Практикум по предмету Математические методы и модели

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра ВлЭкономика и инвестицииВ»


_

_


Габрин К.Э.


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ


Семестровое задание

и методические указания к решению задач

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2000


УДК

ББК

Габрин К.Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. тАУ Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. тАУ 39 с.

Приведены задачи семестрового задания, методические указания к их решению, примеры вычислений, рекомендуемая литература и приложения.

Пособие предназначено для студентов специальностей 060811, 061101, 061120.

Табл. 12, прилож. 4, список лит. тАУ 13 назв.


Одобрено учебно-методической комиссией факультета ВлЭкономика и управлениеВ».


Рецензент: Никифоров К.В.

Задача 1


Многофакторный регрессионный и корреляционный анализ


Варианты задач с 1 по 25 с указанием результативного y и факторных x1, x2 признаков приведены в табл. 1.


По выборочным данным, представленным в табл. 2 и табл. 3, исследовать на основе линейной регрессионной модели зависимость результативного признака от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий.

Таблица 1

Варианты задач

№ вар.

Результативный признак

Факторные признаки

№ вар.

Результативный признак

Факторные признаки

1

y1

x1,x3

14

y3

x1,x14

2

y2

x1,x5

15

y2

x5,x9

3

y2

x1,x7

16

y3

x8,x10

4

y2

x1,x11

17

y3

x7,x14

5

y2

x1,x10

18

y3

x3,x6

6

y1

x3,x4

19

y3

x1,x14

7

y2

x3,x11

20

y1

x2,x6

8

y2

x11,x5

21

y1

x3,x7

9

y1

x3,x5

22

y2

x5,x8

10

y2

x11,x6

23

y2

x9,x10

11

y2

x1,x6

24

y3

x4,x11

12

y2

x1,x12

25

y3

x1,x12

13

y2

x1,x2





Таблица 2

Обозначения и наименование показателей

производственно-хозяйственной деятельности предприятий

Обозначение показателя

Наименование показателя


y1

Производительность труда, тыс.руб./чел.

y2

Индекс снижения себестоимости продукции

y3

Рентабельность

x1

Трудоемкость единицы продукции

x2

Удельный вес рабочих в составе ППР

x3

Удельный вес покупных изделий

x4

Коэффициент сменности оборудования, смен

x5

Премии и вознаграждения на одного работника ППР, тыс.руб.

x6

Удельный вес потерь от брака,%

x7

Фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб.

x8

Среднегодовая численность ППР, чел.

x9

Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб.

x10

Среднегодовой фонд заработной платы ППР

x11

Фондовооруженность труда, тыс.руб./чел.

x12

Оборачиваемость нормируемых оборотных средств, дн.

x13

Оборачиваемость ненормируемых оборотных средств, дн.

x14

Непроизводительные расходы, тыс.руб.


Таблица 3

Исходные данные для расчета

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

1

9,4

62

10,6

0,23

0,62

0,4

1,35

0,88

0,15

1,91

7394

39,53

14257

5,35

173,9

11,88

28,13

2

9,9

53,1

9,1

0,43

0,76

0,19

1,39

0,57

0,34

1,68

11586

40,41

22661

3,9

162,3

12,6

17,55

3

9,1

56,5

23,4

0,26

0,71

0,44

1,27

0,7

0,09

1,89

7801

37,02

14903

4,88

101,2

8,28

19,52

4

5,5

30,1

9,7

0,43

0,74

0,25

1,1

0,84

0,05

1,02

6371

41,08

12973

5,65

177,8

17,28

18,13

5

6,6

18,1

9,1

0,38

0,72

0,02

1,23

1,04

0,48

0,88

4210

42,39

6920

8,85

93,2

13,32

21,21

6

4,3

13,6

5,4

0,42

0,68

0,06

1,39

0,66

0,41

0,62

3557

37,39

5736

8,52

126,7

17,28

22,97

7

7,4

89,8

9,9

0,30

0,77

0,15

1,38

0,86

0,62

1,09

14148

101,7

26705

7,19

91,8

9,72

16,38

8

6,6

76,6

19,1

0,37

0,77

0,24

1,35

1,27

0,5

1,32

15118

81,32

28025

5,38

70,6

8,64

16,16

9

5,5

32,3

6,6

0,34

0,72

0,11

1,24

0,68

1,2

0,68

6462

59,92

11049

9,27

97,2

9,0

20,09

10

9,4

199

14,2

0,23

0,79

0,47

1,4

0,86

0,21

2,3

24628

107,3

45893

4,36

80,3

14,76

15,98

11

5,7

90,8

8

0,41

0,71

0,2

1,28

0,45

0,66

1,43

1948

80,83

36813

4,16

128,5

10,44

22,76

12

5,2

82,1

17,5

0,41

0,79

0,24

1,33

0,74

0,74

1,82

18963

59,42

33956

3,13

94,7

14,76

15,41

13

10,0

76,2

17,2

0,22

0,76

0,54

1,22

1,03

0,32

2,62

9185

36,96

17016

4,02

85,3

20,52

19,35

14

6,7

37,1

12,9

0,31

0,79

0,29

1,35

0,96

0,39

1,24

6391

37,21

11688

5,82

85,3

7,92

14,63

15

9,4

51,6

13,2

0,24

0,70

0,56

1,2

0,98

0,28

2,03

6555

32,87

12243

5,01

116,6

18,72

22,62


Методические указания к решению задачи 1


Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Диапазон изменения этих коэффициентов [-1;1].

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель. Диапазон изменения этого коэффициента [0;1].

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных, входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная тАУ в регрессионном) тАУ оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (nk), которая представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются: вектор средних Xср, вектор среднеквадратических отклонений S и корреляционная матрица R:

Xср=(x1ср, x2ср,тАж, xjср,тАж, xkср);

S=(s1, s2, тАж, sj, тАж, sk);


1

r12

тАж

r1k

R=

r21

1

тАж

r2k


тАжтАжтАжтАж

rk1

rk2

тАж

1


где rjl=[(xij-xjср)(xil-xlср)]/(nsjsl), j,l=1,2,тАж,k;

sj=([(xij- xjср)2]/n)0,5, i=1тАжn;

xil тАУ значение i-того наблюдения j-того фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка k-2 между факторами X1 и X2 равен

r12/3,4,тАж,k=-R12/(R11R22)0,5,

где Rjl тАУ алгебраическое дополнение элемента r12 матрицы R.

Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X1 (результативного признака) определяется по формуле

r1/2,3,тАж,k= r1=(R12/R11)0,5,

где R12 тАУ определитель матрицы R.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

tнабл=(n-l-2)0,5r/(1-r2)0,5,

где r тАУ оценка коэффициента, l тАУ порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H0: =0 отвергается с вероятностью ошибки ), если tнабл>tкр, определяемого по таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного и =n-l-2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата тАУ коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое значение, например, для 21/2,тАжk, находится по формуле

Fнабл= [r21/2,тАжk/(k-1)]/[(1-r21/2,тАжk)/(n-k)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если Fнабл>Fкр(, k-1, n-k), где Fкр определяется по таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных , 1=k-1 и 2=n-k.


Множественный регрессионный анализ тАУ это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных xj, рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения xj. Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=(x1,x2,тАж,xk), являющимся функцией от аргументов xj, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией 2. Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=0+1x1+2x2+тАж+jxj+тАж+kxk, линейные относительно неизвестных параметров j (j=0,1,тАж,k) и аргументов xj.

Коэффициент регрессии j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную xj увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y=X+,

где Y тАУ случайный вектор-столбец размерности [n1] наблюдаемых значений результативного признака (y1,y2,тАж,yn); X тАУ матрица размерности [n (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы xij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,тАж,n; j=0,1,2,тАж,k; xоi=1); тАУ вектор-столбец размерности [(k+1)1] неизвестных коэффициентов регрессии модели; тАУ случайный вектор-столбец размерности [n1] ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.

Находится оценка уравнения регрессии вида

y*=b0+b1x1+b2x2+тАж+bjxj+тАж+bkxk.

Cогласно методу наименьших квадратов вектор оценок коэффициентов регрессии определяется по формуле

b=(XTX)-1XTY,

где


1

x11

тАж

x1k


y1


b0


.

.


.


.


.


.

.


.


.


.

X=

1

xi1

тАж

xik

Y=

yi

=

bj


.

.


.


.


.


.

.


.


.


.


1

xn1

тАж

xnk


yn


bk


XT тАУ транспонированная матрица X;(XTX)тАУ1тАУ матрица, обратная к матрице XTX.

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора определяется из выражения

S*(b)=S*2(XTX)тАУ1,

где S*2=(Y-Xb)T(Y-Xb)/(n-k-1).

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

S*2b(jтАУ1)= S*2[(XTX)тАУ1]jj для j=1,2,тАж,k, k+1.

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза H0: =0 (0=1=тАж=k=0), проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле

Fнабл=(QR/(k+1))/(Qост/(n-k-1)),

где QR=(Xb)T(Xb), Qост=(Y-Xb)T(Y-Xb).

По таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных , 1=k+1, 2=n-k-1 находят Fкр.

Гипотеза H0 отклоняется с вероятностью , если Fнабл>Fкр. Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H0: j=0, где j=1,2,тАж,k, используют t-критерий и вычисляют tнабл(bj)=bj/S*bj. По таблице t-распределения (Приложение 1) для заданных , =n-k-1 находят tкр.

Гипотеза H0 отвергается с вероятностью ошибки , если tнабл >tкр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии j значим, т.е. j 0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. После этого реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение tнабл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.


Для решения задачи требуется:

  1. Найти оценку уравнения регрессии вида y=b0+b1x1+b2x2.

  2. Проверить значимость уравнения регрессии при =0,05 или =0,01.

  3. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

  4. Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и оценить адекватность полученной модели по величине абсолютных ei и относительных i отклонений.

  5. При необходимости перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа, отбросив один из незначительных коэффициентов регрессии.

  6. Построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

  7. Найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

  8. Проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции.

  9. Провести содержательный экономический анализ полученных результатов.


Пример решения задачи 1


По данным годовых отчетов десяти (n=10) предприятий (табл.4) провести анализ зависимости себестоимости товарной продукции y (млн. р.) от объема валовой продукции x1 (млн. р.) и производительности труда x2 (тыс. р. на чел.).

Таблица 4

Исходная информация для анализа и результаты расчета

Исходная информация

Результаты расчета

xi1

xi2

yi

y*i

(y*i)2

ei=yi-y*i

(ei)2

i= ei/ y*i

1

3

1,8

2,1

2,31572

5,36255

-0,21572

0,04653

-0,09315

2

4

1,5

2,8

3,48755

12,16300

-0,68755

0,47273

-0,19714

3

5

1,4

3,2

4,35777

18,99015

-1,15777

1,34043

-0,26568

4

5

1,3

4,5

4,50907

20,33171

-0,00907

0,00008

-0,00201

5

5

1,3

4,8

4,50907

20,33171

0,29093

0,08464

0,064521

6

5

1,5

4,9

4,20647

17,69439

0,69353

0,48098

0,164872

7

6

1,6

5,5

4,77408

22,79184

0,72592

0,52696

0,152054


Окончание табл. 4


Исходная информация

Результаты расчета

xi1

xi2

yi

y*i

(y*i)2

ei=yi-y*i

(ei)2

i= ei/ y*i

8

7

1,2

6,5

6,09821

37,18816

0,40179

0,16144

0,065887

9

15

1,3

12,1

11,6982

136,84905

0,40175

0,16140

0,034343

10

20

1,2

15,0

15,4441

238,52177

-0,44415

0,19727

-0,02876


Сред. знач.

=

530,22437

=

3,47247



7,5

1,41

6,14






y*i тАУ значения, вычисленные по уравнению регрессии

ei тАУ абсолютные ошибки аппроксимации

i тАУ относительные ошибки аппроксимации

Решение

  1. Определение вектора оценок коэффициентов

уравнения регрессии


Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии y*=b0+b1x1+b2x2 производится по уравнению b=(XTX)тАУ1XTY:



xi1

xi2


10

75

14,1

XTX =

xi1

x2i1

xi1xi2

=

75

835

100,4


xi2

xi1xi2

x2i2


14,1

100,4

20,21



yi


61,4


b0


2,88142

XTY =

xi1yi

=

664,5

b =

b1

=

0,71892


xi2yi


82,23


b2


-1,51303

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид


y*=2,88142+0,71892x1-1,51303x2.


2. Проверка значимости уравнения y*=2,88142+0,71892x1-1,51303x2.


а) QR=(Xb)T(Xb)=y*i =530,224365;

б) Qост=(Y-Xb)T(Y-Xb)=e2i =3,472465;

в) несмещенная оценка остаточной дисперсии:

S*2= Qост/(n-3)=3,472465 / 7 = 0,496066;

г) оценка среднеквадратичного отклонения:

S*= 0,7043195;

д) проверяем на уровне =0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H0: =0 (0=1=2=0). Для этого вычисляем


Fнабл=(QR/(k+1))/(Qост/(n-k-1))=(530,224365 / 3))/(3,472465 / 7))=356,32776.


Далее по таблице F-распределения для =0,05, 1=k+1=3, 2=n-k-1=7 находим Fкр=4,35. Так как Fнабл>Fкр (356,32776>4,35), то гипотеза H0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Т.о. уравнение является значимым.


3. Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии


а) Найдем оценку ковариационной матрицы вектора :



5,52259

-0,08136

-3,44878

S*(b)=S*2(XTX)тАУ1=0,496066(XTX)тАУ1=

-0,08136

0,00267

0,04348


-3,44878

0,04348

2,21466


Так как на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, то получим следующие несмещенные оценки этих дисперсий:


S*2b0=5,52259; S*2b1=0,00267; S*2b0=2,21466;

S*b0=2,35002; S*b1=0,05171; S*b2=1,48818.

Найдем оценку корреляционной матрицы вектора . Элементы этой матрицы определяются по формуле:

rj-1l-1=cov*(bj-1,bl-1)/(S*bj-1S*bl-1),

где cov*(bj-1,bl-1) тАУ элементы матрицы S*(b), стоящие на пересечении j-той строки и l -того столбца ( j,l =1,2,3).

Корреляционная матрица вектора имеет вид:



1

-0,66955

-0,98614

R*(b)=

-0,66955

1

0,56504


-0,98614

0,56504

1


Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H0: m=0 (m=1,2), по таблицам t-распределения для =0,05, =7 находим tкр=2,365. Вычисляем tнабл для каждого из коэффициентов регрессии по формуле tнабл(bj)=bj/S*bj:


tнабл(b1)=b1/S*b1=0,71892/0,05171=13,903

tнабл(b2)=b2/S*b2=1,51303/1,48818=1,01667.


Так как tнабл(b1) > tкр (13,903 > 2,365), tнабл(b2) < tкр(1,01667< 2,365), то коэффициент регрессии 10, а коэффициент регрессии 2=0. Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.


4. Пошаговый регрессионный анализ


Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида

y*=b’0+b’1x1. Вектор оценок b’ определим по формуле b=(XTX)тАУ1XTY, где



xi1


10

75

XTX =

xi1

x2i1

=

75

835



yi


61,4


b’0


0,52534

XTY =

xiyi

=

664,5

b =

b’1

=

0,74861


Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:

y*=0,52534+0,74861x1.

Повторив далее вычисления по пп 2 и 3, определяем, что новая оценка уравнения регрессии и его коэффициент значимы при =0,05.


5. Нахождение матрицы парных коэффициентов корреляции

(на примере без исключения переменной)

а) находим вектор средних:

Xср=(x1ср; x2ср; yср)=(7,5; 1,41; 6,14);

б) находим вектор среднеквадратических отклонений S=(s1; s2; sy) по формуле sj=([(xij - xjср)2]/n)0,5, i=1тАжn:

S=(5,22; 0,18; 3,91);

в) формируем корреляционную матрицу



1

r12

r1y

R=

r21

1

r2y


ry1

ry2

1


где r12=r21=[(x1x2)ср-x1срx2ср]/(s1s2), ryj=rjy=[(xjy)ср-xjсрyср]/(sjsy):



1

-0,565

0,997

R=

-0,565

1

-0,612


0,997

-0,612

1


6. Расчет оценок частных коэффициентов корреляции


Оценки частных коэффициентов корреляции определяются по формулам:


r12/y=(r12-r1yr2y)/[(1-r1y2)(1-r2y2)]0,5 =0,738;

r1y/2=(r1y-r12ry2)/[(1-r122)(1-ry22)]0,5 =0,998;

r2y/1=(r1y-r12ry2)/[(1-r122)(1-ry22)]0,5 =-0,762.


Составим матрицу частных коэффициентов корреляции:


1

0,738

0,998

0,738

1

тАУ0,762

0,998

тАУ0,762

1


Следует иметь в виду, что частный коэффициент корреляции может резко отличаться от соответствующего парного коэффициента и даже иметь противоположный знак. Любой из частных коэффициентов может быть равен нулю, в то время, как парный тАУ отличен от нуля.

В данном примере r12/y=0,738, а r12=-0,565. Такое различие вызвано тесной связью объема валовой продукции (x1) и себестоимостью товарной продукции (y): r1y=0,997. В случае независимости величин частный и парный коэффициенты корреляции равны нулю.


7. Проверка значимости парных и частных

коэффициентов корреляции


Проверка осуществляется с помощью таблиц t-распределения Стьюдента.

Для r12: tнабл=(10-2)0,5(-0,565)/(1-(-0,565)2)0,5=1,93683кр(8;0,05)=2,306; гипотеза H0: 12=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (tнабл=1,93683>tкр(8;0,1)=1,86).

Для r2y: tнабл=(10-2)0,5(-0,612)/(1-(-0,612)2)0,5=2,20621кр(8;0,05)=2,306; гипотеза H0: 2y=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (tнабл=1,93683 > tкр(8;0,1)=1,86).

Для r1y: tнабл=(10-2)0,50,997/(1-0,9972)0,5=36,43263>tкр(8;0,05)=2,306; гипотеза H0: 1y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r12/y: tнабл=(n-3)0,50,738/(1-0,7382)0,5=2,893542>tкр(7;0,05)=2,365; гипотеза H0: 12/y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r1y/2: tнабл=(n-3)0,50,998/(1-0,9982)0,5=41,77023>tкр(7;0,05)=2,365; гипотеза H0: 1y/2=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r2y/1: tнабл=(n-3)0,5(-0,762)/(1-(-0,762)2)0,5=3,11324>tкр(7;0,05)=2,365; гипотеза H0: 2y/1=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.


8. Расчет оценок множественных коэффициентов

корреляции и детерминации


Оценки множественных коэффициентов корреляции детерминации рассчитываются по формулам:

ry/12 = (ry12+ ry22+ 2ry1ry2r12)/(1-r122)(1-ry22)]0,5 =0,999;

ry/122=0,9992=0,997.


9. Проверка значимости множественных коэффициентов

корреляции и детерминации


Проверим гипотезу H0: 2y/12 =0 по F-критерию. Наблюдаемое значение находится по формуле:

Fнабл= [r2y/12/(k-1)]/[(1-ry/12)/(n-k)]=[0,997/(3-1)]/[(1-0,997)/(10-3)]=1163.

По таблице F-распределения для =0,05, 1=k-1=2, 2=n-k=7 находим Fкр=4,74. Так как Fнабл>Fкр, то гипотеза о равенстве 2y/12 =0 отвергается.

Аналогично осуществляется проверка гипотезы y/12=0 (в данном примере опущено).

Тем самым доказана значимость множественного коэффициента корреляции, что говорит о наличии зависимости y от x1 и x2, т.е. себестоимость действительно зависит от объема валовой продукции и производительности труда.


Литература к задаче 1


  1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.тАУМ.:Финансы и статистика, 1985

  2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных.тАУМ.:Финансы и статистика, 1983

  3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.тАУМ.:Высш.шк., 1988.

  4. Шепелев И.Г. Математические методы и модели управления в строительстве.тАУМ.:Высшая школа, 1980.


Задача 2


Динамическое программирование


Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой тремя предприятиями, выделены капитальные вложения в объеме 700 млн.руб. Использование i-тым предприятием xi млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции fi(xi).

Найти распределение капитальных вложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпус6ка продукции.

Исходные данные приведены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5

Исходные данные

Объем

кап.вложений xi, млн.руб.

Прирост выпуска продукции fi(xi), млн.руб.


Предприятие 1

Предприятие 2

Предприятие 3

0

0

0

0

100

а

50

40

200

50

80

d

300

90

110

400

110

150

120

500

170

с

180

600

180

210

220

700

210

220

240


Таблица 6

Варианты исходных данных

Вариант

a

c

d

1

30

90

190

50

2

20

80

160

70

3

35

100

190

60

4

40

110

180

90

5

30

100

190

60


Окончание табл. 6

Вариант

a

c

d

6

35

80

160

70

7

40

80

160

70

8

40

100

190

60

9

30

110

160

90

10

40

110

190

90

11

20

100

190

60

12

20

80

180

60

13

35

110

190

50

14

40

90

160

50

15

30

90

190

90

16

35

90

160

70

17

40

90

190

50

18

20

90

150

90

19

20

80

190

60

20

20

110

160

70

21

40

90

190

60

22

30

110

190

55

23

35

90

180

70

24

45

85

170

90

25

Вместе с этим смотрят:


"Инкарнация" кватернионов


* Алгебры и их применение


*-Алгебры и их применение


10 способов решения квадратных уравнений


Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов