Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Гимназия №1 города Полярные Зори

Алгебра, геометрия, физика.

Научная работа

ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕтАЭ.

Руководители:

Полуэктова Наталья Павловна,

преподаватель алгебры, геометрии

Конкин Александр Николаевич,

преподаватель физики, астрономии

Автор:

Бирюков Павел Вячеславович.

Полярные Зори

Январь-май 2001 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Производная функция: тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.3

1. Производная функция тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..3

2. Касательная к кривой тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж5

3. Геометрический смысл производной тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.6

4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции тАж.7

Производные от элементарных функций: тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж8

1. Производная постоянной тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..8

2. Таблица элементарных производных тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..8

3. Правила дифференцирования тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..8

Изучение функций с помощью производной: тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.9

1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж9

2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин тАжтАжтАж.11

3. Максимум и минимум функции тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.12

4. Признаки существования экстремума тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж12

5. Правило нахождения экстремума тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..14

6. Нахождение экстремума при помощи второй производной тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж14

7. Направление вогнутости кривой тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж16

8. Точки перегиба тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.17

9. Механическое значение второй производной тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..18

Дифференциал: тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж19

1. Сравнение бесконечно малых тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.19

2. Дифференциал функции тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.19

3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ..21

4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям тАжтАж.22

Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике тАжтАжтАж.23

Список литературы тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.34

Рецензия на работу тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.35

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с котоВнрой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные слуВнчаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отВнрезке [а, ]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, входе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x тАФ его приращением. Приращение ∆x; арВнгумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:

∆y=f(x+∆x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ∆у функции к прираВнщению ∆x аргумента:

∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+∆x].

Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).