Задачи линейной алгебры
Реферат подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам
Министерство науки и образования Украины
ДГМА
Краматорск
2003
При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n тАФ ее порядком.
В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:
ВаилиВаВа 
ДляВа краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская букваВа (например, A),Ва либо символВа || a ij|| ,Ва а иногда с разъяснением:Ва А = || a ij|| =ВаВаВа ( a ij), где (i = 1, 2, .., т,Ва j=1, 2, .., n).
Числа a ij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j тАФ номер столбца.Ва В случае квадрат-ной матрицы
Ва (1.1)
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 Ваа12 тАж ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ аn1Ва а(n-1)2 тАж a1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Основные операции над матрицами и их свойства.
Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к определению основных операции над матрицами.
Сложение матриц. Суммой двух матрицВа A = || a ij|| ,Ва где (i = 1, 2, .., т,Ва j=1, 2, .., n)Ва и В = || b ij|| , где (i = 1, 2, .., т,Ва j=1, 2, .., n)Ва одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c ij||Ва (i =1,2, .., т;Ва j = 1, 2, .., п) тех же порядков т и п, элементы сijВаВакоторой определяются по формуле
Ва,Ва где (i = 1, 2, .., т,Ва j=1, 2, .., n) (1.2)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:
Ва+ 
Ва= 
Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: А + В = ВВа + А,
2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицыВа A = || a ij|| ,Ва где (i = 1, 2, .., m,Ва j=1, 2, .., n)ВаВа на вещественное число l, называется матрицаВа С = || c ij||ВаВа (i =1,2, .., m;Ва j = 1, 2, .., n), элементыВа которой определяются по формуле:
Ва,ВаВа где (i = 1, 2, .., т,Ва j=1, 2, .., n) (1.3)
Для обозначения произведения матрицыi на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.
Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A
Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей BВа дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A тАФ В.
Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилуВа СВа = A + (тАУ1) В.
Произведение матриц или перемножение матриц.
Произведением матрицы A = || a ij|| ,Ва где (i = 1, 2, .., m,Ва j = 1, 2, .., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b ij|| , где (i = 1, 2, .., n ,Ва j=1, 2, .., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c ij||ВаВа (i =1,2, .., m;Ва j = 1, 2, .., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементыВа которой определя-ются по формуле:
Ва гдеВа (i = 1, 2, .., m,ВаВа j = 1, 2, .., p) (1.4)
Для обозначения произведения матрицыi А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.
Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.
Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицыВа А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij стоящий на пвресечении i-й строки и j-го столбца матрицьi С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.
Ва×
ВаВа =Ва 
Из формулы (1.4)Ва вытекают следующие свойства произведения матрицыВа А на матри-цу В:
1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );
2) распределительное относительно суммы матриц свойство:
( A + B ) С = А С + В СВа илиВа A ( В + С ) = A В + А С.
Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицуВа ВВа имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.
Приведем важные частные случаиВа матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими.
Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядкаВа п имеет вид
D = 
ВаВа(1.5)
где d1 , d2 , тАж, dnтАФкакие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d1 = d2Ва = тАж = dnВа то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.
Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1 = d2Ва = тАж = dn= = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символомВа Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом,
E = 
ВаВаВаO = 
В силу доказанного выше А Е = Е А иВа А О = О А. Более того, легко показать, что
А Е = Е А = А,ВаВа А О = О А = 0.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (1.6)
Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство
А + 0 = 0 + А = А.
В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныi нулю).
Блочные матрицы
Предположим, что некоторая матрица A = || a ij|| при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыi А = || A ab||,Ва элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер ВлблочнойВ» строки, а второй тАФ номер ВлблочногоВ» столбца.
Например, матрицу
можно рассматривать как блочную матрицу
элементами которой служат следующие блоки:
Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.
Понятие определителя.
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п:
A = ВаВаВа(1.7)
С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.
Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та аi j определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.
Если далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид
A = ВаВаВа(1.8)
то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а11 а22 тАФ а12 а21Ва и обозначаемое одним из символов:
Итак, по определению
ВаВа (1.9)
Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, иВа произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.
Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системеВа MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001.Ва Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1,Ва поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.
При работе с матрицами используется панель инструментов тАЬМатрицытАЭ
Рис.1 Панель инструментовВа Матрицы
Для ввода матрицы:
введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие)
щелкните по значку тАЬсоздать матрицутАЭ в панели тАЬМатрицытАЭ.
В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы.
После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.
Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:
выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,
или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.
Меню тАЬСимволытАЭ содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.
Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель.
Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.
Функции, предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе тАЬВекторы и матрицытАЭ диалога тАЬвставить функциютАЭ (напоминаем, что он вызывается кнопкойВа на панели тАЬСтандартныетАЭ). Основные из этих функций будут описаны позже.
Транспонирование