Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Экзаменационная программа

По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116.

1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rⁿ. Метрика. Метрические пространВнства. Открытые и замкнутые множества в Rⁿ.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обВнратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой поВнследовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. ПереВнход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имеюВнщей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. ПреВндельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.

8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функВнции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.

10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

11. Теорема о непрерывности сложной функции.

12. Теорема о непрерывности обратной функции.

13. Непрерывность элементарных функций.

14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходиВнмость ряда

15. Свойства сходящихся рядов.

16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17. Признаки Даламбера и Коши.

18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и

. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20. Ряды с комплексными членами.

21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производВнной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормаВнли к графику функции.

23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функВнциями.

24. Производная сложной функции.

25. Производная обратной функции.

26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28. Параметрическое дифференцирование.

29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.

31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.

32. Теорема Коши.

33. Правило Лопиталя.

34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.

36. Признак монотонности функции.

37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38. Выпуклость и точки перегиба.

39. Асимптоты.

40. Первообразная и ее свойства.

41. Неопределенный интеграл и его свойства.

42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44. Интегрирование иррациональностей.

45. Интегрирование тригонометрических выражений.

46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47. Свойства определенного интеграла,

48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50. Формула Ньютона - Лейбница

51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52. Площадь плоской фигуры.

53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельВнный признак сравнения.

55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.

#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rⁿ.{Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX  >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции  опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0  x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x)  x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y)  x,y,z X в этом случае функция  метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у

#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у тАУ неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)

#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: NВоX называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:NВоX обозн {Xn} или Хn n=1,2,3тАж число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(nВоТР)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-ee обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(nВоТР)xn=a lim(nВоТР)xn=b aЮ для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a Ю a-r Ю xnn1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r Ю r-b xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность а_N сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

#4послед {xn} назыв б м п если lim(nВоТР)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп =>"e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(nВоТР) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич =>$M>0 такое что /уn/" n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim_(nВоТР)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n₀:n>n₀ a_Nb_Nc_N и Lim a_N=a, Lim c_N=c, причем a=c, то Lim b_N=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда  n’: n>n’ => c_N<(a+E) &  n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n₀,n’,n”} (a-E)Nb_Nc_N<(a+E), т.е.  n>max{n₀,n’,n”}=>b_N(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, n₀: n>n₀ х_Ny_N, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела  n₀’: n>n₀’ |х_N-х| n₀”: n>n₀” |y_N-y|n>max{n₀’, n₀”}: |х_N-х|<|х-у|/2 & |у_N-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n₀’, n₀”} х_N(х-Е,х+Е) & у_N(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n₀’, n₀”} х_N>y_N - противоречие с условием.

#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. ВлаВ» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А тАУ называется пределом ф-ции при xa если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|x_af(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 | x 0<|x-a|< |f(x)| lim_xaf(x)= {O lim_xaf(x)=+} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)>E {O lim_xaf(x)=-} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)<-E {O lim_xf(x)=A} Если >0 =()>0 : x |x|> вып |f(x)-A|< {O lim_xf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>0 при x a(-))  |f(x)-A|< A=lim_xa+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет lim_xa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть lim_xaf(x)=A lim_xaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного  1) =()>0 | при x 0<|x-a|< |f(x)-A|< f(x)U(A;) 2) ₂=₂()>0 | при x 0<|x-a|<₂ |f(x)-B|< f(x)U(B;) Пусть ₀=max(1,2), тогда при х уд. 0<|x-a|<0 вып. f(x)U(A;E), f(x)U(B;E)  Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при xa f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. lim_xaf(x)=A, то для =1 >0 | при x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|<1  |f(x)|=|f(x)-A+A||f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при х уд 0<|x-a|< -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ ха если lim_xaf(x)=0 {o} ф-ция ББ если lim_xaf(x)=+(-) {T} Если f(x) бб при ха, то 1/f(x) бм при ха. Если f(x) бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) тАУ бб при ха {Док} Возьмём E>0 =(E) >0 | при x уд. 0<|x-a|< |f(x)|>1/E  1/f(x)x уд 0<|x-a|< 1/f(x) бм при xa Пусть f(x) тАУ бм при xa и 1>0 | x, уд. 0<|x-a|<1 f(x)0 возьмём E{бол}>0 тогда 2>0 | при 0<|x-a|<2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть =min(,2) при x , 0<|x-a|< вып-ся f(x)0, |f(x)|<1/E  1/f(x)>E  1/f(x) тАУбб при ха {T} Сумма двух б.м при xa есть бм при xa {Д} Пусть lim_xaf1(x)=0 lim_xaf2(x)=0 >0, тогда 1=1()>0 | при х 0<|x-a|<1  |f1(x)|</2 2=2()>0 | при x, 0<|x-a|<2 |f2(x)|</2 Пусть =min(1,2) x 0<|x-a|< |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=/2+/2= lim_xa(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при xa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa {Док} Пусть lim_xag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(,1) т.е. >0 | х U(a,1) |g(x)|<>0 2>0 | при x, 0<|x-a|<2  |g(x)|</ ; Пусть =min(1,2) x, 0<|x-a|< |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|</= lim_xaf(x)g(x)=0

#6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x)  f(x)=A+(x) ;Где (x) тАУ б м ф-ия при ха {док-во} Пусть А=lim(ха) f(x) предположим ; (x)=f(x)-A и докажем что (x)-б м ф при ха. Возьмем >0  завис от  такое что ()>0 такое что х, 0 => /f(x)-A/< => /(x)/=/f(x)-A/< таким образом (x) тАУ бмф при ха пусть f(x)= (x)+A где (x) тАУ бмф при ха тогда при >0 >0 такая что х удв 0 выполняется /(x)/<  => /f(x)-A/=/(x)/ < => lim_(ха)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при ха =А и сущ lim_(ха)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0 ; 1-e св-во тк lim(ха)f1(x)=A и lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12= A+B+(x)== где (х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim_(ха)f1(x)=b1 lim_(ха)f2(x)=b2 и b1 U(a,) такая что х U(a,) => f1(x) 1)1=c-b1>0 1>0 так что хU(a,) /f1(x)-b1/<1 = c-b1 => b1-c f1(x)2=b2-c 2>0 так что хU(a,) =>/f2(x)-b2/<=b2-c => c-b2 =min(12) =>хU(a,) => f1(x) f1(x)(х_а)f1(x)=b1 lim_(ха)f2(x)=b2 и  U(a,) так что хU(a,) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,) так что хU(a1,1) => f1(x)>f2(x) o =min(12) =>хU(a1,o) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует lim_xa(x) ; lim_xaf(x) причём lim_xa(x)=A lim_xa(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,) вып-ся (x)f(x)(x) тогда lim_xaf(x)=A {Док-во} E>0 2>0 | x 0<|x-a|<2  A-E<(x)3>0 | x, 0<|x-a|<3  A-E<(x)=min(1,2,3)x 0<|x-a|< A-E<(x)f(x)(x) |f(x)-A|

#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть lim_xaf(x)=A lim_yAg(y)=B и в некоторой U(a,1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)А тогда lim_xag(f(x))=lim_yAg(y) {Док-во} E>0 т.к.  lim_yAg(y)=B >0 |y , 0<|y-A|<|g(y)-B| lim_xaf(x)=A для Е1=<1 | x , 0<|x-a|< 0<|f(x)-A|<x, 0<|x-a|< |g(x)-B|lim_xag(f(x))=B=lim_yAg(y)

#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если  C>0 | |f(x)|C(g(x)) x  E f(x)=O(1) на E  f(x) ограничена на Е т.е.  С>0 | |f(x)|C xE Пусть ф-ция f(x) и g(x) тАУопределены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при xa и пишут f(x)=o(g(x)), xa , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где lim_xfE(x)=0 x=o(x), x0 f(x)=og(x) , xa E(x)=x h(x)=o(g(x)), xa; (x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) xa f(x) есть O-большое от g(x) при xa, если  U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), xa Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел  lim_xaf(x)/g(x)=1 пишут f(x)g(x) xa {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) xa g(x)0 (xa) {Док-во} Пусть f(x)g(x) , xa тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и  lim_xaf(x)/g(x)=1  E(x), E(x)0 при xa | f(x)/g(x)=1+E(x) f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), xa. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) xa , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где lim_xaE(x)=0  f(x)/g(x)=1+E(x)  lim_xaf(x)/g(x)=1  f~g(x) xa {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) тАУб.м. ф-ции при xa g(x)0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при xa {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при xa, Если ф-ция f(x) и g^k(x) б.м. одного порядка при xa

№9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для  >0 =()>0 такое что h /h/< /f(a+h)-f(a)/<  Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0),  f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=lim_xa+0f(x) (f(a-0)=lim_xa-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а  f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)0 тогда существует окрестность точки а :U(a) и с>0 такое что f(x)>c xU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)< -c xU(a) при f(a)<0 {Док-во} возьмем  =/f(a)//2>0 тогда >0 такое что xU(a) => /f(x)-f(a)/< =/f(a)//2 f(x)0 => /f(a)/=f(a)=>xU(a) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=>xU(a) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд

#10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b  X , af(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В  c(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию (x)=f(x)-C Пусть для определённости A A(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки (a)=f(a)-C=A-C<0; (b)=f(b)-C=B-C>0  по теореме Больцана тАУКаши  с(a,b) | (c)=0  f(c)-C=0 f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения .[a,b] | f()=minf(x) x[a,b]; f()=maxf(x) x[a,b] f()<=f(x)<=f() x [a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХRⁿ называется равномерно непрерывной на Х если для >0 =()>0 | x’,x’’X,(x’,x’’)<|f(x’)-f(x’’)|<; Прим f(x) тАУравномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для >0 = | x’,x’’R, |x’-x’’|<= {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.

#11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем >0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число >0 так что у /у-b/< так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/< из непрерывности ф-ии g(x) в т а >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/<. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/< => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.

#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) тАУ непрерывна при х [a,b] у[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=(y) также непрерывна {Д} Пусть y0[A,B]  x0=(y0), f(x0)=y0 x0(a,b) ; возьмём >0 столь малое, что [x0-,x0+][a,b] Пусть y1=f(x0-) y2=f(x0+) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+) тогда для у из [A,B] получаем [a,b]  мы получили на нём >0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2) соответсвует (y)(x0-;x0+) Если это утверждение справедливо для мал  то оно справедливо для + ф-ция  - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В  х0=(y0)=b Возьмём ) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f y(y,y0]  x=(y) при отображении  пойдёт в а (x0-,x0)  ф-ция  непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.

#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C тАУнепрерывна на всей числовой прямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; lim_h0f(x)=0; 2) f(x)=x; f(x)=x+h-x=h lim_h0h=0; 3)f(x)=xⁿ, nN тАУнепрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций  по индукции xⁿ=x^n-1x; 4)f(x)=a0xⁿ+a1x^n-1+тАж+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xⁿ+a1x^n-1+тАж+an)/(b0x^m+b1x^m-1+.+b^m)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма xR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.(OB,ox)=x; (OB’,ox)=x 0<=x<=/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки  |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx  2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=/2 Если |x|>/2  |sinx|<=1</2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| lim_h0sinh/2=0 7.f(x)=cosx тАУ непрерывна на всей числовой прямой |f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|0; 8)f(x)=a^{x тАУ}непр на всей числ пр,a>=0 f=(a^x+h-a^x)=a^x(a^h-1) lim_h0a^x(a^h-1)=0; 9)f(x)=log_ax a>0 a1 непрерывна на (0,+) 10)arcsinx, arccosx тАУ на всей числ. пр.

#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3тАжаn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп  сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд аn сход то lim_(n)an=0 док-во если ряд an сх то  lim_(n)S_n=S=lim_(n)S_(n-1) тогда lim_(n)an = lim_(n)(Sn-S_(n-1)) = lim_(n)Sn-lim_(n)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда (n=1,)an   >0  n такое что при n>n и р Z p>=0 вып неравенство /аn+a_n+1+a_n+2+a_n+p/<; {} (n=1.)1/n( в степ )  >1 сход <1 расход; n^<=n Пусть <=1  1/n^+1/(n+1)^+тАж+1/(2n-1)^>=1/n+1/(n+1)+тАж+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+тАж+1/2n=n/2n=1/2  для =1/2 при  n  p=n-1 | вып-ся нер-во |an+тАж+a_n+p|> ряд расх. Пусть >1, =2-1>0 расходится частичная сумма ряда S_2k=1+1/2^+(1/3^+1/4^)+(1/5^+1/6^+1/7^+1/8^)+тАж+(1/(2^k-1+1)^+,,,+1/(2^k)^); 1/(n+1)^+1/(n+2)^+тАж+1/(2n)^>1/n^+1/n^+1/n^=n/n^=1/n^-1=1/n^<1+1/2^+1/2^/(1-1/2^)  {S_2k} тАУограничена сверху т.к. n k |n<2^k Sn2k ряд сход.

#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ^+_n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть _k=m+1^+ak-остаток ряда. Обозначим А_n=a1+тАж+an тАУ n-ая частная сумма ряда (1,+)an A’_s=a_{m+1Вместе с этим смотрят:}