Определители

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через Определители , составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.

В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей

Определители второго порядка.

Рассмотрим систему уравнений:

a₁x + b₁y = с₁

a₂x + b₂y = с₂

Данную систему можно решить традиционными методами - подстановки и сложения уравнений. Однако, в ряде случаев оказывается легче применить определители

Представим систему в виде квадратной матрицы:

| a₁ b_{1 |Ва}

А = |ВаВа Ва|ВаВаВаВаВа

| a₂ b_{2 |ВаВа} .

число а₁b₁тАУ а₂b₂ называют определителем системы и обозначаютdet A или D

| a₁ b₁ |ВаВаВа | a₁ b₁ |ВаВаВаВаВаВа

Dx = |ВаВаВаВа | , Dy = |ВаВаВа |ВаВаВа

| a₂ b₂ |ВаВаВа | a₂ b₂ |Ва

Определитель Dx получается из D заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично Dy.

Возможны три случая:

Случай 1: определитель системы не равен нулю: D ¹ 0. Тогда системаВа имеет единственное решение: x = Dx/D , y= Dy/D.

Случай 2: определитель системы равен нулю: D = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае системы не имеет решений.

Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (т.е. коэффициенты и свободные члены пропорциональны). Тогда одно из уравнений есть следствие другого:Ва система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим несколько примеров решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей.

Пример 1. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8ВаВаВаВа

7x - 5y = -3

| 2 3 |ВаВаВаВаВа | 8Ва 3|ВаВаВаВаВаВа | 2 8 |ВаВаВаВаВаВа

D= |ВаВа | = -31 Dx = |ВаВа | = -31Ва Dy = |ВаВаВа | = - 62

| 7 -5 |ВаВаВаВаВа | -3 -5|ВаВаВаВаВаВа | 7 -3 |ВаВа

Система имеет единственное решение.

х = Dx/D =1Ва y = Dy/D = 2

Пример 2. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8ВаВаВаВаВа

4x + 6y = 10

| 2 3 |ВаВаВаВаВаВаВаВаВа | 8Ва 3|ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

D = |ВаВа | = 0, при этом Dx = |ВаВа |= 18 ¹ 0.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа |ВаВа |ВаВаВаВа

| 4 6 |ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа | 10 6 |ВаВаВаВаВаВаВаВаВа

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8ВаВаВаВаВа

4x +6y = 10

| 2 3 |ВаВаВаВа | 8 3 |ВаВаВа | 2 8 |ВаВаВаВаВа

D = |ВаВаВа |= 0Ва Dx = |ВаВа | =0 Dy = |ВаВа | =0ВаВаВа

| 4 6 |ВаВаВаВа | 16 6 | ВаВаВа| 4 16 |ВаВаВа

Одно из уравнений есть следстввие другого (например, второе получается из первого, умножая на два). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений.

Определители третьего порядка.

Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестны-ми также можно решить методом определителей .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

| a₁ b₁ c₁ |ВаВаВа называется выражение D = а₁b₂c₃ тАУ a₁b₃c₂ + b₁c₂a₃ тАУВаВа

А= | a₂ b₂ c₂ |ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа b₁c₃a₂ + c₁a₂b₃ тАУ c₁a₃b₂

| a₃ b₃ c₃ |

или, если выразить его через определители 2-го порядка:

| b₂ c₂|ВаВа | a₂ c₂ |ВаВа | a₂ b_{2 |}

a₁ |ВаВа | - b₁ |ВаВа | + c₁ |ВаВа |

| b₃ c₃|ВаВа | a³ c₃ |ВаВа | a₃ b_3|

Определители тАУго порядка

Определителем квадратной матрицы n-го порядка А, где

| a₁₁ a₁₂ тАжa_{1n |ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа |} a₂₂ a₂₃тАжa_{2n |ВаВаВа}

| a₂₁ a₂₂ тАж a_{2n |ВаВа} называют число D = a_{11 |} тАжтАжтАжтАжтАж | -

A = | тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж |ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа | a_n2 a_n3тАжa_nnn|

| a_n1 a_n2 тАж a_{nn |}

| a₂₁ a₂₃тАжa_2n |ВаВаВаВаВаВа | a₂₁ a₂₂тАжa_2(n-1)|

- a_{12 |} тАжтАжтАжтАж. | +тАж+ (-1)ⁿ⁺¹a_{1n |} тАжтАжтАжтАжтАж. |

| a_n1 a_n3тАжa_nn |ВаВаВаВаВаВа | a_n1 a_n2тАжa_n(n-1) |

т.е. мы имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из из множителей тАУ элемент первой строки, а другой тАУ определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит первый множитель.

Например:

| 4 1 3 5 |

| 2 3 2 1 |ВаВа | 3 2 1 |Ва | 2 2 1 |ВаВа | 2 3 1 |ВаВа | 2 3 2 |

| 5 2 1 4 | = 4 | 2 1 4 | - 1 | 5 1 4 | + 3 | 5 2 4 | - 5 | 5 2 1 |

| 11 6 5 10|ВаВа | 6 5 10|Ва | 11 5 10 |ВаВа |11 6 10 |ВаВа | 11 6 5 |ВаВа

= 4( 3(10-20) тАУ 2(20-24) + 1(10-6)) тАУ 1( 2(10-20) тАУ2(50-44) + 1(25-11)) +

+ 3( 2(20-24) тАУ 3(50-44) + 1(30-22)) тАУ5( 2(10-6) тАУ 3(25-11) +2(30-22)) = -28

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменяется, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

Пример 1:

| a1 b1 |Ва | a1 a2 |ВаВаВа | 2 3 |ВаВаВаВаВаВаВаВаВа | 2 7 |

|ВаВаВа | = |ВаВаВаВа |ВаВаВаВа |ВаВаВаВа |Ва = 2(-5) - 73 = -31 = |ВаВа |

| a2 b2 |Ва | b1 b2 |ВаВаВа | 7 -5 |ВаВаВаВаВаВаВаВаВа | 3 -5 |ВаВаВаВа

2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-нибудь двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на обратный.

| a1 b1 c1 |Ва | a1 b1 c1 | (переставлены вторая и третья строки)ВаВаВаВа

| a2 b2 c2 | = - | a3 b3 c3 |

| а3 b3 c3 |Ва | a3 b3 c3 |

Пример 2:Ва | 2 3 |ВаВа | 5 7 |

ВаВаВа | 5 7 | = - | 2 3 |

3. Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (или столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю.

Пример 3: | 2 -1 3|

| 4 -2 -3| = 2(-22 тАУ(-3)(-3)) тАУ (-1)(42- 6(-3)) + 3(4(-3)- 6(-2))

| 6 -3 2|Ва = 0 (первый и второй столбцы пропорциональны).

| 2 2 2 |

| -5 -3 -3| = 0 (второй и третий столбцы одинаковы).

| 0 -1 -1|

4. Общий множитель всех элементов одной строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

| ma maтАЩ maтАЩтАЩ |ВаВа | a aтАЩ aтАЩтАЩ | Пример 4: | 3 5 |Ва | 1 5 |

| bВа bтАЩ bтАЩтАЩ | = m | b bтАЩ bтАЩтАЩ |ВаВаВаВаВа | 6 7 | = 3 | 2 7 |

| cВа cтАЩ cтАЩтАЩ |ВаВа | c cтАЩ cтАЩтАЩ |

5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит только первое слагаемое, в другом тАУ только второе (остальные элементы в обоих определителях те же, что в данном ).

| a1 (b1+c1) d1 |Ва | a1 b1 d1 |Ва | a1 c1 d1 |

| a2 (b2+c2) d2 | = | a2 b2 d2 | + | a2 c2 d2 |

| a3 (b3+c3) d3 |Ва | a3 b3 d3 |Ва | a3 c3 d3 |

Пример 5:

| 5Ва 13 |ВаВа | 5Ва 6 |ВаВаВа |Ва 5Ва 7 |

| 3Ва 7 | = | 3Ва 3 |Ва +Ва |Ва 3Ва 4 |

6. Если ко всем элементам какого-либо столбца прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца, то новый определитель равен старому. То же для строк.

Пример 6:

| 2 -1 3 |

определитель | 4 1 -3 | = 12.

| 5 0 2 |

Прибавим к этим элементам первой строки элементы второй и получим | 6 0 0 |Ва Этот определитель тоже = 12, но вычисляется

| 4 1 3 |Ва проще ( в разложении по элементам первой

| 5 0 2 |Ва строки два слагаемых равны нулю.

Пример 7:

Для вычисления определителя

| 4 2 3 |Ва прибавим к элементам первого столбца элементы второго,

|-1 3 5 |Ва умноженные на -2

| 6 3 -1 |

Получим | 0 2 3 |

| -7 3 5 |Ва Этот определитель легко вычислянтся

| 0 3 -1 |Ва разложением по элементам первого столбца

Получаем:

| 2 3 |Ва

7 |ВаВа | = -77.

| 3 -1 |

Таким образом, рассмотрев свойства определителей, мы видим, что существует множество возможностей упростить вычисление определи-телей. При ВлручномВ» вычислении определителей очень часто решение системы оказывается сложнее, чем традиционными методами. Однако, решение систем методом определителей легко запрограммировать, и тогда данный метод даст тем больший выигрыш, чем выше порядок системы уравнений.

Заключение

В настоящем реферате показан способ решения линейных уравнений любого сколь угодно большого порядка методом определи-елей. Рассмотрены свойства определителей, решены примеры . Метод определителей позволяет ввести единый алгоритм решения систем, т.е. дает возможность запрограммировать это решение. Таким образом, чем выше порядок системы, тем больше будет выигрыш при решении систем методом определителей, чем при традиционных способах решения.

1. Энциклопедический словарь юного математика /Сост.А.П.Савин.- М.:Ва Педагогика, 1989.

2. Петраков И.С. Математические кружки в 8 тАУ1 0 классах: Кн. дляВаВа учителя.- М.: Просвещение, 1987.

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Bilet