Автоматы с магазинной памятью

Автоматы и преобразователи с магазинной памятью играют важную роль при построении автоматно-лингвистических моделей различного назначения, связанных с использованием бесконтекстных (контекстно-свободных) языков. В частности, такие устройства используются в большинстве работающих программ для синтаксического анализа программ, написанных на различных языках программирования, которые во многих случаях можно рассматривать как бесконтекстные.

В отличие от конечных автоматов и преобразователей, автоматы с магазинной памятью снабжены дополнительной магазинной памятью (рабочей лентой).

На рис. 1

такой преобразователь. Конечное управляющее устройство снабжается дополнительной управляющей головкой, всегда указывающей на

верхнюю ячейку магазинной памяти; за один такт работы автомата (преобразователя) управляющая головка может произвести следующие движения:

1) стереть символ из верхней ячейки (при этом все символы, находящиеся на рабочей ленте, перемещаются на одну ячейку вверх);

2) стереть символ из верхней ячейки и записать на рабочую ленту непустую цепочку символов (при этом содержимое

рабочей ленты сдвигается вниз ровно настолько, какова длина

с записываемой цепочки).

Таким образом, устройство магазинной памяти можно сравнить с устройством магазина боевого автомата: когда в него вкладывается патрон, те, которые уже были внутри, проталкиваются вниз; достать можно только патрон, вложенный последним.

Формально детерминированный магазинный автомат определяется как следующая совокупность объектов:

M = (V, Q, VM, δ, q0, z0, F),

где V, Q, q0 Є Q, F определяются так же, как и для конечного автомата;

VM = {z0, z1,…,zp-1} — алфавит магазинных символов автомата;

δ — функция, отображающая множество Q X (V U { ε }) X VM в множество Q X VM, где е — пустая цепочка; z0 Є VM — так называемый граничный маркер, т. е. символ, первым появляющийся в магазинной памяти.

Недетерминированный магазинный автомат отличается от детерминированного только тем, что функция δ отображает множество Q X (V U { ε }) X VM. в множество конечных подмножеств Q x VM

Как и в случае конечных автоматов, преобразователи с магазинной памятью отличаются от автоматов с магазинной памятью наличием выходной ленты.

Далее будем рассматривать только недетерминированные магазинные автоматы.

Рассмотрим интерпретацию функции δ для такого автомата. Эту функцию можно представить совокупностью команд вида

(q, a, z)→(q1, γ1),…,(qm, γm),

где q, q1,…qm Є Q, a Є V, z Є VM, γ1,…,γm Є V*m

При этом считается, что если на входе читающей головки авто мата находится символ а, автомат находится в состоянии q, а верхний символ рабочей ленты z, то автомат может перейти к состоянию qi, записав при этом на рабочую ленту цепочку γi(1 ≤ i ≤ m) вместо символа z, передвинуть входную головку на один символ вправо так, как это показано на рис. 1, и перейти в состояние qi. Крайний левый символ γi должен при этом оказаться в верхней ячейке магазина. Команда (q, e, z)→(q1, γ1),…, (qm, γm) означает, что независимо от входного символа и, не передвигая входной го- + ловки, автомат перейдет в состояние qi, заменив символ z магазина на цепочку γi(1 ≤ i ≤ m). •

Ситуацией магазинного автомата называется пара (q, γ), где

q Є Q, γ Є V*m. Между ситуациями магазинного автомата (q, γ) и

(q’, γ’), устанавливается отношение, обозначаемое символом ├, если среди команд найдется такая, что

(q, a, z)→(q1, γ1),…,(qm, γm),

причем γ = zβ, γ’ = γiβ q' = qi для некоторого 1 ≤ i ≤ m (z Є Vm,

β Є V*m ).

Говорят, что магазинный автомат переходит из состояния (q, γ) в состояние (q’, γ’) и обозначают это следующим образом:

a: (q, γ)├ (q’, γ’).

Вводится и такое обозначение:

a1 .an: (q, γ)├ * (q’, γ’),

если справедливо, что

ai: (qi, γi)├ (qi+1, γi+1), 1 ≤ i ≤ m

где

ai Є V, γ1 = γ, γ2,…, γn+1 = γ’ Є V*m

q1 = q, q2,…, qn+1 = q’ Є Q

Существует два способа определения языка, допускаемого магазинным автоматом. Согласно первому способу считается, что входная цепочка α Є V* принадлежит языку L1 (M) тогда, когда после просмотра последнего символа, входящего в эту цепочку,

в магазине автомата М будет находиться пустая цепочка ε. Другими словами,

L1 (M) = { α | α: (q0, z0) ├ * (q, ε)}

где q Є Q.

Согласно второму способу считается, что входная цепочка принадлежит языку L2 (M) тогда, когда после просмотра последнего символа, входящего в эту цепочку, автомат М окажется в одном из своих заключительных состояний qf Є F. Другими словами,

L2 (M) = { α | α: (q0, z0) ├ * (qf, γ)}

где γ Є V*m, qf Є F

Доказано, что множество языков, допускаемых произвольными магазинными автоматами согласно первому способу, совпадает с множеством языков, допускаемых согласно второму способу.

Доказано также, что если L (G2) — бесконтекстный язык, порождаемый Грамматикой G2 = (Vx, VT, Р, S), являющейся нормальной формой Грейбах, произвольной бесконтекстной грамматики G, то существует недетерминированный магазинный автомат М такой, что L1 (M) = L (G2). При этом

M = (V, Q, Vm , δ, q0, z0, 0),

Где V=VT; Q={q0}; VM=VN; z0=S

а для каждого правила G2 вида

A→aα, a Є VT, a Є V*n

строится команда отображения δ:

(q0, a, A)→(q0, a)

Apia логично для любого недетерминированного магазинного автомата М, допускающего язык L1 (M), можно построить бесконтекстную грамматику G такую, что L (G) = L1 (M).

Если для конечных автоматов детерминированные и недетерминированные модели эквивалентны по отношению к классу допускаемых языков, то этого нельзя сказать для магазинных автоматов. Детерминированные автоматы с магазинной памятью допускают лишь некоторое подмножество бесконтекстных языков, которые называют детерминированными бесконтекстными языками.

Список использованной литературы

КУЗИН Л.Т «Основы кибернетики» Т.2