Способы решения систем линейных уравнений

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с неизвестными:

a₁₁x₁ + тАж + a_1n x = b₁

a₂₁x₁ + тАж + a_2n x = b₂

тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_m1x₁+ тАж + a_mnx = b_m.

Здесь x₁, тАж , x тАУ неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория

-2-

векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе линейных уравнений c неизвестными. Оно носит название правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [а_ij] и [a_ij, b_j]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).

Несколько уравнений вида a₁x₁ + тАж+ ax= b образуют систему линейных уравнений

a_j1x₁ + тАж+ a_jnx = b_j , j = 1, тАж, m,

которую можно записать как

x₁a₁ + тАж+ xa = b,

где а₁, тАж, а, m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения

-3-

являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений тАУ очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы.

-4-

Глава I. Матрицы и действия над ними.

Основные понятия.

Матрица размерами m Ч тАУ совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и столбцов, например (обозначим за А)

2 5 2

А= 3 10 7 - матрица.

6 -3 -4

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а₁₁ a₁₂ тАж a_1n

a₂₁ a₂₂ тАж a_2n

M = a₃₁ a₃₂ тАж a_3n

тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_m1 a_m2 тАж a_mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой тАУ номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) тАУ её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a_ij] и В = [_ij]одинакового типа называются равными, если a_ij = b_ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, тАУ нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной

-5-

матрицы порядка ,сумма индексов каждого из которых равна n+1, тАУ

побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

1 0 тАж 0

Е = 0 1 тАж 0

тАжтАжтАжтАжтАжтАж

0 0 тАж 1

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

a₁₁ а₁₂ тАж а_1n₁₁ 0 тАж 0

А = 0 а₂₂ тАж а_2nB = ₂₁₂₂ тАж 0

тАжтАжтАжтАжтАжтАж тАжтАжтАжтАжтАжтАж

0 0 тАж a_n1_n2 тАж b

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a₁₁ a₁₂ тАж a_1n

A = a₂₁ a₂₂ тАж a_2n

тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_n1 a_n2 тАж a

то

a₁₁ a₂₁ тАж a_n1

A^T = a₁₂ a₂₂ тАж a_n2 .

тАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_1n a_2n тАж a

Определитель -го порядка матрицы

-6-

а₁₁ а₁₂ тАж а_1n

А = а₂₁ а₂₂ тАж а_2n

тАжтАжтАжтАжтАж.тАж

а_n1 а _n2 тАж а

есть число

а₁₁ а₁₂тАж а_1n

∆ = а₂₁ а₂₂ тАж а_2n = ∑(-1)^{I(k , k , тАж, k )}a_1ka_2k тАж a_nk

тАжтАжтАжтАжтАжтАж (k₁, k₂, тАж, k)

а_n1 а_n2 тАж а

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а_ij, т.е. на всевозможные перестановки (k₁, k₂, тАж, k). Числа а_ij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю тАУ вырожденной.

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.
Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, те же, что и у данного определителя; i-я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i-й строки данного определителя, а i-я

строка другого тАУ из вторых слагаемых элементов i-й строки.

-7-

Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

1.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, тАУ сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц тАУ теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, если

а₁₁тАжа_1n₁₁ тАж b_1n

А = тАжтАжтАжтАж. ; (1) В = тАжтАжтАжтАжтАж , то (2)

a_m1тАж а_mn_m1 тАж b_mn

a₁₁+ b₁₁ тАж a_1n + b_1n

A + B = тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_m1+ b_m1тАж a_mn + b_mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a₁₁ тАУ b₁₁ тАж a_1n тАУ b_1n

A тАУ B = тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_m1 тАУ b_m1тАж a_mn тАУ b_mn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц. Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

-8-

А + В = В + А; (коммутативность)
А+ (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность)
А + О = А.

Здесь А, В, С тАУ произвольные матрицы одинаковых размеров; О тАУ нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицыА = [а_ij]на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим

λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a₁₁ тАж a_1n λa₁₁ тАж λa_1n

A = тАжтАжтАжтАж , то λA = тАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_m1 тАж a_mn λa_m1 тАж λa_mn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица тАУА = тАУ1А называется противоположной матрице А. Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

1А = А;
(λ + μ)А = λА + μΑ;
λ(А + В) = λΑ+ λВ;

4) λ( μА) = (λμ)А;

5) А + (-А) = О.

Здесь А, В тАУ произвольные матрицы; μ, λ - произвольные числа; О тАУ нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

а₁₁ тАж а₁₁₁ тАж b_1n

A =тАжтАжтАжтАжтАж B = тАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_m1тАжa_mn_m1 тАж b_mn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В, которые

-9-

заданы в определенном порядке (А тАУ 1ая, В тАУ 2ая), является матрица С, элемент которой с_ij определяется по следующему правилу:

c_ij= a_i1_1j+ a_i2_2j+ тАж + a_in_nj= ∑_{α = 1}a_iα_αj,

гдеi = 1,2, тАж, m j = 1, 2, тАж, k.

Для получения элемента с_ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то (1)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = = (2)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов тАУ числу столбцов матрицы В.

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц. Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ≠ВА. Убедимся в примере матриц (1). Перемножив их в обратном порядке, получим:

39 54 69

ВА = 49 68 87 (3)

59 82 105

Сравнив правые части выражений (2) и (3), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются перестановочными. Например:

1 2 -3 2

А = ; В = перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

АВ = ВА=

-4

-10-

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А(ВС) = (АВ)С; (ассоциативность)
λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);
А(В + С) = АВ + АС. (дистрибутивность)

Здесь А, В, С тАУ матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ - произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В тАУ квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

1.3.Обратная матрица.

Пусть дана квадратная матрица

a₁₁ тАж a_1n

A = тАжтАжтАжтАжтАж ,

a_m1 тАж a_mn

= A тАУ её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е тАУ единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а сама матрица А тАУ обратимой. Обратная матрица для А обозначается А^-1.

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х₁. Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ₁ = Е. Умножив второе равенство на матрицу Х, получим ХАХ₁ = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е, то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ₁ = Х или Х = Х₁.

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Найдем теперь выражение для матрицы А^-1 при условии, что матрица

-11-

А тАУ обратимая. Пусть дана обратимая квадратная матрица А с элементами а_ij. Обозначим через А_ij алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе ∆ матрицы А и составим матрицу В:

А₁₁ A₂₁ тАж A_n1

B = тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж (4)

A_1n A_2n тАж A

Заметим, что в i-й строке матрицы В расположены алгебраические дополнения элементов j-го столбца определителя ∆. Матрица (4) называется присоединённой для матрицы А. Докажем, что матрицы А и В удовлетворяют матричному равенству

АВ = ВА =∆Е. (5)

Для этого вычислим элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения АВ. Искомый элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

a_i1A_j1+ a_i2A_j2 + тАж + a_inA_jn. (6)

Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или столбца) выражение (6) равно определителю ∆ при i = jи нулю при i ≠ j. Следовательно, мы установили, что произведение АВ есть матрица вида

∆ 0 тАж 0 1 0 тАж 0

0 ∆ тАж 0 = ∆ 0 1 тАж 0

тАжтАжтАжтАжтАж тАжтАжтАжтАжтАж

0 0 тАж ∆ 0 0 тАж 1

Таким образом, АВ = ∆Е. Аналогично доказывается и равенство

ВА = ∆Е.

Пусть теперь А тАУ невырожденная матрица (т.е. ∆ ≠ 0). Тогда, умножив обе части равенства (5) на числовой множитель 1/∆ , получим

(7)

Сравнивая равенства (5) и (7) и учитывая единственность обратной

-12-

матрицы, замечаем, что

Таким образом, доказано, что, во-первых, обратимы только невырожденные матрицы, и, во-вторых, для матрицы А обратной является матрица

Пусть А невырожденная матрица, тогда АА^-1 = Е. Переходя в этом равенстве к определителям, получаем А А^-1 = 1, откуда

А^-1 = А ^-1.

Таким образом, определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя данной матрицы. Из этого следует, что если матрица А тАУ невырожденная, то обратная матрица А^-1 также невырожденная.

Пусть теперь дана матрица А^-1. Для неё обратной будет матрица

(А^-1)^-1.Поэтому из определения обратной матрицы будем иметь

А^-1(А^-1) ^-1 = Е. Умножив это соотношение слева на А, получим

АА^-1(А^-1)^-1 = АЕ или (А^-1)^-1 = А.

-13-

Пример 1.Найти матрицу обратную матрице

1 2 3

А =тАУ3 тАУ1 1 .

2 1 тАУ1

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆_А = тАУ3 тАУ1 1 = тАУ3 тАУ1 0 = 5 тАУ3 1 = 5 (тАУ3 + 2) = тАУ5 ≠ 0.

2 1 тАУ1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

А₁₁ = тАУ1 1 = 0; А₁₂ = тАУВнВн тАУ3 1 = тАУ1;

1 тАУ1 2 тАУ1

А₁₃ = тАУ3 тАУ1 = тАУ1; А₂₁ = тАУ 2 3 = 5;

2 1 1 тАУ1

А₂₂ = 1 3 = тАУ7; А₂₃ = тАУ 1 2 = 3;

2 тАУ1 2 1

А₃₁ = 2 3 = 5; А₃₂ = 1 3 = тАУ10;

тАУ1 1 тАУ3 1

А₃₃ = 1 2 = 5.

тАУ3 тАУ1

Составим присоединённую матрицу для матрицы А:

0 5 5

тАУ1 тАУ7 тАУ10 .

тАУ1 3 5

Отсюда находим обратную матрицу:

0 5 5

А^-1 = тАУ тАУ1 тАУ7 тАУ10 .

тАУ1 3 5

-14-

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В, если:

А = 2 3 ; В = 3 4 .

1 2 -1 1

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А^-1, получим:

А^-1АХ = А^-1В; Х = А^-1В.

Найдем А^-1: ∆_А = 1, А₁₁ = 2, А₁₂ = -1, А₂₁ = -3, А₂₂ = 1, следовательно,

А^-1= 2 -3 .

-1 1

Найдем матрицу Х:

Х =А^-1В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

-1 1 -1 1 -4 -3

-15-

1.4. Ранг матрицы.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу

а₁₁ тАж а₁

A = тАжтАжтАжтАжтАж (8)

a_m1 тАж a_mn

Выделим некоторое число k строк этой матрицы и такое же число столбцов. Элементы матрицы (8), стоящие на пересечение выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Если не все числа а_ijматрицы А равны нулю, то всегда можно указать число r такое, что у матрицы А имеется минор,

имеющий порядок r + 1 и выше, равен нулю.

Число r, представляющее собой наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А, называется рангом матрицы и обозначается rangA. Если все элементы а_ij равны нулю, то ранг матрицы принимается равным нулю. Отличный от нуля минор r-го порядка матрицы A (таких миноров у матрицы А может быть несколько, но все они имеют один и тот же порядок r) называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, из которых построен базисный минор, называют базисными. Понятие ранга матрицы широко применяется в различных приложениях теории матриц.

Выделим в матрице А произвольно k строк. Пусть это будут строки

a₁, а₂, тАж, а_k:

а_α₁₁, а_α₁₂, тАж, а_α₁

а_α₂₁, а_α₂₂, тАж, а_α₂

тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

а_α_k₁, а_α_k₂, тАж, а_α_k.

-16-

Если существуют такие числа λ₁, λ₂, тАж, λ_k, не все равные нулю, что для элементов некоторой другой, отличной от выделенной, строки iвыполняются следующие соотношения:

(9)

то говорят, что i-я строка линейно выражается через строки

α₁, α₂, тАж, α_k. В случае, если равенства (9) выполняются тогда и только тогда, когда все числа λ₁, λ₂, тАж, λ_kтАУ нули, то говорят, что i-я строка линейно зависима от строк α₁, α₂, тАж, α_k. Аналогичным образом можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости между столбцами матрицы.

Теорема 1.2.(о базисном миноре) Любая строка матрицы А является линейной комбинацией её базисных строк.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что базисный минор матрицы (8) расположен в её верхнем левом углу, т.е. в первых r строках и первых r столбцах. Такое предположение не уменьшает общности рассуждения. Пусть k тАУ номер любой строки матрицы А (k может принимать значения от 1 до m), а l тАУ номер любого её столбца (l может принимать значения от 1 до ).

Рассмотрим следующий минор матрицы (8):

a₁₁ a₁₂ тАж a_1r a₁_l

a₂₁ a₂₂ тАж a₁₁ a_1l

∆ = тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж (10)

a_r1 a_r2 тАж a_rr a_rl

тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж

a_k1 a_k2 тАж a_kr a_k_l

Если k<r, то ∆ = 0, так как в нем имеется две одинаковые строки. Аналогично ∆ = 0 и при l < r.

Разложив определитель ∆ по элементам последнего столбца, получим

a₁_lA₁_l + a₂_lA₂_l + тАж + a_r_lA_r_l + a_k_lA_k_l = 0,

-17-

Придавая l значения, получаем:

(11)

Равенства (11) показывают, что k-я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r строк с коэффициентами

λ₁,λ₂, тАж, λ_r. Так как эти равенства справедливы при любом k от 1 до , то т е о р е м а д о к а з а н а полностью.

Основываясь на теореме о базисном миноре, докажем справедливость следующих предложений.

1. Ранг матрицы не изменяется, если к ней приписать строку, являющуюся линейной комбинацией строк матрицы.

Действительно, базисные строки исходной матрицы будут также базисными строками в дополнительной матрице, так как строку из линейной комбинации всех строк исходной матрицы можно

представить как линейную комбинацию базисных строк.

2. Ранг матрицы А не изменится, если вычеркнуть из неё строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

В самом деле, исходная матрица А получается из матрицы с вычеркнутой строкой путем добавления строки, являющейся линейной комбинацией строк матрицы А. Таким образом, предложение 2 сводится к предложению 1.

Нахождение ранга матрицы, как это следует из его определения, требует вычисления большого числа миноров (т.е. определителей разных порядков) матрицы. Однако этот процесс можно упростить: вычисляя ранг матрицы, гораздо удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор r-го порядка, отличный от нуля, то при следующем шаге нужно вычислять миноры (r + 1)-го порядка, окаймляющие прежний минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Другим простым способом вычисления ранга матрицы является метод Гаусса, основанный на так называемых элементарных преобразованиях, выполняемых над матрицей. Такими преобразованиями будем считать:

-18-

вычеркивание строки состоящей из нулей;
прибавление к элементам одной из строк соответствующих элементов других строк, умноженных на любое число;
перестановку двух столбцов.

Теорема 1.3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразование 1 следует из теоремы о линейной комбинации элементов любой строки матрицы. В самом деле, так как нулевая строка не может быть базисной, то её исключение, как и включение, не изменит ранга матрицы.

Преобразование 3 очевидно, так как перестановка двух столбцов матрицы не нарушает никаких линейных зависимостей между её строками.

Остается рассмотреть преобразование 2. Пусть к kэлементам i-ой строки матрицы А прибавляются соответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число k. Указанное преобразование можно выполнить в два приёма: сначала добавить к матрице А новую строку

с элементами a_il +ka_jl, вставив её после i-й строки, затем из полученной матрицы вычеркнуть j-ю строку. При первой операции ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы А согласно предложению 1, а при второй операции тАУ согласно предложению 2.

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается в том, что путем элементарных преобразований можно привести данную матрицу А к виду

₁_l₁₂ тАж b₁_r тАж b₁

B = 0 b₂₂ тАж b_2r тАж b_2n

тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж ,

0 0 тАж b_rr тАж b_rn

в котором все диагональные элементы ₁_l, b₂₂, тАж, b_rrотличны от нуля, а элементы других строк, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Учитывая, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем rang A = rang B.

-19-

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

1 тАУ2 тАУ1 3

А = 2 0 1 тАУ1 .

тАУ1 тАУ2 тАУ2 4

7 тАУ6 тАУ1 7

Р е ш е н и е. Выберем минор второго порядка, стоящий в верхнем левом углу:

М₂= 1 тАУ2 = 4.

Так как М₂≠ 0, то, следовательно, ранг матрицы не меньше двух. Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка отличный от нуля. Для этого добавим к М₂третью строку и третий столбец:

1 тАУ2 тАУ1

М₃ = 2 0 1 = 2 + 4 + 2 тАУ 8 = 0.

тАУ1 тАУ2 тАУ2

Заменим третий столбец четвертым:

1 тАУ2 3

М′₃ = 2 0 тАУ1 = тАУ2 тАУ 12 тАУ 2 + 16 = 0.

тАУ1 тАУ2 4

В миноре М₃заменим третью строку четвертой:

1 тАУ2 тАУ1

М″₃ = 2 0 1 = тАУ14 + 12 + 6 тАУ 4 = 0.

7 тАУ6 тАУ1

В миноре М′₃ заменим третью строку четвертой: