Шпаргалка по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(aВ±b)²=a²В±2ab+b²

(aВ±b)³=a³В±3a²b+3ab²В±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³В±b³=(aВ±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+a²x^n-3+..+a^n-1)

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)ВаВа

где x₁ и x₂ тАФ корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

a^pВ·a^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p×b^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pÖa =b => b^p=a

^pÖa^pÖb = ^pÖabВа

Öa ; a = 0

ВаВаВаВаВа ____

ВаВаВа /ВаВа __ВаВаВаВаВаВаВаВа _

^pÖ ^gÖaВаВаВа = ^pgÖa

ВаВаВа ___ВаВаВаВаВаВа __

^pkÖa^gk =Ва ^pÖa^g

_pВа ____

ВаВа /ВаВаВа aВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ^pÖaВаВаВа

Ва /Ва ¾¾Ва = ¾¾¾¾

ÖВаВаВаВа bВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ^pÖb

a ^1/p = ^pÖaВа

^pÖa^g = a^g/p

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a¹0)

x_1,2= (-bВ±ÖD)/2a; D=b² -4ac

D>0Во x₁¹x₂ ;D=0Во x₁=x₂

D<0, корней нет.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

Теорема Виета:

Ваx₁+x₂ = -b/aВа

Ваx₁× x₂ = c/aВа

ВаПриведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

Ваx₁+x₂ = -p

Ваx₁×x₂ = q

ВаЕсли p=2k (p-четн.)

и x²+2kx+q=0, то x_1,2Ва = -kВ±Ö(k²-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

Ö((x₂-x₁)²-(y₂-y₁)²)

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_aВа x = b;Ва x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a yВаВа

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a xВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c¹1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_nВа = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)nВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

Геометрическая

Ваb_nВа = b_n-1 ×Ва q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b₁×q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) =Ва cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sinВа (a + 2pk) = sin a

tgВа (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

x, y, x - y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2 cos² a/2

1-cosa = 2 sin² a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

ВаФ-лы половинного аргумента.

sin² a/2 = (1 - cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin aВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

Ваa¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)ВаВаВаВаВаВаВаВаВа

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа sin (x+y)

tg x + tg y = тАФтАФтАФтАФтАФВаВаВаВаВаВа

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа cos x cos yВа

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа sin (x - y)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

tg x - tgy =Ва тАФтАФтАФтАФтАФВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа cos x cos yВаВаВаВаВаВаВаВа

Формулы преобр. произв. в суммуВаВа

sin x sin y = РЕ(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = РЕ(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = РЕ(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

cos x =Ва (1-tg² 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)

cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)

ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a

cos3a = 4cos³a-3 cosa=Ва

= cos³a-3cosasin²a

tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)

ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)

sin a/2 = В±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = В±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = В±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = В±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]

arcsin(sina)=

1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a -pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/Ö(1-a²)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

Ва= arc ctga/Ö(1-a²)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a²)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a²)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)ⁿarcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа sin x = 0

x = p/2 + 2pkВаВаВаВаВаВа x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = В± arccos m + 2pk

cos x = 1ВаВаВа cos x = 0

x = 2pkВаВаВаВаВаВа x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

Ваlog_af(x) >(<) log _a j(x)

1. a>1, то :Ва f(x) >0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаj(x)>0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f(x)>j(x)

2. 00

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа j(x)>0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f(x)

3. log _f(x) j(x) = aВаВаВа

ОДЗ: j(x) > 0

Ваf(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

..

2. Решения заменой ..

3.

sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin a ³ m

2pk+a₁ = a = a₂+ 2pk

2pk+a₂ = a= (a₁+2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

Ва pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

Ва 2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a = 1/2

2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk

cos a ³(=) m

2pk + a₁ < a< a₂+2 pk

2pk+a₂< a< (a₁+2p) + 2pk

cos a ³ - Ö2/2

2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk

tg a³(=) m

pk+ arctg m =a= arctg m + pk

ctg ³(=) m

pk+arcctg m < a< p+pk

Производная:

(xⁿ)^тАЩ = n× x^n-1

(a^x)тАЩ =Ва a^x× ln a

(lg a^x )тАЩ= 1/(x×ln a)

(sin x)тАЩ = cos x

(cos x)тАЩ = -sin x

(tg x)тАЩ = 1/cos² x

(ctg x)тАЩ =Ва - 1/sin²x

(arcsin x)тАЩ = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)тАЩ = - 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)тАЩ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)тАЩ = - 1/ Ö(1+x²)

Св-ва:

(u × v)тАЩ = uтАЩ×v + u×vтАЩ

(u/v)тАЩ = (uтАЩv - uvтАЩ)/ v²

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀)+ f тАЩ(x₀)(x-x₀)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X₀, f(x₀), f тАШ (x₀), выразим х

Интегралы :

ò xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

ò a^x dx = ax/ln a + c

ò e^x dx = e^x + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x =Ва tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx =Ва arctg x + cВа

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + cВа

Площадь криволенейной трапеции.

ВаГеометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² - 2bc cos a

b² = a²+c² - 2ac cos b

c² = a² + b² - 2ab cos g

ВаМедиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=РЕ(a+b+c)

ВаВаВаВаВаВаВаВа _____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = РЕab sin a

S_равн.=(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S=Ва pR²

S_{сектора}=(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_осн×Р

Прямоугольный

ВаV=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.×H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная :

ВаВаВаВаВаВа H .ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа _____

V =Ва 3ВаВаВа (S₁+S₂+ÖS₁S₂)

S₁ и S₂ тАФ площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 pR²H

S_бок. =pRl

S_бок.= pR(R+1)

Усеченный

S_бок.= pl(R₁+R₂)

V=1/3pH(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.×H

прямая: S_бок.=P_осн.×H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

наклонная :

S_бок.=P_пс×a

V = S_пс×a, а -бок. ребро.

P_пс тАФ периметр

ВаS_пс тАФ пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; S_бок.= 2pRH

S_полн.=2pR(H+R)

S_бок.= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ - шар

S = 4pR³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(R-H/3)

S=2pRH

град

0В°

30В°

45В°

60В°

90В°

120В°

135В°

180В°

a

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

0

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

p

sina

-1

-Ö3/2

-Ö2/2

- РЕ

0

РЕ

Ö2/2

Ö3/2

1

- РЕ

0

cosa

1

Ö3/2

Ö2/2

РЕ

0

- РЕ

-Ö2/2

- Ö3/2

-1

tga

Ï

-Ö3

-1

-1/Ö3

0

1/Ö3

1

Ö3

Î

-Ö3

-1

0

ctga

---

Ö3

1

1/Ö3

0

-1/Ö3

-1

--

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

	-a	p-a	p+a	p/2-a	p/2+a	3p/2 - a	3p/2+a
sin	-sina	sina	-sina	cosa	cosa	-cosa	-cosa
cos	cosa	-cosa	-cosa	sina	-sina	-sina	sina
tg	-tga	-tga	tga	ctga	-ctga	ctga	-ctga
ctg	-ctga	-ctga	ctga	tga	-tga	tga	-tga

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Bilet