За горизонтом предсказуемости

Тигран Оганесян, Глеб Переходцев

До 60-х годов прошлого столетия считалось, что в природе есть всего два класса процессов. Первые описываются динамическими системами, где будущее однозначно определяется прошлым тАУ процессы этого класса детерминированы, обратимы и полностью предсказуемы. Вторые же тАУ случайные процессы, где будущее никак не зависит от прошлого. Однако уже к началу 70-х годов ученые с удивлением обнаружили, что существует третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими системами, но их поведение может быть предсказано только на небольшой промежуток времени. Этот третий класс процессов получил название Влдинамического хаосаВ» (см.Ва ВлВездесущие неустойчивостиВ»,Ва ВлПорядок и хаосВ»,Ва ВлЗаконы непредсказуемостиВ»).

Клубок расходящихся траекторий

Пионерами в исследованиях динамических систем Влтретьего родаВ» были американский метеоролог Эдвард Лоренц и франко-американский математик Бенуа Мандельброт. В середине 60-х Лоренц задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию достоверных среднесрочных прогнозов погоды? Лоренц предложил упрощенную модель процессов, происходящих в атмосфере, заметно упростив уравнение Навье-Стокса, описывающее поведение вязкой жидкости. Компьютерный анализ модели Лоренца привел к принципиальному результату: для Влдинамического хаосаВ» возможен весьма ограниченный горизонт прогноза.

С точки зрения математики любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывается движением точек в фазовом пространстве (координатами такого пространства служат степени свободы системы), вернее их траекториями, которые в классической динамике однозначно определены для сколь угодно большого промежутка времени. Но динамическому хаосу соответствует ВлклубокВ» расходящихся траекторий, причем от скорости их расходимости зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз. Благодаря анализу модели Лоренца метеорологи были вынуждены признать, что их Влпророческие способностиВ» ограничены максимум тремя неделями и даже новейшие компьютерные погодные модели пока не в состоянии преодолеть этот барьер.

Бурно развивающаяся с середины прошлого века нелинейная динамика окончательно развеяла иллюзию Влглобальной предсказуемостиВ»: выяснилось, что начиная с какого-то горизонта прогноза мы в принципе не можем предсказать поведение многих даже достаточно простых систем. Однако нелинейная динамика дала исследователям помимо очередной демонстрации принципиальной ограниченности человеческого знания будущего достаточно мощный инструментарий для анализа разнообразных процессов с ограниченным горизонтом прогноза. Нелинейная динамика позволяет устанавливать, сколько переменных необходимо для их описания, сколько переменных нужно для прогнозирования, каким должен быть их мониторинг, т.е. пытается вычленить те элементы, которые оказывают определяющее воздействие на динамические процессы в подобных системах. Ученые принялись за разработку новых поколений моделей и алгоритмов, оперирующих массивами этих переменных, и прогностическая деятельность постепенно стала переходить из разряда любительской в профессиональную: быстрыми темпами пошло развитие Влиндустрии прогнозаВ». В центре внимания прогнозистов сейчас прежде всего находятся описание и предсказание редких катастрофических событий не только в природе, но и в обществе.

Тяжелые хвосты

Философы и социологи часто называют современную цивилизацию Влобществом рискаВ». А в дальнейшем, с развитием научно-технического прогресса, повсеместным внедрением био-, инфо- и прочих неотехнологий, спектр рисков и возможные масштабы катастроф будут только увеличиваться. В этой связи все более актуальной становится задача управления рисками тАУ прогнозирования и предупреждения всякого рода катаклизмов.

Связь между идеями нелинейной динамики и управлением рисками стала ясна недавно. Осознать ее помогла парадоксальная статистика техногенных катастроф. С помощью математического аппарата нелинейной динамики было показано, что все образчики Влчудовищного невезенияВ», сопутствующего прогрессирующему человечеству, вроде аварии на комбинате ВлМаякВ», чернобыльского взрыва или гибели ВлКонкордаВ» зачастую подчиняются неким универсальным сценариям возникновения хаоса из упорядоченного состояния, т.е. представляют из себя вариации на тему вышеописанного третьего класса процессов с ограниченной предсказуемостью.

Еще в начале XIX века Карл Гаусс установил, что вероятность распределения случайных величин достаточно часто описывается одним и тем же математическим выражением, получившим позже его имя. Соответствующая распределению Гаусса кривая показывает, что большие отклонения от средних величин редки, ими можно пренебречь. Однако существует и множество других вероятностных распределений, в том числе степенные. ВлХвостыВ» этих распределений убывают гораздо медленнее, за что они получили название Влраспределений с тяжелыми хвостамиВ». В этом случае вероятности отклонений от средних величин уже существенно больше по сравнению с распределением Гаусса. Если бы человеческий рост был распределен по такому закону, мы бы жили в мире сказок братьев Гримм, регулярно сталкиваясь на улицах с великанами и карликами.

Еще в середине 30-х годов создатель знаменитой Влшкалы землетрясенийВ» Чарльз Рихтер высказал предположение, что именно Влраспределения с тяжелыми хвостамиВ» ответственны за катастрофы. В дальнейшем теория риска установила, что этот закон распределения вероятностей имеет фундаментальный характер для процессов, подпадающих под категорию катастрофических. Сегодня исследователи сходятся во мнении, что степенные распределения Влс тяжелыми хвостамиВ» описывают не только природные, но и разнообразные техногенные катастрофы: аварии на атомных станциях и химических предприятиях, разрывы трубопроводов, неполадки в компьютерных сетях, более того, ими в значительной степени определяется развитие биосферы и поведение финансовых рынков. ВлСтепеннаяВ» статистика существенно отличается от ВлнормальнойВ» (это еще одно название Гауссового распределения). ВлСтепеннаяВ» статистика описывает явления, при которых ущерб от одного самого крупного события может превосходить ущерб от всех остальных событий этого класса вместе взятых (см.Ва ВлИнформационное обеспечение технологических процессовВ»).

Предвестники катастроф

Ответ на вопрос, откуда берется степенная статистика, удалось получить благодаря новой парадигме нелинейной динамики тАУ теории сложности и построенной в ее рамках теории самоорганизованной критичности.

Для всех степенных распределений общим является возникновение длинных цепочек причинно-следственных связей: одно событие может повлечь другое, третье и т.д., в результате чего происходит ВллавинообразныйВ» рост изменений, затрагивающих всю систему. Причем окончание Вллавины измененийВ» тАУ переход к новому состоянию равновесия тАУ может произойти не скоро. Исследование сложных систем, демонстрирующих самоорганизованную критичность (т.е. все тех же систем, относящихся к классу процессов с ограниченным горизонтом прогноза), показало, что такие системы сами по себе стремятся к критическому состоянию, в котором возможны ВллавиныВ» любых масштабов. Поскольку к системам такого сорта относятся биосфера, общество, инфраструктуры различного типа, военно-промышленный комплекс, множество других иерархических систем, результаты теории самоорганизованной критичности очень важны для анализа управляющих воздействий, разработки методов прогнозирования и Влупреждающей защитыВ» от этих явлений.

Именно на базе нелинейной динамики теория рисков выработала своеобразную технику работы с незнанием, направленную на поиски закономерностей поведения произвольной нелинейной системы как целого. Оказывается, компьютерный анализ большого массива статистических данных позволяет выявить так называемые ВлпредвестникиВ» катастроф. Даже незначительный рост этих медленно меняющихся величин, рассчитываемых по определенным сложным формулам, сигнализирует о надвигающейся опасности.

Одним из первых идею о подобном применении методов нелинейной динамики высказал более 20 лет назад Владимир Кейлис-Борок (ныне тАУ академик РАН, директор Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики). Под его руководством был создан алгоритм прогноза, основанный на накопленных за многие годы данных сейсмической активности. Этот метод получил название М8, поскольку предназначался для прогноза достаточно сильных (более чем в 8 баллов) землетрясений. С 1985 года началось систематическое применение разработанного российскими учеными алгоритма. За это время было успешно предсказано пять из семи происшедших крупнейших землетрясений, в том числе Спитакское и Калифорнийское. Впрочем, ВлудачныеВ» предсказания едва ли могут серьезно облегчить работу соответствующим Влслужбам спасенияВ»: точность данного метода крайне невелика тАУ прогноз выдается с неопределенностью по времени в один тАУ два года и с неопределенностью в пространстве в 200..400км. Не слишком успешно применение данного метода и к прогнозу землетрясений слабее 8 баллов. Но даже с учетом этих оговорок продемонстрированная алгоритмом M8 возможность предсказывать землетрясения за несколько лет до их наступления представляется серьезным научным достижением.

Более того, уже обкатанный на прогнозе природных катаклизмов алгоритм был применен Кейлис-Бороком с сотрудниками и в социально-экономической сфере. В рамках метода M8 анализировались экономические рецессии в США с 1963 года по 1997 год. За основу были взяты 9 ежемесячных характеристик экономики США тАУ объем ВВП, суммарный личный доход граждан, уровень безработицы и др. Расчеты на базе этих данных позволяли определить так называемые промежутки тревоги тАУ периоды времени, за которыми должны были последовать рецессии. И действительно, все пять рецессий, происходивших с 1963 года по 1997 год, предварялись периодами тревоги. В одном случае тревога длилась 13 месяцев, в другом тАУ 10, а в оставшихся трех случаях тАУ по 3 месяца. Правда, данное исследование было ретроспективным, и пока вопрос о будущих катаклизмах в американской экономике группа Кейлис-Борока не изучала.

Лавины изменений

Наиболее яркий пример взаимопроникновения точного естествознания и наук об обществе тАУ возникшее в середине 90-х годов новое междисциплинарное направление, эконофизика. Официальной датой ее рождения считается 1997 год, когда в Будапеште была проведена первая ВлэконофизическаяВ» конференция, а начиная с 1999 года Европейское физическое общество поставило организацию конференций ВлПрименение физики в финансовом анализеВ» на поток тАУ в декабре этого года в Лондоне состоится уже третья по счету Влтусовка эконофизиковВ».

Многочисленные зарубежные адепты новомодной дисциплины (подавляющее их большинство по образованию тАУ физики), вооружившись методами нелинейной динамики, сегодня активно вторгаются в заповедную зону экономической науки тАУ в анализ и прогнозирование разнообразных финансовых потрясений (ибо, как мы уже отмечали, финансовые рынки, согласно представлениям нелинейной динамики, тАУ всего лишь одна из вариаций третьего класса процессов, систем с ограниченной предсказуемостью). Характерный пример подобных попыток тАУ недавние исследования группы Дэвида Лэмпера из Оксфордского университета.

Лэмпер создал модель, позволяющую, по его мнению, эффективно предсказывать финансовые катастрофы. Его модель базируется на анализе стандартной системы, состоящей из множества игроков, конкурирующих друг с другом за ограниченные ресурсы. ВлВсеобщая взаимозависимостьВ» поведения игроков приводит к тому, что система в целом оказывается очень чувствительной к небольшим флуктуациям. И хотя подавляющее их большинство так и остается малозначимым для рынка, отдельные ВлмелочиВ» способны вызвать Вллавины измененийВ». Декларируемая новизна подхода Лэмпера состоит в том, что ему якобы удалось Влнащупать очаги будущей катастрофыВ» (те самые ВлпредвестникиВ», выявление которых тАУ важнейшая задача Влрискового прогнозированияВ») тАУ ими оказались так называемые коридоры предсказуемости, внутри которых краткосрочные изменения параметров рынка с высокой степенью определенности соответствуют рациональным ожиданиям. Как ни странно, именно эти небольшие периоды Влповышенной предсказуемостиВ» поведения рынка зачастую предвещают последующие серьезные катаклизмы. С результатами его компьютерного моделирования вполне коррелирует и другое недавнее исследование флуктуаций финансовых рынков, проведенное Рикардо Мансиллой (Национальный университет Мехико). Мансилла также пришел к выводу, что непосредственно перед резкими изменениями на рынке возрастает предсказуемость.

Лавинообразный рост исследований, наблюдающийся в последние годы в сфере анализа и прогнозирования процессов с ограниченной предсказуемостью, безусловно, в значительной степени объясняется увеличением вычислительной мощи используемых при моделировании этих процессов компьютеров. Однако, по мнению ведущего отечественного специалиста в данной области, заместителя директора Института прикладной математики РАН профессора Георгия Малинецкого, оптимистические ожидания, типичные для нашего общества, связывающего слишком много надежд с компьютерными технологиями, пока явно опережают реальный прогресс в этой научной сфере: ВлВначале предполагалось, что автоматизированные системы управления позволят резко повысить эффективность экономики. Но экономика оказалась не готова к этому. Большие надежды возлагались на вычислительный эксперимент, связанный с компьютерным решением различных уравнений. Но выяснилось, что для описания многих важных объектов у нас нет соответствующих уравнений, а если они и есть, то определение коэффициентов и настройка модели сами по себе представляют исключительно сложную задачу. Ахиллесовой пятой алгоритмов прогноза для социально-экономических систем и задач по управлению риском являются данные. Для того чтобы ВлнаучитьВ» соответствующие компьютерные системы, нужно иметь длинные ряды достоверных и достаточно точных данных, характеризующих различные стороны изучаемого объекта. Пока этого практически нигде нет. Только восполнив этот пробел, можно существенно повысить качество прогнозаВ». Так что пока попытка взаимного оплодотворения точного естествознания и наук об обществе (прежде всего экономики) сводится к констатации того, что гуманитариям необходимо накапливать длинные ряды эмпирических данных и учить нелинейную динамику.

Георгий Малинецкий, Сергей Курдюмов. Нелинейная динамика и проблемы прогноза. Доклад на заседании Президиума РАН.

Вместе с этим смотрят:

Aerospace industry in the Russian province

Airbus Industries

AVR микроконтроллер AT90S2333 фирмы Atmel

Bachelor

Cкремблирование и дескремблирование линейного сигнала