Системный анализ и проблемы принятия решений

МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ МВД РОССИИ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ

РЕФЕРАТ

ТЕМА № 19:

Системный анализ и проблемы принятия решений.

ВЫПОЛНИЛ: Слушатель 3-го курса 311 учебной группы

заочной формы обучения

МА МВД России

лейтенант юстиции

Трофимов А.А.

МОСКВА 2000г.

ПЛАН РАБОТЫ:

1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ.

2. АКСИОМАТИКА СИСТЕМНЫХ СВОЙСТВ.

3. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРОБЛЕМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

4. ОПЕРАЦИЯ. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ.

5. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

6. ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ.

7. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ:

Системный анализ

- Совокупность методологических средств, обеспечиваюВнщих решение сложных проблем политического, социальВнного, экономического, правового и т. д. характера.

- Системный анализ базируется на ряде прикладных матеВнматических дисциплин, в частности на исследовании опеВнраций.

- Примерами задач, решаемых с помощью методов исВнследований операций и математического программироВнвания, являются:

1.Разработка высокоэффективных методов управления людьми и техникой.

2.Определение и обоснование целей функционирования системы.

- Исследование операций - наука, вырабатывающая решеВнния во всех областях деятельности человека.

Разработка методов использования имеющейся техники, обеспеВнчивающей выполнение поставленной задачи с минимальными затратами и с максимальной эффективностью.

ОСНОВНЫЕ СИСТЕМНЫЕ ПОНЯТИЯ

Аксиоматика системных свойств

Система - совокупность элементов, объединенных общей функциональной средой и целью функционирования.

Функциональная среда системы - характерная для системы совокупность законов, алгоритмов и параметров, по котоВнрым осуществляется взаимодействие между элементами системы и функционирование системы в целом.

Элемент системы - условно неделимая, самостоятельно функционирующая часть системы.

Компонент системы - множество относительно однородных элементов, объединенных общими функциями при обеспечении выполнения общих целей развития системы.

Структура системы - совокупность связей, по которым обеспечивается энерго-, массо- и информационный обмен межВнду элементами системы, определяющий функционирование системы в целом и способы ее взаимодействия с внешней средой.

Примером сложной системы является Министерство внутренних дел, сложной как по своей структуре, так и характеру выполняемых министерством задач: обеспечение безопасности страны и отдельных граждан в совместной деятельности с другими правоохранительными системами страны.

Функциональную среду правоохранительной системы составляют: конституция страны, законодательные акты, УПК и другие нормативные документы. Эти законы определяют возможную динамику взаимосвязей между службами и подразделениями министерства различными документами, не позволяющими данным элементам развиваться во вред целому.

Системное рассмотрение правоохранительных органов позволяет представить каждую систему как подсистему системы более высокого уровня. Тогда специфику каждой из них определяют те ее свойства, которые важны именно с точки зрения функциоВннирования системы более высокого уровня. При этом данные свойства оценивают рассматриваемую подсистему в целом и имеют общий, интегральный по отношению к ней характер. Такие свойства называются системообразующими факторами, или интегральными свойствами системы.

Таким образом, рассматривая любой системный объект, его необходимо выделить как целостное образование, обращая внимаВнние, во-первых, на интегральные свойства, важные с точки зрения его специфики как компонента системы следующего (более высокого) уровня. Во-вторых, следует определить составные части рассматриваемого объекта и изучить обобщенную структуру их взаимодействия, характеризующую интегральные свойства.

Системное изучение различных объектов имеет, в частности, научно-организационное значение. В настоящее время выработка управленческих решений, особенно большого масштаба, сама по себе зачастую представляет серьезную научную проблему. Для ее решения применяется ЭВМ.

Системное представление объектов, разделение их на подсистемы, ограничение учитываемых характеристик только интегральВнными показателями, построение обобщенной структуры объектов и другие аналогичные приемы резко снижают размерность математических моделей, применяемых в прикладных целях. Предварительная системная структуризация объектов и проблем управления - практически единственная возможность конструктивно применить для их решения математические методы с использованием средств вычислительной техники.

В соответствии с законом адаптации реакции системы на внешнее воздействие в первую очередь направлены на то, чтобы уменьшить отрицательные последствия этого воздействия.

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРОБЛЕМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Построение модели интересующего исследователя процесса или явления не всегда возможно. Выработка управленческих решений при невозможности создания, например, динамических, игровых и иных количественных моделей, с помощью которых отрабатываВнлись рациональные и оптимальные элементы управления в самом широком значении этого термина, привела к появлению в рамках системного анализа направления, касающегося принятия решений в условиях так называемого уникального выбора.

Процесс уникального выбора характеризуется тремя необходимыми условиями: наличием проблемы, требующей разрешения;

наличием лица или группы лиц, принимающих решение; несколькими вариантами, из которых осуществляется выбор. При отсутствии хотя бы одной из этих составляющих процесса выбора нет.

Трудные, нестандартные, по-своему уникальные процессы и явления характеризуются рядом моментов.

Многокритериальный характер наиболее актуальных проблем. Обычно не удается сводить оценку каждой из предложенных альтернатив к какому-либо одному численному показателю, например к определению сил и средств на выполнение правоохранительных мероприятий. Необходимо одновременно оценивать каждую альтернативу по многим показателям.__________

Субъективизм оценок качества альтернатив (тем более в многокритериальном случае.

Неопределенность в полноте списка альтернатив. Всегда можно спросить: "А все ли возможные варианты решения были расВнсмотрены?" Такого рода трудности делают процесс решения проблем уникального выбора весьма непростым и характеризуемым постоянным повышением "цены ошибки".

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

1. ОПЕРАЦИЯ. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПЕРАЦИИ

Под операцией мы будем понимать любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели.

Примеры операций.

1. Система мероприятий, направленная к повышению надежносВнти технического устройства.

2. Отражение воздушного налета средствами ПВО.

3. Размещение заказов на производство оборудования.

4. Разведывательный поиск группы самолетов в тылу противника.

5. Запуск группы искусственных спутников Земли для установлеВнния системы телевизионной связи.

6. Система перевозок, обеспечивающая снабжение ряда пунктов определенного вида товарами.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т. е. от нас зависит выбрать тем или другим способом какие-то параВнметры, характеризующие способ ее организации. ВлОрганизацияВ» здесь понимается в широком смысле слова, включая и выбор технических средств, применяемых в операции. Например, организуя отражение воздушного налета средствами ПВО, мы можем, в зависимости от обВнстановки, выбирать тип и свойства применяемых технических средств (ракет, установок) или же, при заданных технических средствах, реВншать только задачу рациональной организации самой процедуры отраВнжения нa^eтa (распределение целей между установками, количество ракет, направляемых на каждую цель и т. д.).

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров мы буВндем называть решением.

Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и нераВнзумными. Оптимальными называются решения, которые, по тем или иным соображениям, предпочтительнее других.

Основная задача исследования операцийтАФпредварительное колиВнчественное обоснование оптимальных решений.

Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лиВнца (или группы лиц), которым предоставлено право окончательного выВнбора. При этом выборе ответственные за него лица могут учитывать, наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые не были учтены расчетом.

Таким образом, исследование операций не ставит себе задачей полную автоматизацию принятия решений, полное исключение из этоВнго процесса размышляющего, оценивающего, критикующего человеВнческого сознания. В конечном итоге, решение всегда принимается чеВнловеком (или группой лиц); задача исследования операций тАФ подгоВнтовить количественные данные и рекомендации, облегчающие человеВнку принятие решения*).

*) Даже в тех случаях, когда принятие решения, казалось бы, полностью автоВнматизировано (например, в процессе автоматического управления предприяВнтием или космическим кораблем), роль человека не устраняется, ибо, в конечВнном счете, от него зависит выбор алгоритма, по которому осуществляется управление.

Наряду с основной задачей тАФ обоснованием оптимальных решеВнний тАФ к области исследования операций относятся и другие задачи, такие как

тАФ сравнительная оценка различных вариантов организации опеВнрации;

тАФ оценка влияния на результат операции различных параметров (элементов решения и заданных условий);

тАФ исследование так называемых Влузких местВ», то есть элементов управляемой системы, нарушение работы которых особенно сильно сказывается на успехе операции, и т. д.

Эти ВлвспомогательныеВ» задачи исследования операций приобреВнтают особую важность, когда мы рассматриваем данную операцию не изолированно, а как составной элемент целой системы операций. Так называемый ВлсистемныйВ» подход к задачам исследования операций требует учета взаимной зависимости и обусловленности целого комВнплекса мероприятий. Разумеется, в принципе всегда можно объедиВннить систему операций в одну сложную операцию более Влвысокого поВнрядкаВ», но на практике это не всегда удобно (и не всегда желательно), и в ряде случаев целесообразно выделять в качестве ВлоперацийВ» отВндельные элементы системы, а окончательное решение принимать с учеВнтом роли и места данной операции в системе.

Итак, рассмотрим отдельную операцию О. Размышляя над орВнганизацией операции, мы стремимся сделать ее наиболее эффективной. Под эффективностью операции разумеется степень ее приВнспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее.

Чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между соВнбой по эффективности различно организованные операции, нужно иметь некоторый численный критерий оценки или покаВнзатель эффективности (в некоторых руководствах покаВнзатель эффективности называют Влцелевой функциейВ»).

Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквой W.

Конкретный вид показателя эффективности W, которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от спеВнцифики рассматриваемой операции, ее целевой направленности, а такВнже от задачи исследования, которая может быть поставлена в той или другой форме.

Многие операции выполняются в условиях, содержащих элемент случайности (например, операции, связанные с колебаниями спроса и предложения, с движением народонаселения, заболеваемостью, смертностью, а также все военные операции). В этих случаях исход операции, даже организованной строго определенным образом, не моВнжет быть точно предсказан, остается случайным. Если это так, то в каВнчестве показателя эффективности W выбирается не просто характерисВнтика исхода операции, а ее среднее значение (математическое ожидаВнние). Например, если задача операции тАФ получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффективности берется средняя прибыль. В других случаях, когда задачей операции является осуществление вполне определенного события, в качестве показателя эффективности берут вероятность этого события (например, веВнроятность того, что в результате воздушного налета данная группа целей будет поражена).

Правильный выбор показателя эффективности тАФ необходимое условие полезности исследования, применяемого для обоснования реВншения.

Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых показатель эфВнфективности W выбран в соответствии с целевой направленностью опеВнрации.

Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности Показатель эффективности тАФ прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за хозяйственный год

Пример 2 Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата одиВнночного самолета противника Цель операции тАФ сбить самолет. Показатель эфВнфективности тАФ вероятность поражения (сбития) самолета

Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности тАФ среднее число машин, обслуженных за день (ВлсредВннееВ» потому, что фактическое число случайно)

Пример 4. Группа радиолокационных станций в определенном районе веВндет наблюдение за воздушным пространством. Задача группы тАФ обнаружить любой самолет, если он появится в районе Показатель эффективности тАФ веВнроятность обнаружения любого самолета, появившегося в районе.

Пример 5. Предпринимается ряд мер по повышению надежности электронВнной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Цель операции тАФ уменьшить частоту появления неисправностей (ВлсбоевВ») ЭЦВМ, или, что равносильно, увеВнличить средний промежуток времени между сбоями (Влнаработку на отказВ»). ПоВнказатель эффективности тАФ среднее время безотказной работы ЭЦВМ (или средВннее относительное время исправной работы).

Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве опреВнделенного вида товаров. Показатель эффективноститАФколичество (или среднее количество) сэкономленных средств.

Во всех рассмотренных примерах показатель эффективности, каВнков бы он ни был, требовалось обратить в максимум (Влчем больше, тем лучшеВ»). Вообще, это не обязательно: в исследовании операций часто пользуются показателями, которые требуется обратить не в максимум, а в минимум (Влчем меньше, тем лучшеВ»). Например, в примере 4 можно было бы в качестве показателя эффективности взять Влвероятность тоге, что появившийся самолет не будет обнаруженВ» тАФ этот показатель жеВнлательно сделать как можно меньше. В примере 5 за показатель эфВнфективности можно было бы принять Влсреднее число сбоев за суткиВ», которое желательно минимизировать. Если оценивается какая-то система, обеспечивающая наведение снаряда на цель, то в качестве поВнказателя эффективности можно выбрать среднее значение ВлпромахаВ» снаряда (расстояния от траектории до центра цели), которое желательно сделать как можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнение какой-либо задачи, тоже желательно сделать минимальным, равно как и стоимость предпринимаемой системы мероприятий. Таким образом, во многих задачах исследования операций разумное решение должно обеспечивать не максимум, а минимум некоторого показателя.

Очевидно, что случай, когда показатель эффективности W надо обратить в минимум, легко сводится к задаче максимизации (для этого достаточно, например, изменить знак величины W). Поэтому в дальВннейшем, рассматривая в общем виде задачу исследования операций, мы будем для простоты говорить только о случае, когда W требуется обВнратить в м а к с и м у м. Что касается практических конкретных заВндач, то мы будем пользоваться как показателями эффективности, котоВнрые требуется максимизировать, так и теми, которые требуется миниВнмизировать.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить ту или другую математическую модель явления. Me составляет исключения и исследование опеВнраций. При построении математической модели явление (в нашем слуВнчае тАФ операция) каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и исходом операции тАФ показателем эффективности (или показателями, если их в данной задаче несколько).

Чем удачнее подобрана математическая модель, тем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет исследоваВнние и полезнее тАФ вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не сущестВнвует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи научного исследования, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные.

Требования к модели противоречивы. С одной стороны, она должВнна быть достаточно полной, т. е. в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит исход операции. С друВнгой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить обозримые (желательнотАФ аналитические) зависимости между входящими в нее параметрами. Модель не должна быть ВлзасоренаВ» множеством мелких, второстепенных факторов тАФ их учет усложняет математический анализ и делает результаты исследоВнвания трудно обозримыми.

Одним словом, искусство составлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая - утонуть в подробностях (Влиз-за деревьев не увидеть лесаВ»); вторая - слишком огрубить явление (Влвыплеснуть из ванны вместе с водой и реВнбенкаВ»). В сложных случаях, когда построение модели вызывает наиВнбольшее сомнение, полезным оказывается своеобразный Влспор моделейВ», когда одно и то же явление исследуется на нескольких моделях. Если научные выводы и рекомендации от модели к модели меняются мало, это тАФ серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Характерным для сложных задач исследования операций являетВнся также повторное обращение к модели: после того, как первый цикл исследований выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы.

Построение математической модели тАФ наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько в математике, сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз созданная удачная модель может найти применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она первоВнначально создавалась. Так, например, математические модели массоВнвого обслуживания нашли широкое применение в целом ряде обласВнтей, далеких, с первого взгляда, от массового обслуживания (надежВнность технических устройств, организация автоматизированного проВнизводства, задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначальВнно предназначенные для описания динамики развития биологических популяций, находят широкое применение при описании боевых дейстВнвий и наоборот тАФ боевые модели с успехом применяются в биологии.

Математические модели, применяемые в настоящее время в задаВнчах исследования операций, можно грубо подразделить на два класса:

а н а л и т и ч е с к и е и с т а т и с т и ч е с к и е.

Для первых характерно установление формульных, аналитичеВнских зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое описание операции было возможно, как правило, нужно принять те или иные допущения или упрощения. С помощью аналитиВнческих моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые операции, где число взаимодействующих элементов не слишком велико. В операциях же большого масштаба, сложных, в которых переплетается действие огромного количества факторов, в том числе и случайных, на первый план выходит метод статистического моделирования. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы ВлкопируетсяВ» на вычислительной машине, со всеми сопровождающими его случайностями. Всякий раз, когда в ход опеВнрации вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учиВнтывается посредством ВлрозыгрышаВ», напоминающего бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается поВнлучить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими то преимуВнщество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу и осмыслению. Более груВнбые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие явВнлению основные закономерности. Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей:

простая аналитическая модель позволяет вчерне разобраться в основВнных закономерностях явления, наметить главные его контуры, а люВнбое дальнейшее уточнение может быть получено статистическим модеВнлированием.

3. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ

Рассмотрим задачу исследования операций в общей постановке, безотносительно к виду и цели операции.

Пусть имеется некоторая операция 0, т. е. управляемое мероВнприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом зависящие от нас параметры. Эффективность операции характеризуется каким-то численным критерием или покаВнзателем W, который требуется обратить в максимум (случай, когда его требуется обратить в минимум, сводится к предыдущему и отдельно не рассматривается).

Предположим, что тем или иным способом математическая модель операции построена; она позволяет вычислить показатель эффективВнности W при любом принятом решении, для любой совокупности условий, в которых выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит успех операции, делятся на две группы:

тАФ заданные, заранее известные факторы (условия проведения опеВнрации) а1, а2.., на которые мы влиять не можем;

тАФ зависящие от нас факторы (элементы решения) х1, х2, .., которые мы, в известных пределах, можем выбирать по своему усмотрению.

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, мы будем называть детерминированным.

Заметим, что под Влзаданными условиямиВ» операции а1,а2 .. моВнгут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частноститАФ ограничения, наложенные на элементы решения. Равным обВнразом, элементы решения х1, х2, .. также могут быть не только числаВнми, но и функциями.

Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов:

как от заданных условий, так и от элементов решения. Запишем эту зависимость в виде общей символической формулы:

W=W(a1, а2,.. х1, х2,..). (3.1)

Так как математическая модель построена, будем считать, что заВнвисимость (3.1) нам известна, и для любых а1, а2 ..; х1, х2, .. мы моВнжем найти W.

Тогда задачу исследования операций можно математически сфорВнмулировать так:

При заданных условиях а1, а2, .. найти такие элементы решения х1, х2, .., которые обращают показатель W в максимум.

Перед нами тАФ типично математическая задача, относящаяся к классу так называемых вариационных задач. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике. Простейшие из этих методов (Влзадачи на максимум и минимумВ») хорошо известны каждому инженеру. Для нахождения максимума или минимума (короВнче, экстремума) функции нужно продифференцировать ее по аргуВнменту (или аргументам, если их несколько), приравнять производные нулю и решить полученную систему уравнений.

Однако, этот простой метод в задачах исследования операций имеет ограниченное применение. Причин этому несколько.

1. Когда аргументов х1, х2, .. много (а это типично для задач исВнследования операций), совместное решение системы уравнений, полуВнченных дифференцированием основной зависимости, зачастую оказыВнвается не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

2. В случае, когда на элементы решения х1, х2, .. наложены ограВнничения (т. е., область их изменения ограничена), часто экстремум наВнблюдается не в точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области возможных решений. Возникает специфическая для исследования операций математическая задача Влпоиска экстреВнмума при наличии ограниченийВ», не укладывающаяся в схему классиВнческих вариационных методов.

3. Наконец, производных, о которых идет речь, может вовсе не существовать, например, если аргументы х1, х2, .. изменяются не неВнпрерывно, а дискретно, или же сама функция W имеет особенности.

Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. Однако для случаев, когда функция и ограничения обладают опредеВнленными свойствами, современная математика предлагает ряд СпеВнциальных методов. Например, если показатель эффективности W завиВнсит от элементов решения х1, х2, .. линейной ограничения, наВнложенные на х1, х2, .., также имеют вид линейных равенств (или неравенств), максимум функции W находится с помощью специального аппарата, так называемого линейного программироваВнния. Если эти функции обладают другими свойствами (наВнпример, выпуклы или квадратичны), применяется аппарат ВлвыпуклогоВ» или ВлквадратичногоВ» программирования, более сложный по сравнеВннию с линейным программированием, но все же позволяющий в приемВнлемые сроки найти решение. Если операция естественным образом расчленяется на ряд ВлшаговВ» или ВлэтаповВ» (например, хозяйственных лет), а показатель эффективности W выражается в виде суммы показаВнтелей Wi, достигнутых за отдельные этапы, для нахождения решения, обеспечивающего максимальную эффективность, может быть применен метод динамического программирования.

Если операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функцию x(f), то для нахождения оптимального упВнравления может оказаться полезным специально разработанный метод Л. С. Понтрягина.

Таким образом, в рассматриваемом детерминированном случае задача отыскания оптимального решения сводится к математической задаче отыскания экстремума функции W; эта задача может быть весьВнма сложной (особенно при многих аргументах), но, в конце концов, является вычислительной задачей, которую, особенно при наличии быстродействующих ЭЦВМ, удается, так или иначе, решить до конца. Трудности, возникающие при этом, являются расчетными, а не принВнципиальными.

4. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В предыдущем параграфе мы рассмотрели самый простой, полВнностью детерминированный случай, когда все условия операции а1, а2, .. известны, и любой выбор решения х1, х2,.. приводит к вполВнне определенному значению показателя эффективности W.

К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встреВнчается на практике. Гораздо более типичен случай, когда не все условия, в которых будет проводиться операция, известны зараВннее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. НаприВнмер, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или же от поведения разумного противника, действия которого заранее неизВнвестны.

В подобных случаях эффективность операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

тАФ условия выполнения операции а1, а2, .., которые известны заВнранее и изменены быть не могут;

тАФ неизвестные условия или факторы Y1, Y2, .. ;

тАФ элементы решения х1, х2, .., которые нам предстоит выбрать. Пусть эффективность операции характеризуется некоторым покаВнзателем W, зависящим от всех трех групп факторов. Это мы запишем в виде общей формулы:

W=W(a1, а2,..; Y1, Y2,..; х1, х2,..).

Если бы условия Y1, У2, .. были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение х1, х2, .., при котоВнром он максимизируется. Беда в том, что параметры Y1,Y2, .. нам неВнизвестны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффекВнтивности W при любом решении. Тем не менее задача выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно сформулировать так:

При заданных условияха1, а2,тАж, с учетом неизвестных факторов Y1, y2,.. найти такие элементы решения х1, х2, .., которые по возВнможности обращали бы в максимум показатель эффективности W.

Это тАФ уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка Влпо возможностиВ»). Наличие неизвестВнных факторов Y1, Y2, .. переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенВнности.

Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возможВнности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело тАФ сообщить своему решению в наиВнбольшей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в усВнловиях неопределенности, но на основе математических расчетов, буВндет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из видВнных зарубежных специалистов тАФ Т. Л. Саати в книге ВлМатематичесВнкие методы исследования операцийВ» дает своему предмету следуюВнщее ироническое определение:

ВлИсследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методамиВ».

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречаютВнся нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес чеВнмодана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2, ..). Погода в районах путеВншествия заранее неизвестна (условия Y1, Y2, ..). Спрашивается, каВнкие предметы одежды (х1,х2, ..) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные данВнные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят от того, каВнкова природа неизвестных факторов Y1,Y2,тАжи какими ориентироВнвочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является слуВнчай, когда неизвестные факторы Y1,Y2,тАжпредставляют собой слуВнчайные величины (или же случайные функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслуживаВнния прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвестВнны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в кажВндом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти хаВнрактеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математиВнческой статистики.

Аналогично, в каждой военной операции присутствуют случайВнные факторы, связанные с рассеиванием снарядов, со случайностью моментов обнаружения целей и т. п. В принципе все эти факторы могут быть изучены методами теории вероятностей, и для них могут быть поВнлучены законы распределения (или, по крайней мере, числовые харакВнтеристики).

В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в операВнции тАФ Y1,Y2,тАж. тАФ являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориенВнтировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:

тАФ искусственное сведение к детерминированной схеме;

тАФ Влоптимизация в среднемВ».

Остановимся более подробно на каждом из этих приемов. Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятностВнная картина явления приближенно заменяется детерминированной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы Y1,Y2,тАж. приближенно заменяются не случайными (как правило, их математиВнческими ожиданиями).

Этот прием применяется по преимуществу в грубых, ориентироВнвочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1,Y2,тАж. сравнительно мал, т. е. они без большой натяжки могут расВнсматриваться как не случайные. Заметим, что тот же прием замены случайных величин их математическими ожиданиями может успешно применяться и в случаях, когда величины Y1,Y2,тАж. обладают больВншим разбросом, но показатель эффективности W зависит от них лиВннейно (или почти линейно).

Второй прием (Влоптимизация в среднемВ»), более сложный, приВнменяется, когда случайность величин Y1,Y2,тАж. весьма существенна и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привесВнти к большим ошибкам.

Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эфВнфективности W существенно зависит от случайных факторов (будем для простоты считать их случайными величинами) Y1,Y2,тАж.; допусВнтим, что нам известно распределение этих факторов, скажем, плотВнность распределения f (Y1,Y2,тАж). Предположим, что операция выполВнняется много раз, причем условия Y1,Y2,тАж меняются от раза к разу случайным образом. Какое решение х1, х2,.. следует выбрать? Очевидно, то, при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е. математическое ожидание показателя эффективВнности W будет максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решение X1,Х2, .. , при котором обращается в максимум математичеВнское ожидание показателя эффективности:

W=M[W}==

== тАж. W(a1, a2,тАж; y1,y2,тАж; x1,x2тАж) (y1,y2,..) dy1dy2тАж.

Такую оптимизацию мы будем называть Влоптимизацией в средВннемВ».

А как же с элементом неопределенности? Конечно, в какой-то меВнре он сохраняется. Успешность каждой отдельной операции, осущестВнвляемой при случайных, заранее неизвестных значениях Y1,Y2,тАж может сильно отличаться от ожи

Вместе с этим смотрят:

80386 процессор

Access

Arvutite ja interneti kasutamine eesti elanike hulgas

Intel

Internet