Шпоры по математическому анализу

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х₀)А это означает, что правая производная f_пр'(х₀) и левая производная f_л'(х₀) равны между собой: f_пр'(х₀)= f_л'(х₀)= f'(х₀). Таким образом, с одной стороны, f'(х₀)≤0, с другой стороны, f'(х₀)≥0, что возможно лишь, когда f'(х₀)=0.

4. Теорема Коши.

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c Î (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)

5. Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Если функция у=f(х) неперырвна на отрезке [a,b], дифференцируема хотя бы в интервале (a,b) то существует такая точка c Î (a,b), что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Доказательство: Применим теорему Коши к функциям f(x) и g(x)=x. Для них все условия этой теоремы выполняются, включая требование g'(х)¹0. Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g'(x)=1, получим, (2)

6. Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

Причем, они равны между собой.(4)

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x

Так как f(a)=g(a)=0. При хВоа будет сВоа, потому x

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при хВоа, получим

Или, что то же самое (4).

7. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x₀локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х₀-d, х₀+d), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х₀). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)³f(х₀).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х₀) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀. Пусть (х₀-d, х₀+d) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х₀)А это означает, что правая производная f_пр'(х₀) и левая производная f_л'(х₀) равны между собой: f_пр'(х₀)= f_л'(х₀)= f'(х₀). Таким образом, с одной стороны, f'(х₀)≤0, с другой стороны, f'(х₀)≥0, что возможно лишь, когда f'(х₀)=0.

Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀существует f'(х) ( в самой точке х₀производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х₀убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х₀имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х)>0 при х< х₀ и f'(х)<0 при х > х₀, то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х)<0 при х< х₀ и f'(х)>0 при х > х₀, то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀, в том числе и в самой точке х₀, существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х₀существует вторая производная f''(х₀). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х₀)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х₀)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f'(х₀)=0, поэтому возрастание f'(х₀)<0, при х < х₀и f'(х₀)>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f''(х₀)<0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f'(х₀)=0, а f''(х₀)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f'(х₀)=0, а f''(х₀)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х₀.

11. Формула Тейлора и Маклорена.

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х₀ существует непрерывная производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), и значения х принадлежат этой окрестности. Через R_n обозначен так называемый остаточный член. Его можно записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х₀ и х.

При х₀=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у=f(х), непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках локального экстремума (x₂, x₃, x₄, x₅,), либо на концах промежутка. Находим точки, подозрительные на экстремум (х₁, x₂, x₃, x₄, x₅,). Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает применения достаточных условий экстремума в точке х₁, где локального экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках, подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.

9. Нахождение асимптот графиков функции.

Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.

Нахождение вертикальных ас:

Ищутся конечные значения х=а, при которых

Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.

Нахождение наклонных асимптот.

Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φ сохраняет постоянное значение, α=φ. Из ∆ KLMKM=MLּcos α. Поэтому KM и ML стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):

Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:

При x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда:

Поэтому

Следовательно (получаем (2)),

Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)

Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0 асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).

13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и F'(x)=f(x).

Теорема: Если F₁(x) и F₂(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.

Докозательство: По условию F'₁(x)=F'₂(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F₁(x) - F₂(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F₁(x) и F₂(x). Для любых х₁, x₂,Î (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х₁)-Ф(х₂)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. сÎ (a,b), следовательно Ф(х₁)=Ф(х₂). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F₁(x) - F₂(x)=С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.

14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.

Из определения вытекает, что

И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.

Исследование функции y=f(x) проводится по плану:

1. Находится ООФ.

2. Вычисляются нули функции y=f(x), т.е. значения х₁, x₂тАж, при которых f(x₁)=0, f(x₂)=0тАжМежду нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль. Устанавливают где f(x)>0 и f(x)<0.

3. вычисляются производная f'(x) и находятся ее нули и знак в промежутках между нулями. В том промежутке, где f'(x)>0, функция возрастает, где f'(x)<0 - убывают. Попутно выявляются локальные экстремумы функции.

4. Вычисляется вторая производная f''(x) и с ее помощью находятся промежутки выпуклости (f''(x)<0), вогнутости (f''(x)>0) и точка перегиба (f''(x)=0).

5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после исследования для частичной проверки правильности построения графика).

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ(a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b

Доказательство: Проведем его для случая a

можно записать

Непрерывная функция f(x) принимает всякое значение промежуточное между наименьшим m и наибольшим M значениями. Поэтому существует такое число x(a

Чтд.

22. Классы интегрируемых функций. Функция Дирихле.

интегрируемость не является свойством, присущим всем функциям. В этом убеждает следующий пример. Рассмотрим функцию f(x), называемой функцией Дирихле:

Сделаем произвольное разбиение R отрезка [a,b]. На любом частичном отрезке [x_i, x_i+1] найдетсяи как рациональная точка x_i. Так, и иррациональная точка h_i.Составим две интегральные суммы:s_R и

Пусть

З класса функции:

1. Функции непрерывные на отрезке [a,b].

2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)

3. Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

∆х так, чтобы х+∆хÎ(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой

Теорема верна и при b

Число x заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.

Перейдем к вычислению производной F'(x).

Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).

Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.

Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:

25. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

( в качестве числа х₀ взято число а).

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

Получим формулу интегрирования по частям:

27. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

30. Интегралы с бесконечными пределами.

Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [x_i, x_i+1] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.

Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел

Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:

Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:

Где с - произвольное число.

Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (x₀, у₀). Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.

Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y₀) имеет экстремум в точке x₀, т.к. неравенство f(х₀+∆х, y₀+∆у)≤f(х₀, y₀), иначе ∆f≤0

Или ∆f≥0 должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0. Поэтому, d/dx∙f(x,y₀)=0 при х=х₀, а это то же самое, что f'_x(х₀, y₀)=0. Аналогично устанавливается, что f'_у(х₀, y₀)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.

31. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х₀ и у к у₀, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х₀ │< δ, │ y - y₀ │< δ ( за исключением, быть может, точки (х₀, y₀)), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение

Заметим, что точка (х₀, y₀) может не принадлежать ООФ f(x,y).

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

1. (х₀, y₀)Î D;

2. существует

3.

то функция называется непрерывной в точке (х₀, y₀).

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х₀, y₀), а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.

Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х₀, y₀), если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆z функции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z - полное приращение).

42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.

В этом методе не требуется выражать явно y через х , однако используется то обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится к безусловному экстремуму функции одной переменной.

Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:

В точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),

Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению φ(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х, которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение φ(x,y)=0 в тождество. Получим (2):

Умножим (2) на неопределенный множитель λ и сложим с (1):

Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):

В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и l. Из системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается l, то этот множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений - наибольшим или наименьшим - мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод Лагранжа, который состоит в следующем.

Составляется вспомогательная функция

F (x,y,l) = f(x,y) + lj(x,y) (5), называемая функцией Лагранжа. Для нее выписываются как для функции трех переменных необходимые условия абсолютного экстремума:

При этом получается в точности система (4).

Коэффициент l называют множителем Лагранжа.

Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных. Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями j₁(x,y,z)=0 и j₂(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:

F(x,y,z, l₁, l₂) = f(x,y,z) + l₁j₁(x,y,z)+ l₂j₂(x,y,z).

Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, l₁, l₂.

41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.

Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос решается однозначно - экстремума нет. Поэтому будем считать:

И, перенеся f(х_0,y₀) в левую часть, получим слева

Кроме того, обозначим

Приводим к формуле:

Положим u = AΔx² + 2B∆xΔy +CΔy²При ρ→0 квадратичная форма u убывает со скоростью р², т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки (х₀,, y₀) ,будет выполнятся неравенство 1/2│u│>│R│(если u не обратится в нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется, в точках, где u=0, знаки ∆f и R совпадают. Имеются 3 возможности:

1. Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ∆x=∆y=0. Такая квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет знак и приращение ∆f . При ∆f≤0 в точке (х₀,, y₀) имеется максимум, а при ∆f≥0 - минимум.

2. В любой оокрестности точки (х₀,, y₀) величина u принимает как положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ∆f . Экстремума нет.

3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена. Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.

Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А = С = 0, В ¹ 0, то u = В∆х∆у, и квадратичная форма является знакопеременной. При совпадении знаков ∆х и ∆у она имеет знак В, при несовпалении - знак противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В = 0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в каждом конкретном случае.

Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для определенности, что А ≠ 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А, прибавим и вычтем (В¸А ∆у)². Первые три слагаемых представляют полный квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:

1. Если В² - АС <0, то форма знакоопределенная. Действительно,

Поэтому выражение в квадратных скобках неотрицательно и может обратится в нуль только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Второе обращается в 0 лишь при ∆у=0. В этом случае первое слагаемое будет равно 0 только при ∆х=0. Очевидно, что знак знакоопределенной формы u совпадает со знаком числа А.

2. Если В² - АС >0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в квадратных скобках останется ∆x² и если ∆х≠0., то ∆x² > 0; при ∆у≠0 можно взять ∆х = -В/А∆у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.

3. Если В² - АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется выражение (∆х+В/А∆у)², которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не только при ∆х=∆у=0, а и тогда, когда ∆х = -В/А∆у, при любом ∆у.

33. Частные производные.

Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по х ∆_хz и по у ∆_уz. Они определяются формулами, где приращение дается только одной из переменных.

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел отношения частного приращения ∆_хz к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f'_y(

Вместе с этим смотрят:

"Инкарнация" кватернионов

* Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

10 способов решения квадратных уравнений

Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов