студенческий фриланс сервис, заказ курсовой, заказ реферата, заказ диплома, решение задач

Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.

Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) называется алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция (функция ВлследованияВ»), - выделенный элемент в множестве , для которой выполнены следующие аксиомы:

Для , Ва(элемент Ваназывается следующим за ).

Для , , .

, .

Для , .

, .

Для , .

Аксиома индукции: Пусть . Если множество Ваудовлетворяет условиям:

а) ;

б) для , ;

то .

Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из аксиом системы не является следствием других аксиом.

Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свойства натуральных чисел.

п.2. Теоремы математической индукции.

Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

- истина.

Ва(- истина Во - истина).

Тогда предикат Ватождественно истинен на .

Доказательство. Обозначим через Вамножество всех тех , для которых Ваистина. Проверим, что Ваудовлетворяет условиям аксиомы индукции.

Т.к. - истина, то .

Если , то - истина и по второму условию теоремы индукции - истина. Поэтому .

Множество Ваудовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому .

Обозначение. Множество целых чисел Васостоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным.

Для Ваобозначим .

Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям:

- истина.

Ва(- истина Во- истина).

Тогда предикат Ватождественно истинен на .

Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

- истина.

Ва(- истиныВо - истина).

Тогда предикат Ватождественно истинен на .

Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям:

- истина.

Ва(- истины Во - истина).

Тогда предикат Ватождественно истинен на .

Числа Фибоначчи

Определение. Числа Фибоначчи , для , определяются рекуррентно

(1) , ;

Вадля всех .

Из определения чисел Фибоначчи следует, что

, , , , , , , , , , .

Для вычисления чисел Фибоначчи справедлива следующая формула Бине

(3) , .

Из (1) и (2) следует, что индукционное предположение, при доказательстве формулы Бине, должно предполагать справедливость (3) для Ваи , и значит, начальные условия должны требовать выполнение (3) для Ваи . Поэтому доказательство формулы Бине может проводиться по следующей теореме математической индукции.

Теорема 5. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

- истины.

Ва(- истины Во - истина).

Тогда предикат Ватождественно истинен на .

Проведём доказательство формулы Бине по теореме 5.

Для Ваи Варавенство (3) принимает вид

, .

Очевидно, что эти равенства верны.

Предположим, что равенство (3) истинно для чисел Ваи . Тогда из (2) следует, что

После простых преобразований правой части получим, что

По индукции формула Бине доказана.

Теорема 6. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

- истина.

Ва(- истины Во - истина).

Тогда предикат Ватождественно истинен на .

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.

Теорема. Если бинарная операция Вана множестве Ваассоциативна, то Вапри любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций Вав произведении Вазначения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим утверждения теоремы для Ваи .

Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единственен.

Для Вапроизведение Ваможет быть вычислено двумя способами: Ваили . В силу ассоциативности - эти произведения равны.

Предположим, что теорема доказана для всех чисел , где .

Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении , такое произведение есть произведение двух скобок Ва(1), где . Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке Вамножителей, то по индукционному предположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде , применяя закон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно Ваи так далее продолжая, получим , поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал ВлАргументВ». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье тАУ М.: Физмат лит-ра, 2001

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/

Группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Подгруппы

Даны определения группы, абелевой, бесконечной, аддитивной, мультипликативной и коммутативной групп, гомоморфизмов и изоморфизмов групп, приведены примеры групп и их простейшие свойства с доказательствами.

п.1. Понятие группы.

Определение. Алгебра , где - бинарная операция, - унарная операция, Ваназывается группой, если выполнены 3 аксиомы:

- ассоциативно, то есть .

Аксиома существования правого нейтрального элемента:

Аксиома существования правого обратного элемента: , - правый обратный элемент к .

Определение. Группа Ваназывается коммутативной (абелевой), если операция Вакоммутативна, то есть .

Определение. Порядком группы Ваназывается число элементов в множестве , если - конечное множество. Если - бесконечное множество, то группа Ваназывается бесконечной.

Аддитивная форма записи группы.

Определение. Алгебра , где - бинарная операция, - унарная операция, Ваназывается аддитивной группой, если выполнены аксиомы:

операция Ваассоциативна, то есть

существование правого нейтрального элемента, то есть

существование правого противоположного элемента, то есть

Определение. Группа называется абелевой, если операция - коммутативная операция, то есть .

Мультипликативная форма записи группы.

Определение. Алгебра , где - бинарная операция, - унарная, Ваназывается мультипликативной группой, если выполняются следующие аксиомы:

Операция умножения ассоциативна, то есть .

Аксиома существования правого единичного элемента: .

Аксиома существования правого обратного элемента: .

Определение. Группа называется коммутативной, если операция - коммутативна, то есть .

п.2. Примеры групп.

Аддитивные группы.

1) Рассмотрим множество натуральных чисел и операции . - бинарная операция на множестве Ва(сумма двух натуральных чисел тАУ натуральное число), - не является унарной операцией на множестве , - не является алгеброй Ване группа.

2) . - бинарная операция на множестве , - унарная операция на множестве , Ваявляется алгеброй. Проверим аксиомы аддитивной группы:

- выполняется по свойствам целых чисел.

Значит, Ваявляются группой, абелева группа, так как Вабесконечная группа называется аддитивной группой целых чисел.

3) . - бинарная операция, - унарная операция, Ваявляется алгеброй.

- выполняется по свойствам действительных чисел.

Вавыполняется по свойствам действительных чисел.

Значит Ваявляется группой, абелева группа, , бесконечная группа называется аддитивной группой действительных чисел.

4) . Ване является алгеброй Ване является группой.

Мультипликативные группы.

1) . -бинарная операция на множестве , - не является унарной операцией на множестве , Ване является алгеброй Ване является группой.

2) Ване является алгеброй Ване является группой, так как Ване является унарной операцией.

3) . - бинарная операция на множестве , - не является унарной операцией Ване является алгеброй Ване является группой.

4) . - бинарная операция на множестве , - унарная операция на множестве , Ваявляется алгеброй Ваявляется группой, так как аксиомы выполняются по свойствам рациональных чисел коммутативная бесконечная группа называется мультипликативной группой не равных Варациональных чисел.

5) . - бинарная операция на множестве , - не является унарной операцией на множестве , Ване алгебра Ване группа.

6) Симметрическая группа множества , где . Вабиекция. Рассмотрим , где - бинарная операция на множестве Ва(по определению биекции), - унарная операция на множестве , Ва(из определения тождественной функции и биекции) Ваявляется алгеброй.

Проверим аксиомы групп:

- ассоциативная операция.

Васвойство

Васвойство обратной функции Ва- группа.

Если множество - конечное множество, то группа - конечная группа и её порядок равен . Если множество - бесконечное, то - бесконечная группа. Если в множестве элементов, то группа коммутативна. Группа Ваназывается симметричной группой множества .

7) Группа вращений и симметрии правильного треугольника.

I - группа вращений правильного треугольника.

Под вращением треугольника понимается поворот, который вершины переводит в вершины.

Ватождественное вращение.

Составим таблицу умножения (роль умножения выполняет композиция)

Из таблицы видим, что композиция элементов множества Вамножеству , значит композиция тАУ бинарная операция.

Ваунарная операция на множестве .

Тождественное вращение с , тогда Ваявляется алгеброй.

Проверим аксиомы группы:

Операция композиция ассоциативна на произведение множеств, а значит, ассоциативна на множестве .

Вапо свойству тождественной функции.

Вапо свойству обратной функции.

Значит, Ваявляется группой, это конечная группа третьего порядка, коммутативная группа (таблица симметрична относительно главной диагонали).

II тАУ группа вращений и симметрии правильного треугольника.

Рассмотрим множество

Рассмотрим

Построим таблицу умножения (для операции композиции)

- бинарная операция.

Ваунарная операция.

, значит - алгебра. Аксиомы группы на множестве выполняются.

Операция композиция не коммутативна (не симметрична)

Конечная группа шестого порядка называется группой вращения и симметрии правильного треугольника.

п.3. Простейшие свойства групп.

Пусть Вамультипликативная группа.

Свойства.

, то есть правый обратный элемент Ваявляется левым обратным элементом к .

Доказательство. Левая часть равна Варавна правой части.

Вато есть правый единичный является левым единичным элементом.

Доказательство. Левая часть равна Варавна правой части.

, если

Доказательство.

Ваесли

Доказательство.

I способ:

II способ:

I способ:

II способ:

Ваправый

То есть существует и единственен правый, существует и единственен левый обратный элементы.

Ваесли

Доказательство.

а)

б)

То есть существует и единственен правый, существует и единственен левый единичные элементы.

Доказательство.

, Ваимеют в группе единственное решение.

Доказательство.

а) Проверим, что решение уравнения

Левая часть равна Варавна правой части.

Проверим, что решение единственно: пусть Ваи Ва- решения уравнения . Имеем

б) Проверим что - решение уравнения . Левая часть равна Варавна правой части.

Проверим, что решение уравнения единственно: Пусть Ваи - два решения уравнения . Имеем

Доказательство.

п.4. Гомоморфизмы групп.

Определение. Гомоморфизмом группы Вав группу Ваназывается отображение Ватакое, что:

То есть Васохраняет операции в группе .

Определение. Гомоморфизмом группы Вав группу Ваназывается отображение Ватакое, что:

Пример.

Пусть

Рассмотрим функцию ;

Проверим, что - гомоморфизм:

Значит - гомоморфизм.

Пусть .

Рассмотрим функцию Ваи .

Проверим:

Значит - гомоморфизм группы Вав группе .

Теорема. Пусть , - мультипликативные группы. Если Ваи , то - гомоморфизм групп.

Доказательство. Проверим, что Ваобладает тремя свойствами определения гомоморфизма. Одно свойство дано в условии. Докажем, что : .

Докажем, что :

Значит - гомоморфизм групп.

п.5. Изоморфизмы групп.

Пусть - мультипликативные группы.

Определение. Отображение Ваназывается изоморфизмом групп, если Ваобладает двумя свойствами: - биекция и - гомоморфизм групп.

Если существует изоморфизм группы Вана , то группы называются изоморфными.

п.6. Подгруппы.

Определение. Пусть - мультипликативная группа, , . Говорят, что множество - замкнуто относительно операции умножения, если .

Говорят, что - замкнуто относительно операции , если .

Определение. Пусть - аддитивная группа, , .

Говорят, что - замкнуто относительно бинарной операции , если .

Говорят, что - замкнуто относительно операции , если .

Теорема. Пусть - мультипликативная группа, , .

Если - замкнуто относительно бинарной операции Ваи унарной операции , то - группа, которая называется подгруппой группы .

Доказательство.

Так как - замкнуто относительно бинарной операции Ваи унарной операции , то - бинарная операция на множестве , а - унарная операция на множестве .

Проверим, что . Так как , то Ва(так как операция - унарная операция). Имеем Ва(так как - бинарная операция на множестве ) . Проверено, что - алгебра.

Проверим, что - группа.

Все аксиомы группы на множестве Вавыполнены, так как . Поэтому - группа.

Пример.

Рассмотрим аддитивную группу целых чисел , найдём подгруппы этой группы. Из теории следует, что для того, чтобы найти подгруппу, необходимо найти , замкнутое относительно операций Ваи .

Пусть ; - подгруппа.

- подгруппа (то есть сама группа является своей подгруппой)

- это множество не замкнуто относительно операции : - не образует подгруппу.

Рассмотрим множество - множество целых чётных чисел (делящихся на целое число 2). Множество - замкнуто- подгруппа аддитивной группы целых чисел.

Рассмотрим - множество целых чисел, кратных числу 3. Это множество замкнуто относительно операций Ваи , значит - подгруппа аддитивной группы целых чисел.

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал ВлАргументВ». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кос

Вместе с этим смотрят:

Актуальные проблемы квантовой механики

Волоконно-оптические датчики температуры на основе решеток показателя преломления

Время и пространство - идеалистические понятия

Интересные обьекты Вселенной

Коагуляция