица 1

ТелоТ, летnnT, летδ%
Ме0,2408537790,8001,98
В0,6152114488,5900,50
З1,000008989,0000,03
Ма1,880894788,4010,71
С29,4577388,3730,74
89,0330,79
Ц4,6051882,8930,10
Ю11,862783,0350,06
У84,015184,0151,24
Н164,781/282,3940,71
П247,691/382,5650,50
82,9800,52

Однако, кроме описанных в статье случаев проявления Влзолотого сеченияВ» в Солнечной системе, нам удалось выявить ещё ряд новых интересных примеров такого же рода. В частности, мы обнаружили, что величины, обратные эксцентриситетам планетных орбит также близки к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 2, где e тАУ эксцентриситет орбиты, а n тАУ число Люка или Фибоначчи).

Таблица 2

Тело1/en1/neδ%
П4,02141,00540,44
Ме4,86350,97262,91
Ма10,711110,97372,80
Ц13,157131,01211,10
С17,946180,99700,40
Ю20,652210,98341,79
У21,195211,00930,82
З59,772551,08678,56
Н116,6861230,94865,52
В147,0581441,02122,01
1,00102,63

Так как орбиты планет эллиптичны и постепенно прецессируют, то каждая из них занимает кольцевую область между двумя круговыми орбитами с радиусами:

rπ = (1 тАУ e)a

(1)

rα = (1 + e)a

(2)

где rπ тАУ радиус орбиты в перигелии,

rα тАУ радиус орбиты в афелии,

a тАУ большая полуось орбиты.

Этим круговым орбитам соответствуют свои периоды, а интервал периодов может быть найден по следующей формуле:

(3)

где T тАУ период обращения планеты, а ΔT тАУ будет шириной орбиты, выраженной в терминах периодов. Назовем эту величину Влпериодом ширины орбитыВ». При этом оказалось, что Влпериод ширины орбитыВ» связан с перодом обращения планеты, расположенной через одну орбиту ближе к Солнцу, следующим соотношением:

kΔTn = TnтАУ2 ,

(4)

где k тАУ целое число, чаще всего, близкое к единице, т.е. имеет место своеобразный резонанс, названный нами Влкольцевым резонансомВ» (см. табл. 3).

Таблица 3а

ТелоΔT, летk

kΔTn, лет

В0,012550,0627
З0,050150,2509
М0,526610,5266
Ц1,049711,0497
Ю1,722811,7228
С4,923514,9235
У11,890111,890
Н4,237729,659
П184,280,592,140

Таблица 3b

TeлоT, лет

kΔTn / kΔTnтАУ2

δ%k

kΔTn / kΔTnтАУ2

δ%
Сл0,06940,90310,011/20,9930,61
Ме0,24081,0414,824/51,0000,07
В0,61520,85516,07/60,9980,08
З1,00001,0495,620/210,9990,02
Ма1,88080,9158,412/110,9990,02
Ц4,60521,0697,614/150,9970,16
Ю11,8621,0020,81/11,0020,28
Ст29,4571,0061,37/11,0060,73
У84,0151,09610,35/110,9970,24
0,9937,20,9990,24

Как видно из таблицы, при грубой подборке коэфициента k он чаще всего принимает значение 1 и даёт отклонение от резонансности, равное 7,2%, а при более тонкой подборке коэфициента, когда он не целочислен, но равен отношению небольших чисел, это отклонение имеет величину только 0,24%. Учитывая, что на самом деле мгновенный период обращения планеты меняется в широких пределах, можно считать, что резонанс всегда соблюдается даже при грубой подборке k. Как оказалось, экваториальный период вращения Солнца и все Влпериоды ширины орбитВ» планет земной группы имеют между собою общий резонанс. Для планет, внешних по отношению к Земной орбите также имеет место общий для них резонанс. Причём средние отклонения от резонансности для обеих групп планет не превышают 0,55%. Период общего резонанса для внешних планет превосходит аналогичный период для земной группы планет в 28 раз (см. табл. 4).

Таблица 4

ТелоΔTnΔT / nδ%
В0,012520,006270,19
З0,050180,006270.16
Сл0,0694110,006310,86
Ме0,1483240,006181,35
Ма0,5266840,006270,10
0,006260,53
Ма0,526630,175530,30
Ц1,049760,174950,02
Ю1,7228100,172281,58
Н4,2370240,176540,88
Ст4,9235280,175840,48
У11,890680,174850,08
0,175000,55

Если рассмотреть ширину орбиты в терминах частот обращений планет, то мы получим Влчастоту ширины орбитыВ». Как выяснилось, эти величины, нормированные на Влчастоту ширины орбитыВ» Нептуна, образуют числовые ряды, близкие к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 5) со средним отклонением от резонансности меньше 3%.

Таблица 5

Тело

Δν, годтАУ1

Δν / ΔνН

n

Δν / nΔνН

δ%
Н0,0001561,000011,00001,62
У0,00169010,8346110,984963,17
П0,00330521,1871211,008900,72
С0,05700036,5384341,074655,75
Ю0,01228678,7564761,036261,97
В0,033516212,5641991,068165,11
З0,050200321,7943220,999361,68
Ц0,049938320,0513220,993942,23
Ма0,150818966,7829870,979513,69
1,016192,88

Мы рассматривали до сих пор интервалы периодов и частот, определяемых через радиусы круговых орбит, ограничивающих эллипсы орбит. Однако, интересно рассмотреть разности мгновенных периодов обращения планет в афелиях и перигелиях орбит т.е. интервал, в пределах которого меняется мгновенный период при движении планеты по орбите. Назовём этот интервал Влдевиацией периодаВ» Расчёт её будем вести по формуле:

(5)

При этом оказалось, что наблюдается резонанс между Влдевиацией периодаВ» планеты и периодом соседней планеты, расположенной ближе к Солнцу:

kΔT *n = T *nтАУ1

(6)

См. табл. 6, где значки π, 0, α тАУ определяют значения мгновенных периодов в перигелии, на среднем расстоянии и в афелии. Мы видим, что чаще всего наблюдается k = 2. Среднее отклонение от резонанса равно 1,75%.

Таблица 6

Тело

ΔTn*

k

k ΔTn*

Тело

T*nтАУ1

kΔT*n / ΔT*nтАУ1

δ%
Ме0,20241/30,0674

Сле

0,06940,970992,58
В0,016790,1505

Меπ

0,15530,969682,72
З0,066990,6023

Вπ

0,60680,992530,35
Ма0,544221,0884

Зα

1,03381,052795,69
Ц1,40404/31,8720

Ма0

1,88080,995280,08
Ю2,300024,6000

Ц0

4,60520,998880,28
Ст6,5757213,1514

Юα

13,05391,007461,14
У15,8730231,7460

Сα

32,88290,965423,17
Н5,64941584,7412

У0

84,01521,008641,26
П254,3367/11161,850

Нπ

161,9810,999190,31
0,996081,75

На самом деле, учитывая, что изменение мгновенного периода происходит в широких пределах, мы можем считать, что резонанс всегда соблюдается гораздо точнее.

Наконец, рассмотрим соотношения экстремальных значений мгновенных периодов на соседних орбитах в ближайших апсидах. Например, отношение мгновенного периода в афелии орбиты к такому же периоду, но уже в перигелии последующей орбиты, расположенной дальше от Солнца (см. табл. 7, где T1* тАУ мгновенный период в афелии орбиты, а T2* тАУ мгновенный период в перигелии последующей). Исключение составляют только Меркурий,где вместо перигелийных и афелийных периодов взяты средние периоды и Венера, где вместо афелийного периода взят средний период. Резонансный коэфициент равен отношению небольших чисел, на 85% состоящих из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).

Анализ таблицы показывает, что эти соотношения близки к резонансным со средним отклонением от резонансности 0,53%.

Таблица 7

Тело

T2*

Тело

T1*

k

kT1*

T2* / kT1*

δ%

Ме0

0,2408

Сле

0,06947/20,24320,9903041,03

Вπ

0,6068

Ме0

0,24085/20,60211,0078970,73

Зπ

0,9669

В0

0,615211/70,96671,0002020,03

Маπ

1,6162

Зα

1,033811/71,62460,9947910,57

Цπ

3,9432

Маα

2,160411/63,96080,9955540,50

Юπ

10,7539

Цα

5,34722/110,69441,0055640,50

Стπ

26,3072

Юα

13,05392/126,10791,0076330,70

Уπ

76,3596

Стα

32,88297/376,72680,9952130,53

Нπ

161,981

Уα

92,23267/4161,4071,0035570,30

Пπ

144,369

Нα

167,6306/7143,6831,0047700,42
1,0005480,53

Выводы

Величины, обратные эксцентриситетам орбит планет образуют числа, близкие к числам Люка и Фибоначчи.

Периоды ширины орбитальных колец находятся в резонансе с периодами планет, расположенными через одну орбиту ближе к Солнцу.

Частоты ширины орбитальных колец находятся в резонансе с частотами обращения планет, расположенных дальше от Солнца через одну орбиту.

Периоды ширины орбитальных колец как земной группы планет, так и планет, внешних по отношению к земной орбите, образуют две группы тел с общими резонансами внутри группы.

Частоты ширины орбитальных колец, нормированные на частоту ширины орбиты Нептуна, образуют числовой ряд близкий к числам Люка и Фибоначчи.

Девиации периодов обращений планет находятся в резонансе с периодом обращения соседней планеты, расположенной ближе к Солнцу.

Экстремальные периоды в ближайших апсидах соседних планет находятся в резонансе, а числовые коэфициенты резонансов на 85% состоят из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).

Имеют место ещё и другие резонансные соотношения для частот ширины орбит, девиаций частоты и экстремальных значений частот планетных орбит, но ввиду ограниченности объёма работы мы этих результатов вычислений не приводим.

К.П. Бутусов. ВлЗолотое сечение в Солнечной системеВ». Проблемы исследования Вселенной, вып. 7. М.-Л., 1978.

Вместе с этим смотрят:


"Инкарнация" кватернионов


* Алгебры и их применение


*-Алгебры и их применение


10 способов решения квадратных уравнений


Bilet