Волновое уравнение не имеет единственного решения

Виктор Кулигин, Галина Кулигина, Мария Корнева, Исследовательская группа ВлАнализВ»

Теорема о нарушении единственности решения

Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр.44..46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.

Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение.

Доказательство

Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.

(1)

Начальные условия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0.

Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:

v = u + f(2)

Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).

(3)

Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,

f = (cosπxВ·sinat)4, когда тАУ1 < x < 1 и 0 < t < π/a;

f = 0 если x < тАУ1 или x > 1 и t > π/a или t < 0.

Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.

Начальные условия:

u = тАУ f(x;0) и ∂u/∂t = тАУ ∂f / ∂t при t = 0(4)

Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат тАУ новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:

,

(5)

где.

Функция f не должна быть решением волнового уравнения.

Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t>0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения доказана.

Применение результатов

Полученное доказательство служит обоснованию метода получения новых решений, описанного в [2], [3] и др. статьях авторов. Оно имеет прямую связь с калибровкой решений в электродинамике [2], [3].

Пусть мы имеем неоднородное волновое уравнение

с соответствующими начальными условиями: v=φ(x) и ∂v/∂t=ψ(x) при t=0.

Представим решение этого уравнения в форме (2): v=u+f.

Оставим в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от u. Как и в предыдущем случае мы могли бы задать явный вид функции f (как говорят: Влвзяв ее с потолкаВ») и получить решение неоднородного уравнения. Но можно поступить иначе. Мы можем наложить на f некоторое условие. Например, мы можем потребовать, чтобы функция f удовлетворяла уравнению Пуассона:

∂2f / ∂x2=F(x;t).

Если решение этого уравнения существует (функция F(x:t) интегрируема), то уравнение для функции u определено и определены начальные условия задачи Коши: u=φ(x) тАУf(x;0) и ∂u/∂t=ψ(x)тАУ∂f/∂t при t=0.

Такой метод построения второго решения по существу является калибровкой решения. Иными словами, мы ищем решение как сумму выражений, имеющих различную функциональную зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы, мгновеннодействующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнению теплопроводности и т.д.) Этот метод описан и используется в работах [2], [3].

Следствия, вытекающие из отсутствия единственности решения для электродинамики весьма существенны. Калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. В общем случае калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся от решений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частный случай, когда эти калибровки эквивалентны. Он рассмотрен в [4].

Остается добавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Более того, возможно, что нарушение единственности решения имеет место также для уравнений эллиптического типа (например, для задач Дирихле, Неймана и др.).

Тихонов А.А. и Самарский Н.Н. Уравнения математической физики. тАУ М.: ГИФМЛ, 1954.

Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Калибровки и поля в электродинамике. / Воронеж. Ун-т. тАУ Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 тАУ В98.

Kuligin V.A., Kuligina G.A., Korneva M.V. Analysis of the Lorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. тАУ Apeiron, vol. 7, no 1..2.

Кулигин В.А., Кулигина Г.А. Корнева М.В. Однопроводные линии. / Воронеж. Ун-т. тАУ Воронеж, 2002. Деп. в ВИНИТИ 10.06.2002, №1062 тАУ В2002.

Вместе с этим смотрят:


Aerospace industry in the Russian province


Airbus Industries


AVR микроконтроллер AT90S2333 фирмы Atmel


Bachelor


Cкремблирование и дескремблирование линейного сигнала