Аксиоматика теории множеств

Страница 2

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) xyzu (u z u = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) х y (у х), т. е. су­ществует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

1x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи­няв ее следующему условию.

Определение. y (y 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна­чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно­жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв­ляется множеством. Можно доказать, что

NBG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u Z u = X u = Y))

(( M(X) M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y} u = X u = Y))

(( M(X) M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно до­казать, что NBG x y u (u {х, у} u = x u = y) и NBG x y (M({х, у})).

Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной па­рой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

NBG x y u v ().

Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в про­тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле­довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо­ря­доченной n-ки.

Определение

= Х,

Так, например,

и

В дальнейшем индекс NBG в записи NBG опускается.

Нетрудно дока­зать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утвер­ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест­вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю­щих этими свойствами.

А к с и о м а В1. X u v (X u v) (- отношение).

А к с и о м а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y)