Поле комплексных чисел

Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество . Определим на Вабинарные операции сложения , умножения , унарную операцию Ваи определим элементы .

Для :

;

Обозначим: .

Теорема 1. Алгебра Ваявляется полем.

Доказательство. Проверим, что алгебра Ваесть абелева группа.

Для

Проверим, что операция - ассоциативна, то есть

Действительно,

Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для

Действительно,

Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.

Из выше доказанного следует, что алгебра Ваесть кольцо.

Проверим, что кольцо Вакоммутативно, то есть для .

Действительно,

Проверим, что Ва- кольцо с единицей 1, то есть

Действительно,

Так как , то .

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца Ваобратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару Ваи проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,

Из выше доказанного следует, что алгебра Ва- поле.

Определение. Поле Ваназывается полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:

Вадля .

Теорема 2. Каждое комплексное число Ваможет быть, и притом единственным образом, записано в виде:

, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют Ватакие, что . Имеем

Теорема 3. Число Ваобладает свойством: .

Доказательство. .

Из равенства Васледует, что .

Определение. Пусть , где . Число Ваназывается действительной частью, Ва- мнимой частью комплексного числа . Пишем .

Пусть Ва- алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если , то ;

если , то .

Определение. Если , то комплексное число Ваназывают чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами

в алгебраической форме

1) Для

Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.

Доказательство. .

2) Для

Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.

Доказательство. .

3) Для

Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.

Доказательство.

4) Для

Доказательство.

5) Для

Доказательство. .

6) Для , если , то

Доказательство.

п.3. Операция сопряжения.

Определение. Пусть комплексное число Вазаписано в алгебраической форме . Числом сопряжённым с Ваназывается число .

Свойства операции сопряжения

Для , где , , .

1).

Доказательство.

2) .

Доказательство. .

3) .

Доказательство.

4) Если a ¹ 0, то .

Доказательство. .

5) .

Доказательство. .

6) .

Доказательство. .

С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.

п.4. Модуль комплексного числа.

Пусть Вазаписано в алгебраической форме .

Определение. Модулем комплексного числа Ваназывается неотрицательное действительное число .

Свойства модуля.

Для , где , , .

1) .

Доказательство.

2) .

3) .

Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.

4) .

Доказательство. .

Отсюда следует нужное утверждение.

5) Если , то .

Доказательство. .

6) Неравенство треугольника: .

Доказательство. Докажем сначала неравенство

Имеем

(2) ,

так как

Из (2) следует, что

Из последнего неравенства следует неравенство (1).

Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для . Докажем неравенство треугольника для . Имеем

7) .

Доказательство. . Отсюда следует нужное неравенство.

8) .

Доказательство. Справедливы неравенства

, .

Одно из подчёркнутых чисел совпадает с .

п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Пусть Вазаписано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу Ваточку плоскости с координатами . Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.

Числа Ваи Варасположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.

Геометрический смысл модуля

Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа Варавно . Поэтому геометрический смысл Ва- расстояние от Вадо начала координат.

Ваbi a

-1+i 1+i

Ва- 1 0 1 a

- 1-i 1-i

- i

Рис.1.

Ва- bi `a

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; ; .

Ваy | z | =1 y | z | £1 y | z | ³1

Ваi i i

Ва- 1 1 - 1 1 - 1 1

Ва0 0 0

- i - i - i

Рис.2.

Пусть Вазаписано в алгебраической форме . Имеем

Из Рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.

Ваy

Ваb a

d |b-d|

Ваb |a-c|

Рис.3.

0 c a x

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; .

Ваy y

Ва| z-1| =2 0

- i

- 1 0 1 3 x |z+i | > 1

- 2i

Рис.4.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

векторами плоскости

Поставим в соответствие числу Васвязаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.

Ваy

Ваa+b

Ваb

Ваa

0 Рис.5

Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина вектора . Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.

п.6. Тригонометрическая форма записи

комплексного числа.

Определение. Аргументом комплексного числа Ваназывается число , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором , Ваопределяется с точность до углов, кратных . Главным значением аргумента комплексного числа Ваназывается то значение , которое принадлежит промежутку , оно обозначается Ваи .

Пусть Вазаписано в алгебраической форме . Тогда из геометрической интерпретации Васледует, что:

;

, если ;

, если .

Заметим, что Вавыражается только в радианах, Ване определён.

Теорема 4. Каждое комплексное число Ваможет быть записано в виде

Доказательство. Изобразим Вавектором комплексной плоскости,

см. Рис.6.

b a

Рис.6.

0 a x

Угол, образованный вектором Ваи положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно, . Поэтому.

Определение. Если комплексное число Вазаписано в виде , то говорят, что Вазаписано в тригонометрической форме.

Правила действий с комплексными числами,

записанными в тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа Вазаписаны в тригонометрической форме

1) ,

то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.

2) Если , то

то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Обозначим . Так как , то нужное утверждение доказано.

3) Если , то

4) Формула Муавра. Для ,

Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1.

5) Обобщённая формула Муавра. Для ,

Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3).

п.7. Показательная форма записи комплексного числа.

Обозначение. Для Ваобозначим

. (1)

Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа Вав показательной форме принимает вид

. (2)

Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .

Теорема 5. Для Васправедливы равенства:

1) Ва;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Из формул Эйлера следует, что для

Складывая и вычитая эти равенства находим, что для :

(1) ;

(2) .

Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно, , для , определяются равенствами:

; ;

; .

Если в формулах (1), (2), заменить Вана , то мы получим формулы для определения значений . Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для :

; ;

; .

п.9. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть , . Комплексное число Ваназывается корнем степени Ваиз , если .

Теорема 6. Пусть , Ва- множество всех корней степени из 1. Тогда алгебра - группа, (которая называется группой корней степени из 1).

Доказательство. Пусть .

Проверим, что умножение тАУ бинарная операция. Имеем Ва- корень степени Ваиз 1.

Проверим, что - унарная операция. Имеем Ва- корень степени Ваиз 1.

Очевидно, что 1 тАУ корень степени Ваиз 1.

Доказано, что Ва- алгебра.

То, что алгебра Ва- группа, следует из свойств комплексных чисел.

Теорема 7. Для Васуществует точно Варазличных корней Вастепени Ваиз 1, , . (1)

Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (1), являются корнями степени Ваиз 1. Действительно, .

Докажем, что любой корень степени из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к. , то Ваможно записать в показательой форме .

Имеем . Поэтому , , , где . По теореме о делении с остатком, существуют такие , что , где .

Значит, , , т.е. вычисляется по формуле (1).

Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.

Теорема 8. Пусть , , , . Тогда существует точно Варазличных корней Вастепени Ваиз , , . (2)

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (2), являются корнями степени Ваиз . Действительно, .

Пусть - корень степени Ваиз . Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число , где Ваопределено формулой (2). Имеем

Следовательно Ва- корень степени Ваиз 1, т.е. Васовпадает с одним из чисел . Имеем

Из вышедоказанного следует, что числа Вапопарно различны.

п.10. Мультисекция.

Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть

Ва- многочлен с числовыми коэффициентами, . Тогда

, (1)

где .

Доказательство. Для Варавенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для . Имеем

Ва(2)

ЕслиВа - целое, то Ваи .

ЕслиВа - не целое, то Ваи по формуле суммы членов геометрической прогрессии

Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем , для которых . Отсюда следует (1).

Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.

Следствие 1. Пусть . Тогда

. (3)

Доказательство. Рассмотрим многочлен

Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что

где . Полагая Вав последнем равенстве получим, что

. (4)

Имеем

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3).

п.11. Упорядоченные поля
.

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система

Ватакая, что:

1) алгебра Ва- поле;

2) Ва- линейный порядок на ;

3) для

;

4) для

Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок , согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Теорема 9. Если Ва- упорядоченное поле, то для Ваиз условия , следует, что .

Доказательство. Так как Ва- линейный порядок, то Ваили . Если , то по условию 4) . Если , то Ваи по условию 4), .

Теорема 10. Если Ва- упорядоченное поле, то для Ваиз условия Васледует, что .

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что Ваи . Из условия 3 следует, что .

Теорема 11. Поле комплексных чисел Ванельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел Ваупорядоченно. Так как , то по теореме 10 Ва- противоречие.

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал ВлАргументВ». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. тАУ М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье тАУ М.: Физмат лит-ра, 2001

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/

Вместе с этим смотрят:

Актуальные проблемы квантовой механики

Волоконно-оптические датчики температуры на основе решеток показателя преломления

Время и пространство - идеалистические понятия

Интересные обьекты Вселенной

Коагуляция