Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах.
Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
-.Это падение напряжения складывается из омического, равного и индуктивного, равного Итак
где R и L тАУсопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение
Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t , будет
Она расходуется на зарядку элемента, равную и на утечку через боковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную
Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
Сократим на
Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений
Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию, и уравнение, содержащее только искомую функцию .
Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.
Аналогичным образом получим уравнение для определения
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:
Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.
Навоийский Государственный горный институт
Горный факультет
Кафедра ВлВысшей математикиВ»
Волновые уравнения
Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД
Дерюга А.М.
Навоий 2004 г.
Вместе с этим смотрят:
10 способов решения квадратных уравнений
Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов