Типовые задачи по матанализу

Исследовать на наибольшее и наименьшее значение по заданному отрезку.

Решение:

Рассмотрим фун-ю у=тАж. и исследуем ее на промеж при хэ[.;.] на наиб, наимень значения.

1)Д(у)=тАж

2)Найдем производ фун-и утАЩ=тАж

3)Д(утАЩ)=тАж.

4)Найдем критич точки утАЩ=0, тАжтАж=0

х1=тАж;х2=тАж-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю. Эти точки принадлежат (или нет) нашему промеж [тАж;тАж].

х1э[тАж;тАж]; x2э[тАж;тАж].

Найдем значения в кртич точках и на концах отрезка: f(тАж)=тАж;f(x1)=тАж;f(x2)=тАж;f(тАж)=тАж

Наиболь знач фун-я принимает при х=тАж,а наимень при х=тАж

Max[тАж;тАж] f(x)=тАжтАж;min[..;тАж] f(x)=тАж.

Ответ: наиб знач фун-я принимает при х=.,а наимень при х=тАж

Найти область определения фун-и.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=тАж

1)Д (f) (т.к. многочлен)

2)Найдем нули функции: f(x)=0, тАж.=0

х1=тАж;х2=тАж-эти точки разбив числовую прямую на промеж в каждом из которых фун-я сохран свой знак в силу непрерывности.

ВаВаВаВаВаВаВа +ВаВаВаВаВаВаВаВа х1ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа -ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа х2ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа +

На промеж (-беск;х1):f(x)=тАж>0 и т.д.

Т.к. функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Ответ: Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Исследовать на монотонность.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=тАж

1)Д (f)=тАж.

2)Находим производ fтАЩ(x)=тАж.

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: fтАЩ(x)=0, тАжтАж=0

х1=тАж;х2=тАж-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

ВаВаВаВа +ВаВаВа x1ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа -ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа x2Ва +ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

На промеж (-беск;х1):f(x)=тАж>0 и т.д.

4)Т.к. в точках x1=.,Ва x2=.фун-я определена, то она возростает на промежетке (-беск; x1]$ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа [x2;+беск)и убывает на промеж [x1 ;х2].

Ответ: возростает на промежетке (-беск; x1]$ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа [x2;+беск) и убывает на промеж [x1 ;х2].

Исследовать на экстремум.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=тАж

1)Д (f)=тАж.

2)Находим производ fтАЩ(x)=тАж.

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: fтАЩ(x)=0, тАжтАж=0

х1=тАж;х2=тАж-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

ВаВаВаВа -ВаВа x1ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа +ВаВаВаВаВаВаВаВаВа x2ВаВаВа -ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

На промеж (-беск;х1):f(x)=тАж>0 и т.д.

4)В точке х1=тАжпроизвод сменила знак с минуса на плюс,значит эта точка минимума. В точке х2=тАжпроизводная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

Хmin=х1,Уmin(х1)=тАж; Хmax=х2,Уmax(х2)=тАж

Ответ: Хmin=х1,Уmin(х1)=тАж-минимум фун-и; Хmax=х2,Уmax(х2)=тАж-максимум фун-и.

Исследовать фун-ю и построить график.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=тАж

1)Д (f)=тАж.

2) f(x)-нечетная (четная, ни нечетная), так какВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f(-x)=тАж=-f(x)

3)Точки пересечения с осями.ОУ:х=0,у=тАж(х;у)

ВаВаВа ОХ: у=0,х=тАж(х;у)

4)Находим производ fтАЩ(x)=тАж.

5)Приравниваем производ к нулю и

находим критич точки: fтАЩ(x)=0, тАжтАж=0

х1=тАж;х2=тАж-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

ХВаВаВаВаВа (-беск;x1)ВаВа x1 (х1;х2)ВаВаВа x2ВаВаВаВа (x2;+беск)

fтАЭ(x)ВаВаВаВаВаВаВа -ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 0ВаВаВаВаВаВа +ВаВаВаВаВаВаВа 0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа -

f(x)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа тАжВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа тАж

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа minВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа maxВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

f(x1)=тАж; f(x2)=тАж.

На промеж (-беск;х1):f(x)=тАж<0 и т.д.

6) В точке х1=тАжпроизвод сменила знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума. В точке х2=тАжпроизводная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

7) Т.к. в точках x1=.,Ва x2=.фун-я определена, то она возростает на промежетке (x1;x2) и убывает на промеж (-беск;х1)$(x2;+беск).

СТРОИШЬ ГРАФИК

Ответ: все полученные значения.

Решить методом интервалов.

Решите нер-во: тАж><0

Решение:

1)Рассмотрим функцию и решим ее методом интервалов ..><0.

2)Д(у)=тАжи ОДЗ

3)Находим нули фун-и f(x)=0, тАж.=0

x1=тАж,x2=тАж-эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых фун-я сохраняет свой знак в силу непрерывности.

ВаВаВаВаВаВа +ВаВаВа x1ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа -ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа x2Ва +ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

4)f(.)=..>0;

ВаВа f(.)=тАж<0; f(.)=тАж>0;

Т.к. фун-я принимает неотриц-е (неполож.) значения на промеж. (-бескон;тАж),(тАж,+бескон), то решением нерав-ва будет их объед-е.

Ответ:(-.;тАж)$(тАж;+тАж).

Составить ур-е касат-й в точке х0=.Найдите коор-ты всех точек граф. этой фун-и параль-но найденной касатель.

Решение:

у=fтАЭ(x0)(x-x0)+f(x0)-общий вид ур-я касатель.

Рассмотрим фун-ю f(х)=тАж

1)Д(f)=тАж.

2)Найдем произв. фун-ии f(х)=тАж

ВаВаВа fтАЩ(х)=тАж.

3)Д(fтАЩ)=тАж.

4)fтАЩ(x0)=тАж;f(x0)=тАжСлед-но ур-е касатель имеет вид: y=fтАЭ(x0)(x-x0)+f(x0)

Производная фун-иВа в точке х0=., есть угловой коэф-т касатель провед к граф фун-и в точке (х0;f(x0)) т.к. надо найти парал-е касатель, значит угловые коэф-ты долны быть одинаковыми(т.е. равны).

ВаДополнительно: у=fтАЩ(x0)(x-x0)+f(x0) и у=кх+в

Ответ:у=ур-е касательВаВа (х0;f(x0))Ва

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Bilet