Билет №11 1)Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x); S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис42). Для вычисления площади S разобьём отрезок [a;b] на n равных отрезков, длинна каждого отрезка [Xj;Xj+1] равна b-a / n; на каждом из отрезков построим прямоугольник, высота которого равна значению функции f(Xj); площадь такого прямоугольника равна f(Xj)* DX=f(Xj) * b-a / n. При увеличении числа промежутков, на которые разбивается отрезок [a;b], ступенчатая фигура, состоящяя из прямоугольников, будет Влмало отличатсяВ» от криволинейной трапеции, и если Sn-сумма площадей всех прямоугольников, то Sn~=S. В курсе математического анализа показывается, что для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) существует число, к которому стремится сумма площадей прямоугольников при неограниченном увеличении n(n Во ¥). Это число называют интегралом, т.е. Sn Во integral (a;b) f(x) dx при nВо ¥ 2)Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус, то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства функции синус1) Область определения функции синус является множество всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение функции синус. 2) Множеством значений функции синус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет условию тАУ1 <= Ypx<=1, т.е. тАУ1<=sin x<=1 3)Функция синус является нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на тАУх радиан (рис 43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR, где R- целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса является число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где R принадлежит Z, соответствует единственная точка единичной окружности Рх + 2ПиR, получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом, sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что числа вида 2ПиR, где R- целое, кроме 0, являются периодом функции. При R=1 имеем sin(x+2Пи)=sinx, следовательно, число 2Пи также является периодом функции синус. Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом функции синус. Пусть Т тАУ положительный период функции синус; тогда sin(x+T)=sinx при любом х. Это равенство верно и при x= Пи.2, т.е. sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n принадлежит Z. Наименьшее положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5) Функция синус принимает значение нуль при x=ПиR, где R принадлежит Z. Решением уравнения sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z. 6) Функция синус принимает положительные значения при 2ПиR7) Функция синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z, и убывает на промежутках [Пи/2 + 2ПиR; 3Пи/2 + ПиR], где R принадлежит Z Докажем, что функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. Пусть х1принадлежит [-Пи /2; Пи /2] и х2>x1. Сравним два значения функции: sinx2 тАУ sinx1 = 2cos x1+x2/2 * sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2, -Пи/2 < x1+x2/2< Пи/2, поэтому, учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8) Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные тАУ1, в точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2 является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2], т.е. sinx9) Функции арксинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная вычисляется по формуле (sin x)тАЩ=cosx. (рис 45) | Билет №12 1)Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]; F-первообразная функции. В этом случае интеграл (a;b) f(x)dx = F(b) тАУ F(a). Пример Вычислить : Интеграл (0;Пи)cos(2x тАУ Пи/4) dx = ½sin(2x тАУ Пи/4)|(0;Пи)= ½sin(2Пи - Пи/4) тАУ ½sin(-Пи/4)=½sin(-Пи/4) + ½sin(Пи/4)=-SQR2/4 + SQR2/4 = 0. 2)Если каждому действительному числу поставить в соответствие его косинус, то говорят, что задана функция косинус. Свойства функции косинус1)D(y)=R Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Рх, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол х радиан. Точка Рх имеет абсциссу, равную cos x. Следовательно, для любого х определено значение функции y=cosx. 2)Множеством значений функции косинус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения косинуса: абцисса любой точки единичной окружности удовлетворяет условию тАУ1<=Xpx <=1, т.е. тАУ1<= cosx<=1. 3)Функция косинус является чётной, т.е. для любого x Î R выполняется равенство cos(-x)=cosx. Пусть точка Рх получина при повороте точки Ро на х радиан, а точка Р-хполучина при повороте точки Р0 на тАУх радиан(рис46). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON тАУ биссектриса угла РхР-х, значит, является и высокой, проведённой к стороне РхР-х. Из этого следует, что точки Рх и Р-х имеют одну и ту же абсциссу ON, т.е. cos(-x)=cosx. 4)Функция косинус является периодической с периодом 2ПиR, где R-целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом косинуса являеися число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где RÎZ,соответствует единственная точка единичной окружности Рх+2ПиR, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол (x+2ПиR) радиан. Точка Рх+2ПиR имеет абсциссу, равную cosx или cos(x+2ПиR), где RÎZ. Таким образом, cosx=cos(x+2ПиR). При R=1 имеем cosx=cos(x+2Пи), следовательно, число 2Пи является периодом функции косинус. Покажем, что 2Пи тАУ наименьший положительный период. Пусть Т-положительный период косинуса; тогда cos(x+T) = cosx при любом значении х. Это равенство должно быть верно и при х=0, т.е. cosT = cos0=0, следовательно, cosT=0. Но cosT=0, если T=2ПиR, где RÎZ. Наименьшее положительное число вида 2ПиR есть 2Пи. 5)Функция косинус принимает значение нуль при х=Пи/2 + ПиR, где RÎZ. Решением уравнения cosx=0 являются числа х+Пи/2+ПиR, где RÎZ. 6)Функция косинус принимает положительные значения при тАУПи/2 + 2ПиR7)Функция косинус возрастает на промежутках [-Пи + 2ПиR; 2ПиR], где RÎZ, и убывает на промежутках [2ПиR; Пи+2ПиR], где RÎZ. Чтобы доказать утверждение о промежутках возрастания функции косинус, заметим, что cosx=sin(Пи/2+х). Функция y+sin(Пи/2 + х) возрастает, если тАУПи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + x<=Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ; т.е. если тАУПи + 2ПиR, где RÎZ; т.е. если тАУПи+2ПиR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Поскольку sin(Пи/2 + х)=cosx, функция y=cosx возрастает, если тАУПи+2ПиRR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Аналогично обосновывается утверждение о промежутках убывания функции. 8)Функция косинус имеет максимумы, равные 1, в точках 2ПиR, где RÎZ. Функция косинус имеет минимумы, равные тАУ1, в точках Пи+2ПиR, где RÎZ. Покажем, что функция y=cosx имеет максимумы в точках 2ПиR, где RÎZ. Замечая, что cosx=sin(Пи/2 + х), найдём точки максимума функции y=sin(Пи/2+x). Её точки максимума Пи/2 + х=Пи/2+2ПиR, где RÎZ, т.е. x=2ПиR, где RÎZ. Максимум функции косинус равен 1. Аналогично проводятся рассуждения о точках минимума. 9)Функция косинус непрерывна на всей области определения.10) Функция косинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная функции косинус вычисляется по формуле (cosx)тАЩ=-sinx. | Билет №15 1.Если производная функции равна 0 на некотором промежутке, то эта функция постоянна на этом промежутке. Если g¢(x)=0 на некотором промежутке то касательная к графику функции y=g(x), например g(x)=6 в каждой точке данного промежутка параллельна оси ОХ. 2.Если f- непрерывная и неотрицательная функция на отрезке[а;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции можно выч-ть по формуле S=F(b)-F(a) Док-во: 1) Пусть y=S(x) тАУплощадь криволинейной трапеции, имеющей основание [a;x] где xÎ[а;b], заметим что S(a)= 0 S(b)=S 2) Покажем что y=S(x)-первообразная ф-ция y=f(x) т.е. S¢(x)=f(x) что бы найти производную ф-ции y=S(x), воспользуемся опр-ем производной: а) зададим преращение ∆x (пусть ∆x >0) б) найдем приращение ф-ции ∆S=S(x+∆x)-S(x) в) составим соотношение ∆S/∆x=S(x+∆x)-S(x)/ ∆x г) выясним чему равен предел отношения при ∆xВо0Разность S(x+∆x)-S(x) равна площади криволинейной трапеции с основанием [x; x+∆x] Если ∆xВо0 то эта площадь приблизительно равна площади прямоугольника f(x)* ∆x т.е. S(x+∆x)-S(x) В»f(x) * ∆x Имеем S(x+∆x)-S(x)/ ∆x В»f(x) При ∆xВо0. Этим показано что S¢(x)=f(x) 3)Равенство S¢(x) =f(x) означает что S- первообразная функцииf на заданном промежутке. 3)По основному св-ву первообразной имеем F(x)=S(x)+C, где F- какая-либо первообразная для f. При x=a получим ,что F(a)=S(a)+C т.е. C=F(a). При x=b имеем F(b)=S(b)+F(a) Следовательно S=S(b)=F(b)-F(a) | |
Билет № 18. 1.Пусть материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата точки тАУ известная ф-ия времени. За промежуток времени êt перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt. Если движение таково, что при êtВо0 значение средней скорости стремится к некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью(êx/êy Во vмгн, при êtВо0). Но по определению производной êx/êy Во xтАЩ при êtВо0. Мгновенная скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную от координаты по времени, т.е. v(t)=xтАЩ(t). Пример. Координата точки, движущейся по прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) тАУ перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость точки в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=xтАЩ(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с). 2. Таблица первообразных элементарных ф-ий. Билет № 18. 1.Пусть материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата точки тАУ известная ф-ия времени. За промежуток времени êt перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt. Если движение таково, что при êtВо0 значение средней скорости стремится к некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью(êx/êy Во vмгн, при êtВо0). Но по определению производной êx/êy Во xтАЩ при êtВо0. Мгновенная скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную от координаты по времени, т.е. v(t)=xтАЩ(t). Пример. Координата точки, движущейся по прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) тАУ перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость точки в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=xтАЩ(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с). 2. Таблица первообразных элементарных ф-ий. | Билет №19 1.Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx тАУ периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R тАУцелое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,тАж 2. Если ф-ия u и v дифференцируемы в некоторой точке, то их сумма дифференцируема в этой же точке и производная суммы равна сумме производных: (u+v)тАЩ=uтАЩ+vтАЩ. Доказательство. Найдём производную суммы по определению производной. 1) Пусть задана точка x0, êx-приращение аргумента. 2) 2) Вычислим приращение ф-ии: ê(u+v)=u(x0+êx)+(x0+êx)тАУ(u(x0)+v(x0))=u(x0+êx)-u(x0)+v(x0+êx )- v(x0)= êu+êv. 3)Найдём отношение приращения ф-ии к приращению аргумента: ê(u+v)/êx=(êu+êv)/êx =êu /êx +êv/êx. 4) Выясним, к чему стремится разносное отношение при êxВо0 êu/êx+êvêx ВоuтАЩ+vтАЩ при êxВо0 | Билет №20 1)Изобразим в прямоугольной системе координат графики следующих показательных ф-ий:y=(3/2), y=2, y=(5/2), y=3 Все графики проходят через точку M(0;1). Проведём касательные к графикам в этой точке. Измерим углы наклона касательных к оси абсцисс. У касательных к графикам ф-ии y=(3/2), y=2, y(5/2) углы с положительным направлением оси Ох меньше 45В°. У касательной к графику ф-ии y=3 этот угол больше 45В°. Наличие у показательной ф-ии y=e (e=2.71828тАж) касательной, проведёной в точке M(0;1) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол в 45, означает, что производная в точке х0 =0 равно 1. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Натуральный логарифм об
Вместе с этим смотрят:
"Инкарнация" кватернионов
* Алгебры и их применение
*-Алгебры и их применение
10 способов решения квадратных уравнений
Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов
|