Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть 
- непустое множество, то есть 
.
Определение. Бинарной операцией на множестве 
Ваназывается отоВнбражение прямого произведения 
.
Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов мноВнжества Вапоставлен в соответствие единственный элемент из , то говоВнрят, что задана бинарная операция на множестве .
Пример.
Пусть 
- произвольные высказывания
: 
- бинарная операция на множестве высказываний.
Пусть - произвольные множества
: 
- бинарная операция на множестве множеств.
Пусть 
: 
- бинарная операция на множестве действительных чисел.
: 
- не является бинарной операцией на множестве 
, так как 
.
Если 
- произвольная бинарная операция на множестве 
Ваи паре 
Ваставится в соответствие элемент 
Ва(то есть 
), то вместо записи 
Вапишут 
, то есть имеем 
. Элемент Ваназывается композиВнцией элементов 
.
Определение. Пусть 
. Отображение 
ВаназыВнвается 
- местной операцией на множестве . Число - ранг операВнции.
Определение. Нульместной операцией на множестве Ваназывается выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число 
ВаназыВнвается рангом нульместной операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными операВнциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множеВнства Ваставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная опеВнрация тАУ это отображение множества Ваво множество .
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть - множество натуральных чисел
Ва- унарная операция
Ва- не является унарной операцией
На множестве высказываний операция 
: 
Ва- унарная операВнция
На множестве подмножеств универсального множества операция доВнполнения тАУ унарная операция.
Определение. Отображение из множества 
Ваназывается частичВнной - местной операцией на множестве , если область определеВнния отображения не совпадает с 
.
Пусть 
- бинарные операции на множестве .
Операция 
- коммутативна на множестве 
.
Операция - ассоциативна на множестве 
.
Операция 
- дистрибутивна слева относительно операции 
.
Операция Вадистрибутивна справа относительно операции 
.
Пример.
Операция 
Вана множестве - коммутативна, ассоциативна.
Операция 
Вана множестве - коммутативна, ассоциативна.
На множестве множеств операции 
Ваи 
Вадистрибутивны относиВнтельно друг друга.
На множестве функций композиция функций - ассоциативная операВнция, не является коммутативной операцией.
Определение. Алгебра 
, где , 
- множество операВнций на .
Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что заВндано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть - множество высказываний
- алгебра логики высказываний.
Пусть - множество натуральных чисел
- алгебра натуральных чисел относительно операций Ваи .
Определение. Алгебра 
Ваназывается подалгеброй алгебры , если множество 
; 
- ограничение операции .
Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка 
, где , - множество операций на ; 
- мноВнжество отношений на .
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал ВлАргументВ». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье тАУ М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/
Вместе с этим смотрят:
Актуальные проблемы квантовой механики
Волоконно-оптические датчики температуры на основе решеток показателя преломления
Время и пространство - идеалистические понятия
Единое поле силового пространственного взаимодействия материальных тел