Аксиоматика теории множеств

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мноВнжеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обосноваВнния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составВнляют те фундаВнментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теоВнрий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

Вз1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном являВнется системой того же типа, что и система, предложенная первоВнначально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно переВнсмотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937тАФ1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отВнклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937тАФ1954] и Гёделя [1940], мы буВндем употреблять в качестве переменных вместо x₁, x₂, тАж прописные латинВнские буквы X₁, Х₂, .. (Как обычно, мы используем буквы X,Y, Z, .. для обоВнзначения произвольных переменных.) Мы ввеВндем также сокращенные обоВнзначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак пониВнмается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они соВнстоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х YX ≠Y(собВнственВнное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X YYX);

(b) Х = Х;

(с) Х = YY= Х;

(d) Х = Y (Y = ZХ = Z);

(е) Х = Y (ZXZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, одВннако, отметим, что в той ВлинтерпретацииВ», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы тАФ это совокупности, соВнответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхоВндиВнмых в математике классов и являются, достаточно скромВнными, чтобы из них нельзя было выВнвести противоречие). (Эта ВлинВнтерпретацияВ» столь же неточна, как и понятия ВлсовокупностьВ», ВлсвойствоВ» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ниВнбудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным класВнсом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множеВнство).

Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собственВнный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состояВнщему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми матеВнматики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собВнственные классы мыслятся как чудовищно необъятВнные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предВнметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что матеВнматика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения ВлнеклассовВ», то незначительная моВндификация системы NBG позволяет приВнмеВннить ее равным образом как к классам, так и к ВлнеклассамВ» (Мостовский [1939]).

Мы введем строчные латинские буквы x₁, x₂, тАж в качестве специальВнных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x₁ A (x₁) буВндет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: ВлA истинно для всех множества, и x₁ A (x₁)будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: ВлA истинно для некоторого множестваВ». Заметим, что употВнребленная в этом определении переменная X должна быть отличВнной от пеВнременных, входящих в A (x₁). (Как и обычно, буквы х, y, z, .. будут употребВнляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокраВнщением для

ХX_j (М(X_j)Y(M(Y)&ZA (X, X_j, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y(XZYZ).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.)xyzu (uzu = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являВнются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) хy(у х), т. е. суВнществует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

₁xy(у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиВнняв ее следующему условию.

Определение. y(y0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обознаВнчения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мноВнжеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не явВнляется множеством. Можно доказать, что

_NBG1Z((M(X)&M(Y)&u (uZu = Xu = Y))

((M(X) M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &u(и {X, Y} u = Xu = Y))

((M(X)M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно доВнказать, что _NBGxyu (u{х, у}u = xu = y) и _NBGxy (M({х, у})).

Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченнойпаВнрой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

_NBGxyuv ().

Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y}= {u}, то х = и = у = v, в проВнтивном случае {и, v} = {х, у} и, слеВндовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упоВнряВндоченной -ки.

Определение

= Х,

Так, например,

и

В дальнейшем индекс NBG в записи _NBGопускается.

Нетрудно докаВнзать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утверВнждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущестВнвуют соответствующие классы всех множеств, обладаюВнщих этими свойствами.

А к с и о м а В1. Xuv(Xuv) (- отношение).

А к с и о м а В2. XYZu (uZuXuY)

(пересечение).

А к с и о м а В3. XZu (uZuX) (дополнение).

А к с и о м а В4. XZu (uZv (X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. XZuv (ZuX).

А к с и о м а В6. XZuvw (ZX).

А к с и о м а В7. XZuvw (ZX).

С помощью аксиом В2тАФВ4 можно доказать

X Y ₁Z u (u Z u X & u Y),

X ₁Zu (u Z u x),

X₁Zu (uZv (X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения

u (uX∩ YuXuY) (пересечение классов Х и Y).

u (uuX) (дополнение к классу X).

u (u D (X) v (X)) (обВнласть определения класса X).

(объединение классов Х иY).

V = (универсальный класс).

X−Y = X∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X₁,тАж,X_n, Y₁,тАж, Y_m) тАУ формула, переменВнныекоторойберутся лишь из числа X₁,тАж,X_n, Y₁,тАж, Y_m. Назовём такую форВнмулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X₁,тАж,X_n, Y₁,тАж, Y_m)

Zx₁ тАжx (Z φ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таВнких формул φ, которые не содержат подформул вида Y_iW, так как всякая таВнкая подформула может быть заменена на x (x = Y_ixW), что в свою очеВнредь эквивалентно формуле x (z (zxzY_i) & xW). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфорВнмулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = XuX), последнее же эквивалентно u (z (zuzX) & uX). ДоказаВнтельство проведем теперь индукВнцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (заВнписанную с ограниченными переВнменными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид x_ix_j, или x_jx_i, или x_iY_i, где 1 ≤ i< j ≤ . В первом случае, по аксиоме В1, сущестВнвует некоторый класс W₁ такой, что

x_ix_j (W₁x_i x_j).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W₂ такой, что

x_ix_j(W₂x_jx_i),

и тогда, в силу

XZuv (ZX),

существует класс W₃ такой, что

x_ix_j(W₃x_jx_i).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W₃ такой, что

x_ix_j(Wφ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Тогда, заменив в

XZ v₁тАжv_kuw ( Z X)

XнаW, получим, что существует некоторый класс Z₁ такой, что

x₁тАж x_i-1x_ix_j (Z₁ φ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Далее, на основании

XZ v₁тАжv_mx₁тАжx (

ZX)

там же при Z₁ = X, заключаем, что существует класс Z₂ такой, что

x₁ тАж x_i x_i+1 тАж x_j ( Z₂φ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Наконец, применяя

XZ v₁тАжv_mx₁тАжx ( Z X)

(1)

там же при Z₂ = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

x₁тАжx (Zφ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Для остающегося случая x_iY_iтеорема следует из (1) и

XZ x v₁тАжv_m ( Z x X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k< и что φ соВндержит логических связок и кванторов.

(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁тАжx (Wψ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Теперь остается положить Z = .

(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z₁ и Z₂ такие, что

x₁тАжx (Z₁ ψ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)) и

x₁тАжx (Z₂ θ (x₁,тАж,x_n, Y₁,тАж, Y_m)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс .

(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁тАжxx (Wψ (x₁,тАж, x_n, x, Y₁,тАж, Y_m)).

Применим сперва

XZ x₁ тАж x(Zy ( X)).

при X= и получим класс Z₁ такой, что

x₁ тАж x(Z₁x ψ (x₁,тАж, x_n, x, Y₁,тАж, Y_m)).

Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно

x ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y₁, Y₂) есть формула uv (X = uY₁vY₂). Здесь кванторы связывают только переменВнные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Zx (xZuv (x = uY₁vY₂)), а на основании аксиомы объемности, ₁Zx (xZuv (x = uY₁vY₂)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение. x (xY₁Y₂uv (x = uY₁vY₂)). (Декартово произведение классов Y₁ и Y₂).

Определения.

X²обозначает XX(в частности, V² обозначает класс всех упоВнрядоченных пар).

тАж

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов