Число как сущее

Число понимается и принимается (многими) античными мыслителями как первая сущность, определяющая все многообразные внутрикосмические связи мира, основанного на мере и числе, соразмерного (симметричного) и гармоничного. Каким же мыслителям свойственен такой взгляд?

Среди греческих мыслителей прежде всего пифагорейцы, а вслед за ними и академики обращали особое внимание на роль числа в познании и конституировании мира: ВлЧислу все вещи подобныВ», тАФ утверждает Пифагор. Не следует, однако, понимать это утверждение так, как истолковывает его Аристотель, а именно, что все вещи состоят из числа, поскольку число допустимо лишь мыслить, но нельзя искать среди вещей. Как поясняет просвещенная Теано, Вли многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем, он говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, так как в числе тАУ первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе и т. д.В»

Таким образом, число выступает как принцип познания и порождения, ибо позволяет нечто различать, мыслить как определенное, вносить предел в мир и мысль. Поэтому число тАУ первое из сущего, чистое бытие, тАФ как таковое оно есть нечто божественное: ВлтАжПрирода числа, тАФ говорит Филолай, тАФ познавательна, предводительна и учительна для всех во всем непонятном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей тАУ ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому, если бы не было числа и его сущностиВ». Число есть чистое идеальное бытие, первый образ безобразного Блага и первый прообраз всего существующего. Поэтому число тАУ наиболее достоверное и истинное, первое во всей иерархии сущего, начало космоса.

Число играет первенствующую роль и в так называемом неписанном, или эзотерическом, учении Платона, незафиксированном в текстах самого Платона и дошедшем до нас лишь в реконструированном виде из отдельных свидетельств его учеников и последователей. Согласно этому учению, следы которого мы находим у Аристотеля, его ближайшего ученика Теофраста и позднеантичных неоплатоников, в основе всего лежит единица тАУ начало тождественности, принцип формы и неопределенная двоица тАУ принцип инаковости, или материи, которыми и порождается вся иерархия сущего тАУ эйдосы и числа, души и геометрические объекты, физические тела. Принцип числа оказывается тем основанием, на котором покоится (более позднее) античное миросозерцание с его обостренным переживанием бытия, присутствующего в космосе, но не смешанного с ним.

Арифметика пифагорейцев

В арифметике пифагорейцев основным (и, может быть, первоначальным) следует считать прежде всего деление чисел на четные, нечетные и четно-нечетное первичное число (единица). Этому тройному делению составляют параллель три вида чисел, открытых пифагорейцами: так называемые квадратные, прямоугольные и треугольные числа. Квадратные числа получаются через сложение нечетных: 1+3=4=22, 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42 и т. д. Прямоугольные числа получаются через сложение четных: 2+4=6=2 х 3; 2+4+6=12=3 х 4 и т. д. Треугольные числа получаются через сложение по порядку четных и нечетных чисел:

1+2+3+тАж+n=

в пифагорейской школе рано было открыто также взаимоотношение квадратов чисел (учение о сумме квадратов чисел). Далее у них мы находим учение о средних величинах, т. е. о пропорциях и отношениях величин. Насчитывалось всего десять видов Влсредних величинВ». Из них три вида: так называемое арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее вошли в современную математику под названием непрерывных пропорций (арифметическая непрерывная пропорция а тАУ с=с х b, геометрическая а: с=с: b, и гармоническая (а тАУ b):(b тАФ c)=a: c; таким образом, среднее арифметическое двух величин равно , среднее геометрическое аb и среднее гармоническое . из пифагорейской же школы вышла Пифагорова таблица умножения, вписанная в четырехугольник. Размышляя над основаниями математического счета привели пифагорейцев к поклонению священной декаде. Все остальные числа суть для них простые повторения первых десяти. Декаду они отождествляли с четверкой, так как сумма первых четырех чисел равна 10. священными числами считались по преимуществу единица, как первоначало чисел, троица, так как истинное единство представлялось им триединством, четверица, как заключающая в себе тайну декады, и, наконец, сама десятка.

К пифагорейским открытиям в геометрии принадлежит прежде всего так называемая Пифагорова теорема (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Другая теорема, открытая Пифагором, говорит о сумме углов в треугольнике (=2d). Сам Пифагор открыл несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной . В стереометрии пифагорейцы первые открыли 5 правильных геометрических тел: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Единица и двоица

Каким же образом образуется само число? Главная роль здесь отводится единице. Единица тАУ первое и наиболее точное отображение первоединого Блага. Единица и есть первое начало тАУ сущего, познания, самого числа. Единица тАУ 1) первая из сущего, само мыслимое бытие. Единица тАУ 2) вне становления, представляет единое тАУ начало сущего, не подверженное возникновению, и по существу есть начало объединяющее, сдерживающее и отъединяющее бытие от становления. Далее, единица 3) проста, бесчастна и неделима, не имеет никаких частей. По точному определению Евклида, 4) единица Влесть то, через что каждое из существующих считается единымВ», т. е. само то обстоятельство, что вещи в мире текучего и преходящего все же отдельны, единичны, обусловлено предшествованием им по бытию единицы. Потому-то 5) единица тАУ проявление первоединого тАУ и есть первое начало всего, также и самого числа, и его мера. Итак, по словам латинского неоплатоника Макробия, единица тАУ образ единого, источник и начало числа, монада, прообраз, тАФ начало и конец всех вещей.

Наряду с одной-единственной единицей должно быть и начало множественности, отличное от единицы (ибо она одна), начало мультиплицирующее и размножающее. Подобное начало пифагорейцы, а вслед за ними платоники называют неопределенной двоицей.

И если единица тАУ начало точности, определенности и неизменности, то двоица тАУ неточности, неопределенности и изменчивости. Двоица представляет множественность, чистую инаковость, неупорядоченность и неоформленность. Поэтому-то двойка тАУ 1) вторая, последующая после единицы, есть самый принцип следования; более того, она представляет оконченность иерархии целого как материя. Двоица, или диада, 2) ответственна за наличие в мире неравного и становящегося, поэтому она тАУ неопределенное, т. е. Влбольшое и малоеВ», Влболее или менееВ». Двойка тАУ 3) составная, имеет части, делима. Кроме того, благодаря ей 4) всякое существующее стремится покинуть свое наличное состояние, превратиться во что-то другое. Наконец, 5) диада не может служить мерой, хотя тоже является началом.

Двоица тАУ это принцип рефлексии (именно поэтому без нее, без инаковости, нет ни бытия, ни познания), она как бы зеркало, зависящее от первого, от единицы, отражающее то, чем само не обладает, зависящее от первого, единицы и тем самым ВлрасставляющееВ», размножающее ее, неумножимую саму на себя. Синтез же двух начал впервые проявляется в тройке.

Между тем единица тАУ не число, а основание числа. Единица выступает как форма числа (позитивный принцип), а двоица тАУ его материя (негативный принцип). Принцип множественности, обращенный на саму первую и единственную единицу, умножает ее в две и в бесконечное множество единиц, ибо там, где положено другое, второе, положено и все множество единиц. Из этих-то неделимых, но теперь уже многих единиц и состоит число тАУ не механическая их сумма, но органическое, синтетическое единство.

Таким образом, число тАУ это синтез предела и беспредельного, тождественного и инакового, едино-множественное.

Между тем, пифагорейцами было открыто свойство несоизмеримости величин; например, в отношении диагонали квадрата к его стороне неизбежно присутствует некая иррациональность, поскольку отношение это не может быть выражено ни числом, ни соотношением чисел, тАФ стало быть, его нельзя помыслить (хотя и можно представить наглядно в воображении). Это не значит, что числа сами по себе несоизмеримы: их мера неизменна тАУ это неделимая единица, тАФ но значит, что даже число оказывается неспособным всецело, до конца и без остатка измерить, определить и пронизать собой видимый мир. Помимо неизменных точных чисел и эйдоса, в мире всегда присутствует некая аберрация, искажение, которое не может быть отменено и познано даже числом.

Мера. Математическое и идеальное число

Совершенно особое место в греческом умосозерцании занимает понятие меры. ВлНичего слишкомВ», ничего сверх меры, тАФ один из фундаментальных и в то же время наиболее сокровенных заветов античной культуры может служить тому подтверждением. Все, что превышает меру, уклоняется в ту или иную крайность, необузданное и чрезмерное, и представляет становящееся ко злу и обреченное смерти.

Поэтому для греков мудрый и свободный тАУ тот, кто блюдет во всем меру. Мера же прежде всего связана с числом, ибо мера тАУ точна, вне приблизительности и непознаваемости Влболее или менееВ», определенна, т. е. причастна пределу, и, как и истинное знание, не может быть иной.

Античные мыслители вводят разнообразные и весьма тонкие различения, связанные с числом, предпринимая попытки, особенно частные в поздней античности, в неопифагореизме и неоплатонизме, истолкования значений тех или иных чисел (например, у Ямвлиха и Анатолия) в пределах первой десятки. Основываясь на пифагорейской аритмологии, Платон в конце жизни развивает учение о разных типах числа тАУ математическом и эйдетическом, или идеальном. Математическое число тАУ это число, которое получается из предыдущего прибавлением единицы (греческие математики признавали только натуральные числа). А для этого нужно наряду с первой и единственной единицей признать операцию прибавления единицы, т. е. фактически неопределенную двоицу, дающую нескончаемое множество единиц. Эйдетическое же число тАУ сущее само по себе и, хотя и находится в некотором числовом ряду, тем не менее оно не связано с соседними числами через прибавление или отнятие единицы. В этом смысле идеальное число тАУ это принцип математического числа тАУ это сама по себе ВлдвойкаВ», сама по себе ВлтройкаВ» и т. д., и их можно рассматривать как начала всех возможных двоек, троек и т. д., причем единицами идеальных чисел нет нужды быть взаимно сопоставимыми, тАФ они оказываются различенными как начала различных идеальных чисел.

Число и величина

Наличие двойственности тАУ пары начал: бытия и становления, тАФ выражается также в различении античностью понятий числа и величины. Число (математическое) тАУ это такое множество, в котором можно различить неразложимые далее дискретные составляющие, т. е. неделимые единицы. Величина же тАУ это множество, беспредельно делимое в каждой своей части, т. е. непрерывное. Число поэтому в большей мере представляет единство, предел, логос и смысл, величина же тАУ множество, беспредельное, стихию становления (что соответствует разделению на счислимое и несчислимое множества). Это тАУ одна из причин отделения Платоном сферы дискретных в своей основе, неразложимых чисел и идей от сферы величин тАУ геометрических фигур, которые хотя и несут умопостигаемые признаки, но также сродны телесным, физическим величинам в своей наглядной представимости и беспредельной делимости.

Между дискретным и непрерывным нет перехода: дискретное тАУ признак идеального бытийного мира, непрерывное тАУ признак мира телесности, поэтому их и рассматривают в античности разные науки: арифметика тАУ числа, геометрия и физика тАУ величины. Число и величина взаимнодополнительны, но также и взаимоисключающи. И если число идеально, то величина пространственно выражена. Можно говорить о символическом представлении чисел в величинах (например, единицы тАУ в точке, двойки тАУ в линии и т. д.), но только как изображении первых в последних, а никоим образом не их отождествлении: число и величина, бытие и небытие никогда не сойдутся, между ними античная мысль в отличие от европейской навсегда полагает водораздел.

Не только тождественное, но и инаковое по-разному проявляется в числе и величине, что выражается в их разном отношении к бесконечности. Прежде всего, как доказывает Аристотель, не может быть актуально бесконечного тела тАУ актуальная бесконечность вообще непознаваема. Но величина не может быть также и потенциально бесконечной: хотя и причастная инаковости и становлению, она все же представляет собой нечто цельное, охватное и единственное.

В некотором смысле тело, величина является Влверхним пределомВ» самого себя, она тАУ своего рода собственная непрерывная цельная ВлединицаВ», которая может быть только уменьшена, т. е. делима, но не увеличиваема (иначе это будет уже совсем другая величина). Число же не может быть сколь угодно делимо, ибо его основа и наименьший элемент, единица, не имеет частей и неделима. Поэтому единица тАУ дискретное целое, Влнижний пределВ» числа, так что, по словам Стагирита, Влдля числа имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большему оно всегда превосходит любое множество, для величины же наоборот: в направлении к большему бесконечной величины не бываетВ». Таким образом, (математическое) число может быть бесконечно увеличиваемо, но не уменьшаемо, тогда как величина, наоборот, может быть беспредельно делима, но не увеличиваема. Пределом же, ограничивающим бесконечное, в одном случае в отношении прибавления-увеличения, в другом тАУ в отношении уменьшения-деления, служит целое, в одном случае тАУ дискретная единица, в другом тАУ сама непрерывная величина. Тем самым задается также и разделение двух типов бесконечности: путем прибавления и путем отнятия, т. е. превосхождением дискретного и делением непрерывного, что Платон называет бесконечным в большом и в малом, связанным с операциями удвоения и половинного деления, соответствующим опять-таки не сводимым друг к другу понятиям тождественного и инакового, единого и многого, дискретного и непрерывного.

1) Антология мировой философии. В 4 тт. Ч. 1. М., 1969.

2) Богомолов А. С. Античная философия. М., 1985.

3) Досократики. тАУ Мн.: Харвест, 1999.

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Bilet