Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X₁, X₂, X₃, X₄.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0,

(2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,

(3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = тАУP,

(4)

X1X2X3X4 = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,

(6)

(X1 + X2)(X1X2 тАУ X3X4) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 тАУ (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,

(8)

где Y₁ = X₁X₂, Y₂ = X₃X₄.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X₁ + X₂)² перепишем уравнение (8) в виде:

Y² тАУ (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 тАУ 4Q)1/2),

(9)

X3X4 = 1/2(T + A2 тАУ ([T + A]2 тАУ 4Q)1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2 тАУ X3X4 = ([T + A]2 тАУ 4Q)1/2.

(11)

Учитывая, что A^1/2 = X₁ + X₂ перепишем формулу (7) в виде:

X1X2 тАУ X3X4 = Р/А1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 тАУ 4Q)1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 тАУ 4Q)A тАУ P2 = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X₁+X₂)² и двух квадратных уравнений:

X2 тАУ (X1 + X2)X + X1X2 = 0,

(15)

X2 тАУ (X3 + X4)X + X3X4 = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X₁ + X₂ = тАУ (X₃+X₄) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 тАУ A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 тАУ 4Q)1/2) = 0,

(17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A тАУ ([T + A]2 тАУ 4Q)1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X⁴ + KX³ + TX² + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Bilet