Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем"
МИНСК, 2008
Задающее воздействие 
и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная составляющая напряжения на выходе дискриминатора 
(t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные линейные цепи нормализуется.
Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией случайных процессов.
Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы связаны зависимостью
,
где 
- частотная передаточная функция системы;
- спектральная плотность процесса на входе.
Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию:
.
Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы:
(1)
или:
, (2)
где Sv(w) тАУдвусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы.
При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (2) может быть записано в виде:
,
где 
; 
.
Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интегралов
Для упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному виду:
,
где 
─ полином четной степени частоты
;
- полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной; n тАУ степень полинома
.
Вычисление производят по формулам:
; 
; 
.
При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике.
Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом должен быть дробно-рациональной функцией переменной и система должна быть устойчивой.
Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис.1).
Рис.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения.
Исходные данные:
─ флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью 
.
Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле:
.
Передаточная функция от воздействия к ошибке
;
; 
.
Выполним расчет:
;
;
; 
;
; 
; 
; 
; 
;
. (3)
Приведем 
ко входу дискриминатора и упростим выражение (3)
, (4)
где 
; 
- спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного процесса.
Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей.
Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: 
, и
;
Если на вход инерционного звена с передаточной функцией
подать шум со спектральной плотностью 
, то дисперсия на выходе будет равна
;
Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени 
.
Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае
; 
; 
; .
Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при увеличении 
инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются (рис.2).
Рис.2. Зависимость АЧХ от постоянной времени инерционного звена.
Используя (4) можно оптимизировать параметры системы, в частности 
по критерию минимума флюктуационной ошибки. С этой целью продифференцируем (6.4) по и приравняем производную нулю.
;
;
;
; 
;
при 
; 
;
Подставив 
в (4), получим
,
где 
- собственная частота следящей системы.
Если задающее воздействие представлено спектральной плотностью неточность его воспроизведения также оценивается дисперсией. Рассмотрим пример (рис.3).
Рис.3
Пусть 
; 
,
где 
─ дисперсия задающего воздействия;
- параметр, определяющий ширину спектра.
Определим величину дисперсии ошибки слежения 
, обусловленную неточностью воспроизведения задающего воздействия.
;
,
где
; 
- коэффициент передачи интегратора;
- крутизна дискриминационной характеристики.
; 
;
приведем выражение к стандартному виду:
;
(jw) =(
+jw) (Kv+jw) =(jw) 2 +(+Kv) jw+ Kv;
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
;
При увеличении 
уменьшается, в то время как в первом примере увеличивается.
Эквивалентная шумовая полоса следящих систем
Под эквивалентной шумовой полосой следящей системы понимают полосу пропускания эквивалентной системы, имеющей прямоугольную АЧХ, одинаковое с исходной системой ее значение на нулевой частоте и одинаковую дисперсию на выходе при воздействии на входы систем белого шума (рис.4).
Рис.4. АЧХ исходной и эквивалентной систем.
Чтобы определить полосу пропускания 
используем условие равенства дисперсий:
Отсюда
.
Использование значения эквивалентной шумовой полосы позволяет упростить вычисление дисперсии:
; 
.
Если 
, то 
, или 
,
где 
─ односторонняя спектральная плотность.
Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы систем приведены в табл.1
Таблица 1. Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы.
Для решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему, описать воздействия и возмущения, выбрать критерий оптимизации и метод.
Оптимизируем параметры kи2 и T1 в системе (рис.5), в которой задающее воздействие λ(t) тАУ детерминированная функция, а возмущение ─ случайный процесс ξ(t).
В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки:
; (5)
где 
- квадрат математического ожидания ошибки слежения.
Рис.5. Структурная схема оптимизируемой системы.
Исходные данные:
; 
.
Необходимо определить 
и 
по критерию (5).
Величина математического ожидания (динамической ошибки) определяется выражением
.
Величина дисперсии ошибки:
. (6)
Для определения оптимальных значений параметров воспользуемся методом дифференцирования:
.
Из этого уравнения определяем
. (7)
Подставив в исходное уравнение (6) вместо T1 его оптимальное значение (7) и продифференцировав по переменной kи2, найдем ее оптимальное значение
.
Пусть задающее воздействие является случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью
Флюктуационная составляющая характеризуется спектральной плотностью .
В качестве фильтра используется идеальный интегратор:
.
Найдем оптимальное значение коэффициента передачи интегратора 
по критерию минимума суммарной ошибки слежения:
,
где 
─ величина дисперсии ошибки, обусловленная неточным воспроизведением входного воздействия; 
─ величина дисперсии ошибки обусловленная воздействием флюктуационной составляющей.
. (8)
Продифференцируем (8) по 
и приравняем производную нулю. В результате получим
.
Память следящих систем
Радиотехнические системы работают в условиях многолучевого распространения радиоволн, поэтому при приеме сигнала наблюдается эффект замирания сигнала. Попадание на вход приемника мощной широкополосной помехи приводит к смещению рабочей точки характеристики активного элемента на нелинейный участок характеристики и в результате тАУ к подавлению полезного сигнала мощной помехой. Сигнал на входе следящей системы пропадает, что эквивалентно размыканию контура. На структурной схеме (Рис.6) это явление можно отобразить введением двух ключей Кл1 и Кл2. Пропадание сигнала приводит к размыканию ключа Кл1 и переводу ключа Кл2 в положение 2, поскольку меняется характер флюктуаций.
Рис.6. Структурная схема следящей системы с учетом пропадания полезного сигнала на входе.
Если в режиме слежения закон распределения ошибки нормальный с нулевым математическим ожиданием и в момент времени 
следящая система разомкнулась, то через время 
, характер распределения ошибки слежения изменится: увеличится математическое ожидание и дисперсия. Если в момент значение ошибки не выходит за пределы апертуры дискриминационной характеристики, то появление сигнала приведет к восстановлению режима слежения. Если же 
, то происходит срыв слежения.
Вероятность того, что через после пропадания сигнала ошибка слежения не превышает 
определяет память следящей системы:
.
Рис.7. Распределение плотности вероятности ошибки слежения.
Рис.8. Дискриминационная характеристика.
Рассмотрим пример.
Пусть следящая система имеет два интегратора (рис.9).
Рис.9. Структурная схема системы.
Задающее воздействие определяется линейной зависимостью
;
Поскольку система является астатической с астатизмом второго порядка установившееся значение ошибки равно нулю, т.е.
.
Следовательно,
; 
, а 
,
т.е. напряжение на входе второго интегратора пропорционально скорости изменения задающего воздействия 
.
Таким образом, система отслеживает скорость изменения входного процесса не по рассогласованию а по памяти. При пропадании сигнала на вход система будет отслеживать его изменение, если скорость не изменятся. При восстановлении сигнала ошибка будет минимальной, или равной нулю (в реальной ситуации срыв может произойти в результате флюктуаций управляемой величины под воздействием помех).
Память следящих систем определяется числом интегрирующих звеньев. Одно звено обеспечивает память по положению, два тАУ по скорости, три тАУ по ускорению.
Таким образом, система с астатизмом n тАУго порядка обладает памятью по n-1 производной задающего воздействия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. тАУ М.: Высш. шк., 2000.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред.В.А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005.
3. . Первачев С. В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации / Под ред. М.И. Жодзишского тАУ М.: Радио, 2000
Вместе с этим смотрят:
GPS-навигация
GPS-прийомник авиационный
IP-телефония и видеосвязь
IP-телефония. Особенности цифровой офисной связи
Unix-подобные системы