Симметрия

Данный реферат посвящён такому понятию современного естествознания как СИММЕТРИЯ.

Лейтмотивом всего реферата является понятие симметрии, играющей (есть мнение) ведущую, хотя и не всегда осозВннанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окруВнжающей нас жизни. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Здесь уместно привести высказывание Дж. Ньюмена, который особенно удачно подчеркнул всеохватывающие и вездесущие проявления симметрии: ВлСимВнметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляриВнзованным светом, естественным отбором, теорией групп, инваВнриантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими собоВнрами, снежинками, музыкой, теорией относительности..В».

В данной работе внимание заострено на зерВнкальной симметрии. Такой подход вполне правомерен. ДостаВнточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убеВндиться в первостепенном значении именно зеркальной симметВнрии с соответствующим симметричным элементом тАФ плоскоВнстью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее тАФ шагают, плывут, летят, катятся, тАФ обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направВнлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом.

Главенствующую роль в теории играет плоскость симметрии. Недаром знаменитый русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863тАФ1925) писал (1896) о плоскости симметрии как об Влосновном элементе симметрииВ». Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные опеВнрации. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии тАФ простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции. Совокупности таких элементов образуют виды симметрии (например, 32 класса для кристаллических многогранников, 230 пространственных групп для кристаллических структур). Как видим, именно плоскость симметрии лежит в основании всего здания симметричной теории.

ЧЕЛОВЕК тАФ СУЩЕСТВО СИММЕТРИЧНОЕ

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обВннаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает
в точности таким, как правый, да и уголки рта нахоВндятся на разной высоте, во всяком случае у большинства людей.

И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомВннится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы!

НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так.

Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.

Многие художники обращали пристальное внимание на симВнметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны проВнпорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи.
Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками едиВнной меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известВнным допущением можно считать, что длина туловища превосВнходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство выВнсоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы.

Размеру головы пропорциональна не только длина тулоВнвища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблиВнзительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

БЕЗУКОРИЗНЕННАЯ СИММЕТРИЯ СКУЧНА

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддержиВнвать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина тАФ левой.

Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волоВнсы на косой пробор тАФ слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой).

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерВнпимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты.

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветВн
ными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

ЧТО ТАКОЕ ПОДОБИЕ?

Нередко мы говорим, что какие-то два человека похожи друг на друга. Дети обычно похожи на своих родителей (во всяком случае, по мнению их бабушек). Похожи, но не одинаковы!

Попробуем разобраться, что понимается под сходством или подобием в математике. У подобных фигур соответствующие отрезки пропорциональны друг другу. В нашем случае мы можем сформулировать это положение так: подобные носы имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. При этом каждому отдельному участку носа (например, переносице) должны быть пропорциональны все остальные.

Этот закон подобия иногда таит в себе подвох. Например, в задаче такого рода:

Высота башни А 10 м.
На некотором расстоянии Х
от нее находится шестиметровая башня В. Если провести прямые от подножия и от вершины башни А через вершину башни В, то они встретятся соответственно с подножием и вершиной башни С, имеющей высоту 15 м. Каково расстояние от башни А до башВнни Д?

Казалось бы, для решения достаточно взять в руки циркуль и линейку. Но тут же выяснится, что ответов будет бесконечное множество. Иными словами, на вопрос о значении Х не может быть однозначного ответа.

Такого рода задачи, даже если они и не имеют решения, как, например, предложенная выше, касаются какой-либо проблемы, лежащей у пределов нашего знания. Большей частью это те самые пределы, перед которы
ми пасует знамеВннитый Влздравый смыслВ», и лишь строго математическое логиВнческое мышление вкупе с естественнонаучным познанием споВнсобно привести к правильному решению.

Обратимся снова к человеку: при сравнении живых существ сходство ощущается явно, если совпадают их пропорции. ПоВнэтому могут быть похожи дети и взрослые. Хотя масса и разВнмеры любой из частей тела, будь то нос или рот, различны, но пропорции похожих индивидов совпадают.

Поразительный пример подобия тАФ глазомерная оценка рас
Внстояния с помощью большого пальца. Таким способом военные и моряки прикидывают расстояние между двумя пунктами на мест
ности или в море, сопоставляя их с шириной пальца или кулака. В самом простом случае закрывают один глаз и смотрят открыВнтым глазом на палец вытянутой руки, используя его как визир.

Если раскрыть прежде закрытый глаз (а второй зажмурить), палец на видимое расстояние переместится в сторону. В градусВнном выражении это расстояние составляет 6В°. И притом велиВнчина этого ВлпрыжкаВ» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей! Так, правофланговый роты, парень двухметроВнвого роста, и самый маленький тАФ левофланговый, ростом всего лишь метр шестьдесят, сравнив эти ВлпрыжкиВ» пальца, получат одну и ту же величину.

Причина этого явления в конечном счете кроется в подобии людей и, конечно, в законах оптики, которым подчиняется наше зрение.

Известно и Влправило кулакаВ» тАФ в самом прямом смысле этого слова тАФ для грубой прикидки величины угла. Если мы посмотрим одним глазом на кулак вытянутой руки (на сей раз одним и тем же глазом), то ширина кулака составит 10В°, а расВнстояние между двумя косточками фаланг 3В°. Кулак и оттопыВнренный в сторону большой палец составят 15В°. Комбинируя эти мерки, можно приблизительно измерить все углы на местности.

И наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между больВншим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90В°.

ЗАГЛЯНИТЕ В СЛОВАРЬ!

В начале реферата человек назвался существом симметричВнным. В дальнейшем же термин ВлсимметрияВ» больше не употребВнлялся. Однако во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совВнместить их было нельзя, ВлпрактическиВ» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в ВлСовременный словарь иностранВнных словВ», то обнаружим, что под симметрией понимается Влсоразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра.. такое расположеВнние точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии..В»1

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова ВлсимметрияВ» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное опреВнделение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

Термин ВлсоразмерныйВ» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие неВнсоответствия не позволяют употребить слово ВлсимметричныйВ».

Давайте также заглянем в Энциклопедический словарь
2
. Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова ВлсимметрияВ». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

В математике слово ВлсимметрияВ» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. ВажВнную роль играет симметрия в кристаллографии . Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различВнных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики ди-симметричны,
а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Основной интерес для нас будет представлять зеркальная симВнметрия тАФ симметрия левого и правого. Можно увидеть, что это кажущееся ограничение уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симВнметрию).

ТОЧКИ И ЛИНИИ

Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симВнметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелоВнграмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельВнно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

В то время как симметричные фигуры полностью соответВнствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Но то, что здесь выглядит шуткой, в практической жизни доставляет массу сложностей не только детям, но и взрослым. Нередко дети пишут некоторые буквы ВлнавыворотВ». Латинское N выглядит у них как И, а S и Z получаются наоборот. Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита (а это ведь тоже, в сущности, плоские фигуры!), то увидим среди них симметричные и несимметричные. У таких букв, как N,S , Z, нет ни одной оси симметрии (равно как и у F, G, J, L, Р, О и R). Но N,S и Z особенно легко пишутся ВлнаоборотВ», так-так имеют центр симметрии. У остальных прописных букв есть как минимум по одной оси симметрии. Буквы А, М, Т, U, V, W и Y можно разделить пополам продольной осью симметрии. Буквы В, С, D
, Е,
I, К тАФ поперечВнной осью симметрии. У букв Н, О и Х имеется по две взаимно перпендикулярные оси симметрии. (тот же эксперимент можно провести с любым алфавитом европейской группы).

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутВнствует вовсе, становятся ВлнечитабельнымиВ».

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. ВлЗеркальным шрифтомВ» написаны дневники Леонардо да Винчи.
Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным.

Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО,
вообще не изменились бы. СущестВнвуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает
именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклоВннение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

НАШ МИР В ЗЕРКАЛЕ

В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, существуют плоскости симметрии. ВлЗеркалоВ» всегда имеет на одно измерение меньше, чем мир, который оно отражает. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно тАФ решить не всегда просто.

Поставим перед зеркалом шар и начнем его медленно враВнщать: изображение в зеркале никак не будет отличаться от ориВнгинала, конечно в том случае, если шар не имеет каких-либо отличительных признаков на своей поверхности. Шарик для пинг-понга обнаруживает бессчетное множество плоскостей симметВнрии. Возьмем нож, отрежем половину шара и поместим ее перед зеркалом. Зеркальное отражение вновь дополнит эту половинку до целого шарика.

Но если мы возьмем глобус и рассмотрим его симметрию, учитывая нанесенные на нем географические контуры, то мы не отыщем ни одной плоскости симметрии.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в. пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоВнки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесВнчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с морожеВнным. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симВнметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаичеВнский предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему.

Если для сравнения мы рассмотрим куб, то увидим, что он имеет девять плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато.

А имеются ли тела, занимающие по числу п
лоск
ос
тей промеВнжуточное положение между шаром и кубом? Без сомнения тАФ да. Стоит только вспомнить, что круг, в сущности,
как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в школе при вычислении числа
p. Если над каждым
- угольником мы воздвигнем
- угольную пирамиду, то сможем провести через нее плоскостей симВнметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы соответствующую симметрию!

Но если мы тем не менее воспринимаем куб как более симметВнричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть тАФ по числу граней, и каждая грань предВнставлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки.

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственВнному восприятию) традиционно отдается предпочтение ВлсоразВнмернымВ» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427тАФ347 до н.
э.)
открыл, что из правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных тел.

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников поВнлучается тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных треВнугольников можно построить октаэдр (восьмигранник) и, накоВннец, из двадцати правильных треугольников тАФ икосаэдр. И тольВнко из четырех, восьми или двадцат
и одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из квадратов можно составить только одну объемную фигуру тАФ гексаэдр (шесВнтигранник), а из равносторонних пятиугольников тАФ додекаэдр (двенадцатигранник).

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если на плоскости это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут винтовая лестница или спиВнральный бур. Кроме того, существуют еще тысячи асимметричВнных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом.

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестВнн
ицей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии.

Почти у конца этого ряда симметрии стоим,
мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или гранит).

КАК ОТРАЖАЕТ ЗЕРКАЛО

Конечно, все мы знаем, как отражает зеркало, но, если только потребуется описать это точно, несомненно возникнут трудности. Как правило, мы довольны собой, если что-то представляем себе хотя бы Влв принципеВ». А подробности, которые преподаватели физики объясняли нам на доске с помощью мела и линейки, всякий нормальный школьник и стуВндент стараются забыть, и, чем скорее, тем лучше.

Каждый ребенок, исполненный удивления перед окружающим миром, непременно заинтересуется, каким образом зеркало отраВнжает его. Но взрослые обычно отвечают в подобных случаях: ВлНе задавай глупых вопросов!В» Человек сникает, начинает стеснятьВнся, удивление его постепенно затухает, и он старается больше не проявлять его до конца жизни (а жаль!).

Но вспомним о словах Бертольда Бреста: ВлГлупых вопросов не бываВнет, бывают только глупые ответыВ».

Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно представить себе и такой способ подразВнделения:

1) люди, которые никогда не удивляются;

2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившимих явлением;

3) люди, которые, удивившись, спрашивают Вла почему?В»;

4) люди, которые, удивившись, обращаются к числу и мере.

В зависимости от условий жизни, традиций, степени образоВнванности встречаются и все возможные ВлпромежуточныеВ» стуВнпени. Мыслители античности и средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка выпадал случай измерить какое-либо явление.

Только в эпоху Возрождения, то есть в XVI в., люди пришли к убеждению, что измерение лучше слепой веры или схоластиВнческих рассуждений. Этому способствовали экономические интеВнресы, удовлетворить которые можно было только путем развиВнтия естественных наук, путем количественных измерений. (Мы видим, что, по существу, меновая стоимость ВлизмеряласьВ» с помощью денег.) Для XVI в. оптика была ультрасовременной наукой. Из стеклянного шара, наполненного водой, которым пользовались как фокусирующей линзой, возникло увеличительВнное стекло, а из него микроскоп и подзорная труба. Крупнейшей в те времена морской державе Нидерландам требовались для флота хорошие подзорные трубы, чтобы загодя рассмотреть опасный берег или вовремя уйти от врага. Оптика обеспечивала успех и надежность навигации. Поэтому именно в Нидерландах многие ученые занимались ею. Голландец Виллеброрд, Снелль ван Ройен, именовавший себя Снеллиусом (1580 - 1626), наблюВндал (что, впрочем, видели и многие до него), как тонкий луч света отражается в зеркале. Он просто измерил угол падения и угол отражения луча (чего до него не делал никто) и установил закон: угол падения равен углу отражения.

Теперь, задним числом, этот закон кажется нам чем-то само собой разумеющимся. Но в те времена он имел огромное, можно сказать, мировоззренческое значение, которое будило философВнскую мысль вплоть до XIX века.

Закон отражения Снеллиуса объясняет явление зеркального отражения.

Каждой точке предмета соответствует её отражение в зеркале, и потому в нём наш правый глаз перемещается на левую сторону. Вследствие этого переноса точек предметы, расположенные дальше, в зеркале тоже кажутся уменьшенными в соответствии с законами перспективы. Технически мы можем реконструировать зеркальное изображение так, словно оно расположено за поверхностью стекла. Но это только кажущееся восприятие. Не случайно животные и маленькие дети часто заглядывают за зеркало; они верят, что изображение таится сзади, словно картина, видимая за окном. Факт перестановки левого и правого правильно осознается только взрослыми.

ОТ ТРЕЛЬЯЖА ДО РАДАРА

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в Влзеркальном отраженииВ» и в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как выглядим Влна самом делеВ»?

Конечно нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. Нередко в домах трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втоВнром зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Угловое зеркало с прямым углом между составляющими его зеркалами отличается еще некоторыми интересными свойствами. Если смастерить его из двух маленьких зеркал, то можно убедиться в том, что в таком зеркале с прямоугольным растВнвором (а сейчас речь только о нем) отраженный луч света всегда параллелен падающему лучу. Это очень важное свойство. Но не единственное! При повороте углового зеркала вокруг оси, соединяющей зеркала (в определенных пределах), отраженный луч не изменит своего направления.

В технике обычно не составляют зеркала, а используют прямоугольную призму, у которой соответствующие грани обеспечивают зеркальный ход лучей.

Прямоугольные призмы, как бы ВлскладывающиеВ» ход луча ВлгармошкойВ», сохраняя его необходимую длину, заданную фоВнкусным расстоянием линзы, позволяют уменьшать габариты оптических приборов. В призматических биноклях лучи света при помощи таких приборов обращаются на 180В°.

На старинных картинах можно видеть капитанов и полководВнцев с непомерно длинными подзорными трубами. Благодаря угловым зеркалам старинные подзорные трубы превратились в современные бинокли.

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их ВлзеркалаВ» тАФ это борта игрового поля, а роль луча света исполВнняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отраВнзившись от нее, движется обратно параллельно направлению перВнвого удара.

Свойство отраженного луча сохранять направление при повоВнроте углового зеркала вокруг оси находит широкое применение в технике. Так, в трехгранном зеркальном уголковом отражателе луч сохраняет постоянное направление, несмотря на весьма сильные качания зеркала. По форме такое зеркало представляет собой кубик с отрезанным уголком. И в этом случае на практике используют не три зеркала, а соответствующую стеклянную призму с зеркальными гранями.

Важной областью применения трехгранного зеркала служит уголковый отражатель (кошачий глаз, катофот) на велосипедах, мотоциклах, сигнальных предохранительных щитах, ограничитеВнлях проезжей части улицы. С какой бы стороны ни упал свет на такой отражатель, световой рефлекс всегда сохраняет направлеВнние источника света.

Большую роль трехгранные зеркальные уголковые отражатеВнли играют в радиолокационной технике. Самолеты и крупные стальные корабли отражают луч радара. Несмотря на значиВнтельное рассеяние его, той небольшой доли отраженных радиоВнволн, которая возвращается к радару, обычно достаточно для распознания объекта.

Хуже обстоит дело с маленькими суденышками, сигнальными поплавками и пластиковыми парусными яхтами. У небольших предметов отражение слишком слабое. Пластиковые яхты так же ВлпрозрачныВ» для радиоволн, на которых работает радарная техника, как оконные стекла для солнечного света. Поэтому парусные яхты и сигнальные буйки оснащают металВнлическими уголковыми отражателями. Длина граней у такого ВлзеркалаВ» всего около 30 см, но этого довольно, чтобы возвраВнщать достаточно мощное эхо.

Вернемся еще раз к угловому зеркалу из двух соединенных зеркал. Качнем его ось вправо или влево тАФ наше изображение тоже наклонится в сторону. Мы можем даже положить его, если поместим ось зеркала горизонтально. Но, наклонив зеркало еще дальше, мы заметим, что изображение ВлвыпрямляетсяВ».

Угловое зеркало имеет плоскость симметрии, которая делит пополам пространство между обоими зеркалами. При соответст
вующей форме оно может иметь еще одну плоскость, перпендиВнкулярную зеркалам, но она здесь не рассматривается. Нас интересует только плоскость симметрии, проходящая между зерВнкалами, в которой, так сказать, взаимно отражаются оба зеркала.

Каждая плоскость симметрии меняет, как нам уже известно, правое на левое (и наоборот). Но это несколько упрощенное восВнприятие. Если бы плоскость симметрии умела говорить, она бы заявила: ВлЯ не меняю ни правое на левое, ни верх на низ. Я воВнобще не знаю, что это такое. Я лишь точка за точкой отображаю все, что находится по одну или другую сторону от меня. Если чеВнловек своей продольной осью встанет параллельно моей оси, я поменяю ему правую и левую стороны, но если тот же человек своей продольной осью расположится перпендикулярно моей оси (ибо я всегда остаюсь неизменной), то я поменяю то, что люди называют верхом и низомВ». Как видим, все зависит от точки зрения.

Но в конечном итоге истинно то, что можно измерить и соВнсчитать. Сегодня мы не видим особого достижения в том, что Снеллиус измерил углы падения и отражения луча. Но мы не должны забывать, что ученые XVI в. подобными открытиями ломали более чем двадцативековую традицию.

Среди секретов телевидения известен трюк с уменьшением исполнителя, который на фоне всей окружающей обстановки Влв натуральную величинуВ» выглядит маленькой куколкой. ИногВнда зритель может видеть актера одновременно в двух масштабах: на переднем плане в обычную величину, а на заднем в уменьВншенном.

Тому, кто искушен в фотографии, понятно, как достигается подобный эффект. Сначала снимается уменьшенный вариант, а потом актер играет перед экраном, на который проецируется его уменьшенное изображение.

Известный ВлчародейВ» Иохен Цмек в своей увлекательной книге ВлВолшебный мир магииВ» описывает, как подобные чудеса можно делать без фотографии. Когда уменьшенный предмет должен сам собой появиться в пространстве,., с помощью вогнуВнтого зеркала его изображение проецируется таким образом, чтобы он казался стоящим на подставке.

Иллюзионист Александр Фюрст строил этот трюк следуюВнщим образом. Зритель видел маленькую сцену с сильно уменьВншенными артистами. Чтобы спроецировать их в таком виде на экран, Фюрст использовал в своем сооружении угловое зеркало. Именно перед ним двигались артисты. Но зеркало переворачиВнвало их на 180В° и ставило тем самым Влна головуВ», и уже это изображение вогнутое зеркало, еще раз перевернув, отбрасывало на маленькую сцену. Непременным условием эффекта была безВнупречная чистота всех зеркал.

ЛЕГЕНДЫ РУДОКОПОВ

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные, ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец, серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы.

Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наВнглядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию отличить красный железняк от бурого железняка.

Для бесполезных камней (как уже было сказано тАФ на их взгляд) горняки нередко находили названия в преданиях и легендах. Так, например, произошло название руды кобальтовый блеск. Кобальтовые руды похожи на серебряные и при добыче иногда принимались за них. Когда из такой руды не удавалось выплавить серебро, считалось, что она заколдована горными дуВнхами тАФ кобольдами.

Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще возВнникали трудности с изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту находки (ильменит тАФ в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека (гетит тАФ в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название.

Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, котоВнрые становились уже необозримыми. Не слишком помогали и химические анализы, потому что многие вещества одного и того же состава образуют подчас кристаллы совершенно различного облика. Достаточно вспомнить хотя бы снежинки.

В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811тАФ1863) выдвиВннул геометрический принцип классификации кристаллов, основанВнный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества кроВншечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц тАФ атоВнмов и молекул. Но Браве оперировал в своих представлениях кроВншечным ВлкирпичикомВ» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой.

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90В° друг к Другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90В°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90В°, а только 60 или 120В°.

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с одиВннаковыми или разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два варианта: равный 90В° и не равный 90В°. Только один угол во всей его системе в порядке исключения имеет 120В°. В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в 120В°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся.

В некоторых из этих 7 пространственных решеток элементарВнные ВлкирпичикиВ» можно упаковать по-разному. Для нас, знающих сегодня о строении атома, это нетрудно представить и продемонВнстрировать с помощью шариков для пинг-понга. Но 125 лет назад гениальная идея Браве была новаторской и открывала новые пути в науке. Весьма вероятно, что и Браве исходил из узоров кафеля или мотивов шахматной доски.

Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возниВнкает новый рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном пространстве это соответствует кубу, разложенному на шесть пиВнрамид. Каждая такая пирамида составляет половину октаэдра.

Те, кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, знают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может тАФ в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения совВнпадают с теоретическими соображениями.

Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осеВнвых систем, Браве вывел 14 решеток.

Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мысленВнно построить из них

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов